第四章 线性方程组

选择题

1. 设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 1&-1&2&0&3\\ 0&0&1&3&-2\\ 0&0&0&0&6 \end{bmatrix},$$

则自由变量不能取成

A. $\displaystyle x_4,x_5$    B. $\displaystyle x_2,x_3$    C. $\displaystyle x_2,x_4$    D. $\displaystyle x_1,x_3$

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答案： （A）

解析： 由阶梯形矩阵可得方程组

$$\displaystyle \begin{cases} x_1-x_2+2x_3+3x_5=0,\\ x_3+3x_4-2x_5=0,\\ 6x_5=0. \end{cases}$$

于是

$$\displaystyle x_5=0,\qquad x_3=-3x_4,\qquad x_1=x_2+6x_4.$$

令

$$\displaystyle x_2=s,\qquad x_4=t,$$

则通解为

$$\displaystyle (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T =(s+6t,s,-3t,t,0)^T.$$

因此解空间有两个自由参数。检验各组变量：

• $\displaystyle x_2,x_4$ 可以任意取值，是标准自由变量；
• $\displaystyle x_2,x_3$ 与参数 $\displaystyle s,t$ 一一对应，因为 $\displaystyle x_3=-3t$；
• $\displaystyle x_1,x_3$ 也与参数 $\displaystyle s,t$ 一一对应；
• $\displaystyle x_5$ 恒等于 $\displaystyle 0$，不能作为可任意取值的自由变量。

故自由变量不能取成 $\displaystyle x_4,x_5$。

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2. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m\times n$ 矩阵，则下列命题正确的是

A. 如 $\displaystyle m<n$，则 $\displaystyle Ax=b$ 有无穷多解    B. 如 $\displaystyle Ax=0$ 只有零解，则 $\displaystyle Ax=b$ 有唯一解

C. 如 $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle n$ 阶子式不为零，则 $\displaystyle Ax=0$ 只有零解    D. $\displaystyle Ax=b$ 有唯一解的充要条件是 $\displaystyle r(A)=n$

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答案： （C）

解析： 若 $\displaystyle A$ 有一个 $\displaystyle n$ 阶子式不为零，则必有

$$\displaystyle r(A)=n.$$

齐次方程组 $\displaystyle Ax=0$ 的未知量个数为 $\displaystyle n$，其基础解系所含向量个数为

$$\displaystyle n-r(A)=0,$$

所以 $\displaystyle Ax=0$ 只有零解，故（C）正确。

错误选项分析：

• （A）$\displaystyle m<n$ 只能说明未知量多于方程数；若方程组不相容，则无解，并非必有无穷多解。
• （B）$\displaystyle Ax=0$ 只有零解说明 $\displaystyle r(A)=n$，但当 $\displaystyle m>n$ 时，$\displaystyle Ax=b$ 仍可能不相容。
• （D）$\displaystyle Ax=b$ 有唯一解的充要条件是

$$\displaystyle r(A)=r(A,b)=n,$$

仅有 $\displaystyle r(A)=n$ 还不能保证相容。

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3. 已知 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4$ 是齐次方程组 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是

A. $\displaystyle \eta_1+\eta_2,\eta_2+\eta_3,\eta_3+\eta_4,\eta_4+\eta_1$

B. $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3+\eta_4,\eta_3-\eta_4$

C. $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4$ 的一个等价向量组

D. $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4$ 的一个等秩的向量组

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答案： （B）

解析： 基础解系必须同时满足：

1. 每个向量都是齐次方程组的解；

2. 向量组线性无关；

3. 能生成原齐次方程组的全部解。

选项（B）中的向量组相对于原基础解系的系数矩阵为

$$\displaystyle P= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 0&0&1&-1 \end{bmatrix}.$$

其行列式为

$$\displaystyle |P|=-2\ne0.$$

故变换可逆，新向量组与原基础解系等价且线性无关，因此仍为基础解系。

错误选项分析：

• （A）有关系

$$\displaystyle (\eta_1+\eta_2)-(\eta_2+\eta_3)+(\eta_3+\eta_4)-(\eta_4+\eta_1)=0,$$

所以线性相关。

• （C）“等价向量组”只保证生成空间相同，不必保证向量个数为 $\displaystyle 4$ 或线性无关。
• （D）“等秩”只保证秩相同，不保证新向量都是 $\displaystyle Ax=0$ 的解，也不保证生成同一解空间。

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4. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle 5\times4$ 矩阵，$\displaystyle A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$，若

$$\displaystyle \eta_1=(1,1,-2,1)^T,\qquad \eta_2=(0,1,0,1)^T$$

是 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系，则 $\displaystyle A$ 的列向量组的极大线性无关组可以是

A. $\displaystyle \alpha_1,\alpha_3$    B. $\displaystyle \alpha_2,\alpha_4$

C. $\displaystyle \alpha_2,\alpha_3$    D. $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$

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答案： （C）

解析： 矩阵 $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle 4$ 个未知量，而基础解系含 $\displaystyle 2$ 个向量，因此

$$\displaystyle 4-r(A)=2,$$

从而

$$\displaystyle r(A)=2.$$

由 $\displaystyle A\eta_1=0$ 得

$$\displaystyle \alpha_1+\alpha_2-2\alpha_3+\alpha_4=0.$$

由 $\displaystyle A\eta_2=0$ 得

$$\displaystyle \alpha_2+\alpha_4=0,$$

即

$$\displaystyle \alpha_4=-\alpha_2.$$

代入前式可得

$$\displaystyle \alpha_1-2\alpha_3=0,$$

即

$$\displaystyle \alpha_1=2\alpha_3.$$

所以

$$\displaystyle \alpha_1,\alpha_3$$

线性相关，

$$\displaystyle \alpha_2,\alpha_4$$

线性相关，而矩阵秩为 $\displaystyle 2$，故 $\displaystyle \alpha_2,\alpha_3$ 必线性无关，并构成列向量组的极大线性无关组。

选项（D）含三个向量，不可能成为秩为 $\displaystyle 2$ 的向量组的极大线性无关组。

填空题

1. 已知方程组

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 1&-1&-3\\ 0&1&a-2\\ 3&a&5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\a\\16\end{bmatrix}$$

有无穷多解，则 $\displaystyle a=\underline{\qquad}$。

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答案：

$$\displaystyle a=-5.$$

解析： 系数矩阵为

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1&-1&-3\\ 0&1&a-2\\ 3&a&5 \end{bmatrix}.$$

方程组有无穷多解，必须满足

$$\displaystyle r(A)=r(A,b)<3,$$

因此首先要求

$$\displaystyle |A|=0.$$

计算得

$$\displaystyle |A| =-(a-4)(a+5).$$

故候选值为

$$\displaystyle a=4\quad\text{或}\quad a=-5.$$

当 $\displaystyle a=4$ 时，增广矩阵为

$$\displaystyle \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&-3&2\\ 0&1&2&4\\ 3&4&5&16 \end{array} \right].$$

系数部分第三行满足

$$\displaystyle R_3=3R_1+7R_2,$$

但常数项却有

$$\displaystyle 16\ne3\cdot2+7\cdot4=34,$$

故方程组无解。

当 $\displaystyle a=-5$ 时，

$$\displaystyle R_3=3R_1-2R_2$$

对系数与常数项均成立，因为

$$\displaystyle 16=3\cdot2-2(-5).$$

此时

$$\displaystyle r(A)=r(A,b)=2<3,$$

所以有无穷多解。

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2. 已知方程组

$$\displaystyle \begin{cases} 2x_1+\lambda x_2-x_3=b_1,\\ \lambda x_1-x_2+x_3=b_2,\\ 4x_1+5x_2-5x_3=b_3 \end{cases}$$

总有解，则 $\displaystyle \lambda$ 应满足 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

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答案：

$$\displaystyle \lambda\ne1,\qquad \lambda\ne-\frac45.$$

解析： “总有解”是指对任意常数项 $\displaystyle b_1,b_2,b_3$，方程组都有解。由于系数矩阵为三阶方阵，这等价于系数矩阵可逆。

设

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 2&\lambda&-1\\ \lambda&-1&1\\ 4&5&-5 \end{bmatrix}.$$

计算行列式：

$$\displaystyle |A| =(\lambda-1)(5\lambda+4).$$

因此要求

$$\displaystyle |A|\ne0,$$

即

$$\displaystyle \lambda\ne1,\qquad 5\lambda+4\ne0.$$

故

$$\displaystyle \lambda\ne1,\qquad \lambda\ne-\frac45.$$

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3. 四元方程组

$$\displaystyle \begin{cases} x_1+x_2=0,\\ x_2-x_4=0 \end{cases}$$

的一个基础解系是 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

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答案：

$$\displaystyle \left\{ \begin{bmatrix} -1\\1\\0\\1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{bmatrix} \right\}.$$

解析： 由方程组可得

$$\displaystyle x_1=-x_2,\qquad x_4=x_2.$$

令自由变量

$$\displaystyle x_2=s,\qquad x_3=t,$$

则

$$\displaystyle x= \begin{bmatrix} -s\\s\\t\\s \end{bmatrix} =s \begin{bmatrix} -1\\1\\0\\1 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{bmatrix}.$$

两个向量线性无关，且能够表示方程组的全部解，因此构成一个基础解系。

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4. 四元方程组 $\displaystyle Ax=b$ 的三个解是 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$，其中

$$\displaystyle \alpha_1=(1,1,1,1)^T,\qquad \alpha_2+\alpha_3=(2,3,4,5)^T,$$

如 $\displaystyle r(A)=3$，则方程组 $\displaystyle Ax=b$ 的通解是 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

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答案：

$$\displaystyle x= \begin{bmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{bmatrix} +k \begin{bmatrix} 0\\1\\2\\3 \end{bmatrix}, \qquad k\in\mathbb{R}.$$

解析： 因为 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 都是非齐次方程组 $\displaystyle Ax=b$ 的解，所以

$$\displaystyle A\alpha_1=A\alpha_2=A\alpha_3=b.$$

于是

$$\displaystyle A(\alpha_2+\alpha_3-2\alpha_1)=0.$$

计算得

$$\displaystyle \alpha_2+\alpha_3-2\alpha_1 = \begin{bmatrix} 2\\3\\4\\5 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\1\\2\\3 \end{bmatrix}.$$

该向量是对应齐次方程组 $\displaystyle Ax=0$ 的非零解。

又因未知量个数为 $\displaystyle 4$，且

$$\displaystyle r(A)=3,$$

所以齐次方程组基础解系只含

$$\displaystyle 4-r(A)=1$$

个向量。因此

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 0\\1\\2\\3 \end{bmatrix}$$

就是一个基础解向量。

非齐次方程组的通解为“一个特解加齐次方程组通解”，故

$$\displaystyle x=\alpha_1+k \begin{bmatrix} 0\\1\\2\\3 \end{bmatrix}.$$

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5. 设 $\displaystyle A$ 为三阶非零矩阵，

$$\displaystyle B= \begin{bmatrix} 1&2&-2\\ 4&t&3\\ 3&-1&1 \end{bmatrix},$$

且 $\displaystyle AB=0$，则 $\displaystyle Ax=0$ 的通解是 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

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答案：

$$\displaystyle x=c_1 \begin{bmatrix} 11\\0\\5 \end{bmatrix} +c_2 \begin{bmatrix} 0\\11\\7 \end{bmatrix}, \qquad c_1,c_2\in\mathbb{R}.$$

解析： 由

$$\displaystyle AB=0$$

且 $\displaystyle A\ne0$，可知 $\displaystyle B$ 不可逆，否则右乘 $\displaystyle B^{-1}$ 将得到 $\displaystyle A=0$，与题设矛盾。因此

$$\displaystyle |B|=0.$$

计算得

$$\displaystyle |B|=7(t+3),$$

所以

$$\displaystyle t=-3.$$

此时

$$\displaystyle B= \begin{bmatrix} 1&2&-2\\ 4&-3&3\\ 3&-1&1 \end{bmatrix}.$$

设 $\displaystyle A$ 的任一行向量为 $\displaystyle \beta^T$。由 $\displaystyle AB=0$ 可知

$$\displaystyle \beta^TB=0,$$

即

$$\displaystyle B^T\beta=0.$$

求解

$$\displaystyle B^T\beta=0$$

得到

$$\displaystyle \beta=k(-5,-7,11)^T.$$

又因为 $\displaystyle A\ne0$，故 $\displaystyle A$ 的行空间由非零向量

$$\displaystyle (-5,-7,11)$$

生成，从而方程组 $\displaystyle Ax=0$ 等价于

$$\displaystyle -5x_1-7x_2+11x_3=0.$$

令

$$\displaystyle x_1=11c_1,\qquad x_2=11c_2,$$

则

$$\displaystyle x_3=5c_1+7c_2.$$

所以通解为

$$\displaystyle x=c_1 \begin{bmatrix} 11\\0\\5 \end{bmatrix} +c_2 \begin{bmatrix} 0\\11\\7 \end{bmatrix}.$$

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6. 设

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{bmatrix},$$

$\displaystyle A^\ast$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵，则 $\displaystyle A^\ast x=0$ 的通解是 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

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答案：

$$\displaystyle x=c_1 \begin{bmatrix} 2\\1\\0 \end{bmatrix} +c_2 \begin{bmatrix} -1\\0\\1 \end{bmatrix}, \qquad c_1,c_2\in\mathbb{R}.$$

解析： 先计算 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵：

$$\displaystyle A^\ast= \begin{bmatrix} -3&6&-3\\ 6&-12&6\\ -3&6&-3 \end{bmatrix}.$$

矩阵的三行均为第一行的倍数，因此方程组 $\displaystyle A^\ast x=0$ 等价于

$$\displaystyle -3x_1+6x_2-3x_3=0,$$

即

$$\displaystyle x_1-2x_2+x_3=0.$$

令

$$\displaystyle x_2=c_1,\qquad x_3=c_2,$$

则

$$\displaystyle x_1=2c_1-c_2.$$

所以

$$\displaystyle x= \begin{bmatrix} 2c_1-c_2\\ c_1\\ c_2 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 2\\1\\0 \end{bmatrix} +c_2 \begin{bmatrix} -1\\0\\1 \end{bmatrix}.$$

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7. 已知 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t$ 都是非齐次线性方程组 $\displaystyle Ax=b$ 的解，如果

$$\displaystyle c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\cdots+c_t\alpha_t$$

仍是 $\displaystyle Ax=b$ 的解，则

$$\displaystyle c_1+c_2+\cdots+c_t=\underline{\qquad}。$$

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle c_1+c_2+\cdots+c_t=1.$$

解析： 因为每个 $\displaystyle \alpha_i$ 都是非齐次线性方程组 $\displaystyle Ax=b$ 的解，所以

$$\displaystyle A\alpha_i=b,\qquad i=1,2,\cdots,t.$$

又因为

$$\displaystyle c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\cdots+c_t\alpha_t$$

仍是该方程组的解，故

$$\displaystyle A(c_1\alpha_1+\cdots+c_t\alpha_t)=b.$$

利用矩阵乘法的线性性，

$$\displaystyle c_1A\alpha_1+\cdots+c_tA\alpha_t=b,$$

从而

$$\displaystyle (c_1+c_2+\cdots+c_t)b=b.$$

题设为非齐次方程组，因此 $\displaystyle b\ne0$，于是

$$\displaystyle c_1+c_2+\cdots+c_t=1.$$

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8. 已知方程组

$$\displaystyle \begin{cases} ax_1+x_2+bx_3+2x_4=c,\\ x_1+bx_2-x_3-2x_4=4,\\ -2x_1+x_2-x_3-5x_4=1 \end{cases}$$

的通解是

$$\displaystyle (1,2,-1,0)^T+k(-1,2,-1,1)^T,$$

则 $\displaystyle a=\underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle a=3.$$

解析： 通解写成

$$\displaystyle x=x^{(0)}+k\eta,$$

其中

$$\displaystyle x^{(0)}=(1,2,-1,0)^T,\qquad \eta=(-1,2,-1,1)^T.$$

特解 $\displaystyle x^{(0)}$ 应满足原非齐次方程组，而方向向量 $\displaystyle \eta$ 应满足对应齐次方程组。

先将 $\displaystyle x^{(0)}$ 代入第二个方程：

$$\displaystyle 1+2b+1=4,$$

所以

$$\displaystyle b=1.$$

再将 $\displaystyle \eta$ 代入第一个方程对应的齐次方程：

$$\displaystyle -a+2-b+2=0.$$

代入 $\displaystyle b=1$，得

$$\displaystyle -a+3=0,$$

因此

$$\displaystyle a=3.$$

校验第二、三个齐次方程：

$$\displaystyle -1+2b+1-2=0,$$

当 $\displaystyle b=1$ 时成立；且

$$\displaystyle 2+2+1-5=0.$$

故结果正确。

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9. 已知 $\displaystyle \xi_1=(-3,2,0)^T,\xi_2=(-1,0,-2)^T$ 是方程组

$$\displaystyle \begin{cases} a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=a_4,\\ x_1+2x_2-x_3=1,\\ 2x_1+x_2+x_3=-4 \end{cases}$$

的两个解，则此方程组的通解是 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle x= \begin{bmatrix} -1\\0\\-2 \end{bmatrix} +k \begin{bmatrix} -1\\1\\1 \end{bmatrix}, \qquad k\in\mathbb{R}.$$

解析： 两个非齐次方程组的解之差是对应齐次方程组的解，因此

$$\displaystyle \xi_1-\xi_2= \begin{bmatrix} -3\\2\\0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1\\0\\-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2\\2\\2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} -1\\1\\1 \end{bmatrix}$$

是对应齐次方程组的非零解。

原方程组后两个方程的系数向量

$$\displaystyle (1,2,-1),\qquad(2,1,1)$$

不成比例，故系数矩阵的秩至少为 $\displaystyle 2$。

另一方面，原方程组存在两个不同的解，故其对应齐次方程组存在非零解，从而三元方程组的系数矩阵秩小于 $\displaystyle 3$。因此

$$\displaystyle r(A)=2,$$

齐次方程组的基础解系只含一个向量，可以取

$$\displaystyle (-1,1,1)^T.$$

以 $\displaystyle \xi_2$ 为一个特解，原非齐次方程组的通解为

$$\displaystyle x=\xi_2+k \begin{bmatrix} -1\\1\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1\\0\\-2 \end{bmatrix} +k \begin{bmatrix} -1\\1\\1 \end{bmatrix}.$$

计算题与证明题

1. 求齐次方程组

$$\displaystyle \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=0,\\ 3x_1+2x_2+ax_3-3x_4=0,\\ 5x_1+4x_2+3x_3-x_4=0 \end{cases}$$

的基础解系。

查看答案与解析

答案： 当 $\displaystyle a\ne1$ 时，一个基础解系为

$$\displaystyle \left\{ \begin{bmatrix} 5\\-6\\0\\1 \end{bmatrix} \right\}.$$

当 $\displaystyle a=1$ 时，一个基础解系为

$$\displaystyle \left\{ \begin{bmatrix} 1\\-2\\1\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 5\\-6\\0\\1 \end{bmatrix} \right\}.$$

解析： 方程组的系数矩阵为

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 3&2&a&-3\\ 5&4&3&-1 \end{bmatrix}.$$

进行初等行变换：

$$\displaystyle R_2\leftarrow R_2-3R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-5R_1,$$

得

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 0&-1&a-3&-6\\ 0&-1&-2&-6 \end{bmatrix}.$$

再令

$$\displaystyle R_3\leftarrow R_3-R_2,$$

得

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 0&-1&a-3&-6\\ 0&0&1-a&0 \end{bmatrix}.$$

情形一：$\displaystyle a\ne1$

由第三行得

$$\displaystyle x_3=0.$$

第二行给出

$$\displaystyle -x_2-6x_4=0,$$

故

$$\displaystyle x_2=-6x_4.$$

第一行给出

$$\displaystyle x_1+x_2+x_4=0,$$

所以

$$\displaystyle x_1=5x_4.$$

令

$$\displaystyle x_4=k,$$

则

$$\displaystyle x=k \begin{bmatrix} 5\\-6\\0\\1 \end{bmatrix}.$$

因此基础解系为

$$\displaystyle \left\{ \begin{bmatrix} 5\\-6\\0\\1 \end{bmatrix} \right\}.$$

情形二：$\displaystyle a=1$

此时阶梯形矩阵为

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 0&-1&-2&-6\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}.$$

由第二行得

$$\displaystyle x_2=-2x_3-6x_4.$$

再由第一行得

$$\displaystyle x_1=x_3+5x_4.$$

令

$$\displaystyle x_3=s,\qquad x_4=t,$$

则

$$\displaystyle x= s \begin{bmatrix} 1\\-2\\1\\0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} 5\\-6\\0\\1 \end{bmatrix}.$$

故基础解系为

$$\displaystyle \left\{ \begin{bmatrix} 1\\-2\\1\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 5\\-6\\0\\1 \end{bmatrix} \right\}.$$

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2. 求线性方程组

$$\displaystyle \begin{cases} x_1-x_2+2x_3+x_4=1,\\ 2x_1-x_2+x_3+2x_4=3,\\ x_1-x_3+x_4=2,\\ 3x_1-x_2+3x_4=5 \end{cases}$$

的通解，并求满足条件 $\displaystyle x_1^2=x_2^2$ 的所有解。

查看答案与解析

答案： 方程组的通解为

$$\displaystyle x= \begin{bmatrix} 2\\1\\0\\0 \end{bmatrix} +s \begin{bmatrix} 1\\3\\1\\0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} -1\\0\\0\\1 \end{bmatrix}, \qquad s,t\in\mathbb{R}.$$

满足 $\displaystyle x_1^2=x_2^2$ 的所有解为下列两族：

$$\displaystyle x= \begin{bmatrix} 1\\1\\0\\1 \end{bmatrix} +s \begin{bmatrix} 3\\3\\1\\-2 \end{bmatrix}, \qquad s\in\mathbb{R},$$

或

$$\displaystyle x= \begin{bmatrix} -1\\1\\0\\3 \end{bmatrix} +s \begin{bmatrix} -3\\3\\1\\4 \end{bmatrix}, \qquad s\in\mathbb{R}.$$

解析： 对增广矩阵作高斯消元：

$$\displaystyle \left[ \begin{array}{cccc|c} 1&-1&2&1&1\\ 2&-1&1&2&3\\ 1&0&-1&1&2\\ 3&-1&0&3&5 \end{array} \right] \longrightarrow \left[ \begin{array}{cccc|c} 1&0&-1&1&2\\ 0&1&-3&0&1\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right].$$

因此

$$\displaystyle \begin{cases} x_1-x_3+x_4=2,\\ x_2-3x_3=1. \end{cases}$$

令

$$\displaystyle x_3=s,\qquad x_4=t,$$

则

$$\displaystyle x_1=2+s-t,\qquad x_2=1+3s.$$

所以通解为

$$\displaystyle x= \begin{bmatrix} 2+s-t\\ 1+3s\\ s\\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\1\\0\\0 \end{bmatrix} +s \begin{bmatrix} 1\\3\\1\\0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} -1\\0\\0\\1 \end{bmatrix}.$$

由

$$\displaystyle x_1^2=x_2^2$$

可分为

$$\displaystyle x_1=x_2$$

与

$$\displaystyle x_1=-x_2$$

两种情形。

情形一：$\displaystyle x_1=x_2$

有

$$\displaystyle 2+s-t=1+3s,$$

所以

$$\displaystyle t=1-2s.$$

代回通解得

$$\displaystyle x= \begin{bmatrix} 1+3s\\ 1+3s\\ s\\ 1-2s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\1\\0\\1 \end{bmatrix} +s \begin{bmatrix} 3\\3\\1\\-2 \end{bmatrix}.$$

情形二：$\displaystyle x_1=-x_2$

有

$$\displaystyle 2+s-t=-(1+3s),$$

所以

$$\displaystyle t=3+4s.$$

代回通解得

$$\displaystyle x= \begin{bmatrix} -1-3s\\ 1+3s\\ s\\ 3+4s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1\\1\\0\\3 \end{bmatrix} +s \begin{bmatrix} -3\\3\\1\\4 \end{bmatrix}.$$

以上两族即为全部满足条件 $\displaystyle x_1^2=x_2^2$ 的解。

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3. 当 $\displaystyle a,b$ 取何值时，方程组

$$\displaystyle \begin{cases} ax_1+2x_2+3x_3=4,\\ 2x_2+bx_3=2,\\ 2ax_1+2x_2+3x_3=6 \end{cases}$$

有唯一解、无解、有无穷多解？当方程组有解时，求其解。

查看答案与解析

答案： 1. 当

$$\displaystyle a\ne0,\qquad b\ne3$$

时，方程组有唯一解

$$\displaystyle x_1=\frac2a,\qquad x_2=1,\qquad x_3=0.$$

2. 当

$$\displaystyle a=0$$

时，无论 $\displaystyle b$ 取何值，方程组均无解。

3. 当

$$\displaystyle a\ne0,\qquad b=3$$

时，方程组有无穷多解，其通解为

$$\displaystyle x_1=\frac2a,\qquad x_2=1-\frac32t,\qquad x_3=t, \qquad t\in\mathbb{R}.$$

解析： 将第三个方程减去第一个方程，得

$$\displaystyle ax_1=2.$$

情形一：$\displaystyle a=0$

此时上式变成

$$\displaystyle 0=2,$$

产生矛盾，所以方程组无解。该结论与 $\displaystyle b$ 的取值无关。

情形二：$\displaystyle a\ne0$

由

$$\displaystyle ax_1=2$$

可得

$$\displaystyle x_1=\frac2a.$$

代入第一个方程：

$$\displaystyle 2+2x_2+3x_3=4,$$

即

$$\displaystyle 2x_2+3x_3=2.$$

原方程组的第二个方程为

$$\displaystyle 2x_2+bx_3=2.$$

两式相减，得

$$\displaystyle (b-3)x_3=0.$$

当 $\displaystyle b\ne3$ 时，

$$\displaystyle x_3=0,$$

进而

$$\displaystyle x_2=1.$$

三个未知量均被唯一确定，故唯一解为

$$\displaystyle \left(\frac2a,1,0\right)^T.$$

当 $\displaystyle b=3$ 时，后两个关于 $\displaystyle x_2,x_3$ 的方程完全相同。令

$$\displaystyle x_3=t,$$

则

$$\displaystyle 2x_2+3t=2,$$

所以

$$\displaystyle x_2=1-\frac32t.$$

因此有无穷多解：

$$\displaystyle x= \begin{bmatrix} \dfrac2a\\[1mm] 1\\ 0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} 0\\[1mm] -\dfrac32\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad t\in\mathbb{R}.$$

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4. 已知 $\displaystyle a,b,c$ 不全为零，证明方程组

$$\displaystyle \begin{cases} ax_2+bx_3+cx_4=0,\\ ax_1+x_2=0,\\ bx_1+x_3=0,\\ cx_1+x_4=0 \end{cases}$$

只有零解。

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答案： 该齐次线性方程组只有零解

$$\displaystyle x_1=x_2=x_3=x_4=0.$$

解析： 由后三个方程依次得到

$$\displaystyle x_2=-ax_1,\qquad x_3=-bx_1,\qquad x_4=-cx_1.$$

将其代入第一个方程：

$$\displaystyle a(-ax_1)+b(-bx_1)+c(-cx_1)=0,$$

即

$$\displaystyle -(a^2+b^2+c^2)x_1=0.$$

因为 $\displaystyle a,b,c$ 不全为零，所以

$$\displaystyle a^2+b^2+c^2>0.$$

因此

$$\displaystyle x_1=0.$$

再由

$$\displaystyle x_2=-ax_1,\qquad x_3=-bx_1,\qquad x_4=-cx_1$$

可得

$$\displaystyle x_2=x_3=x_4=0.$$

故该方程组只有零解。

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5. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，证明方程组 $\displaystyle Ax=b$ 对任何 $\displaystyle b$ 都有解的充分必要条件是 $\displaystyle |A|\ne0$。

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答案： 方程组

$$\displaystyle Ax=b$$

对任意 $\displaystyle n$ 维列向量 $\displaystyle b$ 都有解的充分必要条件为

$$\displaystyle |A|\ne0.$$

解析： 下面分别证明充分性和必要性。

充分性

若

$$\displaystyle |A|\ne0,$$

则矩阵 $\displaystyle A$ 可逆。对任意 $\displaystyle n$ 维列向量 $\displaystyle b$，取

$$\displaystyle x=A^{-1}b,$$

便有

$$\displaystyle Ax=AA^{-1}b=b.$$

因此 $\displaystyle Ax=b$ 对任意 $\displaystyle b$ 都有解；事实上，此时解还是唯一的。

必要性

反过来，设 $\displaystyle Ax=b$ 对任意 $\displaystyle n$ 维列向量 $\displaystyle b$ 都有解。

特别地，对标准单位向量

$$\displaystyle e_1,e_2,\ldots,e_n$$

中的每一个 $\displaystyle e_i$，方程

$$\displaystyle Ax=e_i$$

都有解。分别取一个解 $\displaystyle x_i$，即

$$\displaystyle Ax_i=e_i,\qquad i=1,2,\ldots,n.$$

令

$$\displaystyle X=(x_1,x_2,\ldots,x_n),$$

则

$$\displaystyle AX=(Ax_1,Ax_2,\ldots,Ax_n) =(e_1,e_2,\ldots,e_n)=E.$$

两边取行列式：

$$\displaystyle |A||X|=|E|=1.$$

所以

$$\displaystyle |A|\ne0.$$

综上，

$$\displaystyle Ax=b\text{ 对任意 }b\text{ 都有解} \Longleftrightarrow |A|\ne0.$$

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6. 证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系。

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答案： 命题成立。

解析： 设齐次线性方程组

$$\displaystyle Ax=0$$

的一个基础解系为

$$\displaystyle \eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_s.$$

另有线性无关向量组

$$\displaystyle \xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_t,$$

且该向量组与

$$\displaystyle \eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_s$$

等价。

所谓两个向量组等价，是指它们可以相互线性表示，因此二者生成同一个向量空间：

$$\displaystyle \operatorname{span}\{\xi_1,\ldots,\xi_t\} = \operatorname{span}\{\eta_1,\ldots,\eta_s\}.$$

因为 $\displaystyle \eta_1,\ldots,\eta_s$ 是基础解系，所以它们均为 $\displaystyle Ax=0$ 的解，并且其线性组合构成 $\displaystyle Ax=0$ 的全部解。

由于每个 $\displaystyle \xi_i$ 都可由 $\displaystyle \eta_1,\ldots,\eta_s$ 线性表示，而齐次方程组解的线性组合仍是解，所以

$$\displaystyle A\xi_i=0,\qquad i=1,2,\ldots,t.$$

也就是说，$\displaystyle \xi_1,\ldots,\xi_t$ 都是齐次方程组的解。

另一方面，对 $\displaystyle Ax=0$ 的任意解 $\displaystyle x$，因为 $\displaystyle \eta_1,\ldots,\eta_s$ 是基础解系，所以

$$\displaystyle x\in\operatorname{span}\{\eta_1,\ldots,\eta_s\}.$$

由两个向量组等价，

$$\displaystyle x\in\operatorname{span}\{\xi_1,\ldots,\xi_t\}.$$

因此 $\displaystyle \xi_1,\ldots,\xi_t$ 能线性表示齐次方程组的全部解。

题设又已说明 $\displaystyle \xi_1,\ldots,\xi_t$ 线性无关，所以该向量组同时满足：

1. 每个向量都是 $\displaystyle Ax=0$ 的解；

2. 向量组线性无关；

3. 能表示 $\displaystyle Ax=0$ 的全部解。

故

$$\displaystyle \xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_t$$

也是方程组 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系。