第一章 行列式

选择题

1. 若

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|=m,$$

则

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& 2c_1-5b_1& 3b_1\\ a_2& 2c_2-5b_2& 3b_2\\ a_3& 2c_3-5b_3& 3b_3\end{array}\right|=$$

A. $30m$    B. $-15m$    C. $6m$    D. $-6m$

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答案： D

解析： 记

$$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3{)}^T,\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3{)}^T,\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3{)}^T.$$

原行列式转置后仍为 $m$，即

$$|\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}|=m.$$

利用行列式对列的线性性质，所求行列式为

$$\begin{array}{rl}|\mathbf{a},2\mathbf{c}-5\mathbf{b},3\mathbf{b}|& =3|\mathbf{a},2\mathbf{c}-5\mathbf{b},\mathbf{b}|\\ & =6|\mathbf{a},\mathbf{c},\mathbf{b}|-15|\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{b}|.\end{array}$$

其中，含有两个相同列的行列式为零，且交换第二、三列使行列式变号，所以

$$|\mathbf{a},\mathbf{c},\mathbf{b}|=-|\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}|=-m.$$

因此

$$|\mathbf{a},2\mathbf{c}-5\mathbf{b},3\mathbf{b}|=6(-m)=-6m.$$

故选 D。A、B、C 均未正确处理行列式的线性性质及交换两列产生的负号。

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2. 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则

$$\left||A^{\ast }|A\right|=$$

A. $|A{|}^{n^2}$    B. $|A{|}^{n^2-n}$    C. $|A{|}^{n^2-n+1}$    D. $|A{|}^{n^2+n}$

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答案： C

解析： 对任意 $n$ 阶矩阵 $A$，伴随矩阵满足

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}.$$

又因为 $|A^{\ast }|$ 是一个数，而对数乘矩阵有

$$|kA|=k^n|A|,$$

所以

$$\begin{array}{rl}\left||A^{\ast }|A\right|& =|A^{\ast }{|}^n|A|\\ & ={\left(|A{|}^{n-1}\right)}^n|A|\\ & =|A{|}^{n(n-1)+1}\\ & =|A{|}^{n^2-n+1}.\end{array}$$

故选 C。A、B、D 的指数均未同时考虑“数乘矩阵使行列式乘以该数的 $n$ 次方”以及 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$ 两条性质。

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3. 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则

$$|(2A{)}^{\ast }|=$$

A. $2^n|A^{\ast }|$    B. $2^{n-1}|A^{\ast }|$    C. $2^{n^2-n}|A^{\ast }|$    D. $2^{n^2}|A^{\ast }|$

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答案： C

解析： 对于 $n$ 阶矩阵，伴随矩阵中的每个元素都是一个 $n-1$ 阶子式。将 $A$ 的所有元素乘以 $2$ 后，每个 $n-1$ 阶子式均乘以 $2^{n-1}$，故

$$(2A{)}^{\ast }=2^{n-1}{A}^{\ast }.$$

两边取行列式，注意 $A^{\ast }$ 仍是 $n$ 阶矩阵，因此

$$|(2A{)}^{\ast }|=|2^{n-1}{A}^{\ast }|={\left(2^{n-1}\right)}^n|A^{\ast }|=2^{n(n-1)}|A^{\ast }|.$$

即

$$|(2A{)}^{\ast }|=2^{n^2-n}|A^{\ast }|.$$

故选 C。B 只计算了伴随矩阵本身的数乘倍数，未再对其取行列式；A、D 的指数也不符合上述缩放规律。

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4. 设 $A$ 是 $m$ 阶矩阵，$B$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $|A|=a,|B|=b$，若

$$C=\left[\begin{array}{cc}0& 3A\\ -B& 0\end{array}\right],$$

则 $|C|=$

A. $-3ab$    B. $3^{m}ab$    C. $(-1{)}^{mn}{3}^{m}ab$    D. $(-1{)}^{(m+1)n}{3}^{m}ab$

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答案： D

解析： 矩阵 $C$ 的两个列块宽度分别为 $n$ 和 $m$。将前 $n$ 列与后 $m$ 列整体交换，需要进行 $mn$ 次相邻列交换，因此行列式乘以

$$(-1{)}^{mn}.$$

交换后得到分块对角矩阵

$$\left[\begin{array}{cc}3A& 0\\ 0& -B\end{array}\right].$$

于是

$$(-1{)}^{mn}|C|=|3A||-B|.$$

分别计算

$$|3A|=3^m|A|=3^{m}a,|-B|=(-1{)}^n|B|=(-1{)}^{n}b.$$

所以

$$(-1{)}^{mn}|C|=(-1{)}^n{3}^{m}ab,$$

从而

$$|C|=(-1{)}^{mn+n}{3}^{m}ab=(-1{)}^{(m+1)n}{3}^{m}ab.$$

故选 D。A、B 忽略了矩阵阶数对数乘行列式的影响；C 忽略了块 $-B$ 额外产生的因子 $(-1{)}^n$。

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5. $x=-2$ 是

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& x& x^2\\ 1& -2& 4\end{array}\right|=0$$

的

A. 充分必要条件    B. 充分而非必要条件    C. 必要而非充分条件    D. 既不充分也非必要条件

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答案： B

解析： 该行列式是以 $1,x,-2$ 为参数的三阶范德蒙德行列式。按范德蒙德行列式公式，

$$\begin{array}{rl}D& =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1^2\\ 1& x& x^2\\ 1& -2& (-2{)}^2\end{array}\right|\\ & =(x-1)(-2-1)(-2-x)\\ & =3(x-1)(x+2).\end{array}$$

因此

$$D=0⟺x=1\text{或}x=-2.$$

当 $x=-2$ 时，第二行与第三行相同，行列式必为零，所以“$x=-2$”是行列式等于零的充分条件；但行列式等于零时还可能有 $x=1$，故它不是必要条件。

因此，$x=-2$ 是充分而非必要条件，选 B。A 错在忽略了另一根 $x=1$；C、D 均与 $x=-2$ 确实能推出行列式为零相矛盾。

填空题

1. 若

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ x& 3& 1\\ 4& x& 5\end{array}\right|$$

的代数余子式 $A_{12}=-1$，则代数余子式 $A_{21}=\underline{}$。

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答案： $2$

解析： 由代数余子式的定义，

$$A_{12}=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}x& 1\\ 4& 5\end{array}\right|=-(5x-4)=4-5x.$$

由题设 $A_{12}=-1$，得

$$4-5x=-1,$$

所以

$$x=1.$$

再计算

$$A_{21}=(-1{)}^{2+1}\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ x& 5\end{array}\right|=-(-2x)=2x.$$

代入 $x=1$，得到

$$A_{21}=2.$$

相关知识点：计算代数余子式时，既要删去对应的行、列，又要乘符号因子 $(-1{)}^{i+j}$。

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2. 若

$$A=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -3\end{array}\right](4,5,6),$$

则 $|A|=\underline{}$。

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答案： $0$

解析： 矩阵 $A$ 是一个列向量与一个行向量的乘积，即

$$A=\left[\begin{array}{ccc}4& 5& 6\\ 8& 10& 12\\ -12& -15& -18\end{array}\right].$$

其第二行是第一行的 $2$ 倍，第三行是第一行的 $-3$ 倍，因此各行线性相关，矩阵的秩满足

$$r(A)=1<3.$$

所以

$$|A|=0.$$

也可直接利用外积矩阵 $u{v}^T$ 的秩不超过 $1$ 得出结论。

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3. 设

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 0\\ -2& 4& 8\end{array}\right],$$

则 $|-2A^{-1}|=\underline{}$。

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答案： $-\frac{4}{7}$

解析： 先计算 $|A|$。按第二行展开，得到

$$|A|=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ -2& 8\end{array}\right|=8+6=14.$$

因此 $A$ 可逆，并且

$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=\frac{1}{14}.$$

由于 $-2A^{-1}$ 是三阶矩阵，数乘矩阵的行列式满足

$$|-2A^{-1}|=(-2{)}^3|A^{-1}|.$$

故

$$|-2A^{-1}|=-8\cdot \frac{1}{14}=-\frac{4}{7}.$$

易错点：对三阶矩阵整体乘以 $-2$，行列式应乘以 $(-2{)}^3$，而不是只乘 $-2$。

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4. 设 $\alpha ,\beta ,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ 都是 $4$ 维列向量，且

$$|A|=|\alpha ,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3|=4,|B|=|\beta ,2{\gamma }_1,3{\gamma }_2,{\gamma }_3|=21,$$

则 $|A+B|=\underline{}$。

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答案： $180$

解析： 由题意，

$$A=(\alpha ,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3),B=(\beta ,2{\gamma }_1,3{\gamma }_2,{\gamma }_3).$$

因此

$$A+B=(\alpha +\beta ,3{\gamma }_1,4{\gamma }_2,2{\gamma }_3).$$

先由 $|B|=21$ 求出

$$|\beta ,2{\gamma }_1,3{\gamma }_2,{\gamma }_3|=6|\beta ,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3|=21,$$

所以

$$|\beta ,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3|=\frac{7}{2}.$$

再利用行列式对第一列的线性性质，

$$\begin{array}{rl}|A+B|& =|\alpha +\beta ,3{\gamma }_1,4{\gamma }_2,2{\gamma }_3|\\ & =24|\alpha +\beta ,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3|\\ & =24\left(|\alpha ,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3|+|\beta ,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3|\right)\\ & =24\left(4+\frac{7}{2}\right)\\ & =180.\end{array}$$

相关知识点：矩阵相加是对应列相加；行列式对任意一列具有线性性质。

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5. 已知

$$D_n=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_1& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ -1& a_2& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& -1& a_3& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a_{n-1}& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & -1& a_n\end{array}\right|,$$

若 $D_n=a_n{D}_{n-1}+k{D}_{n-2}$，则 $k=\underline{}$。

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答案： $1$

解析： 按行列式 $D_n$ 的最后一行展开。最后一行只有第 $n-1$ 列的元素 $-1$ 和第 $n$ 列的元素 $a_n$ 非零。

元素 $a_n$ 对应的余子式正是 $D_{n-1}$，故产生

$$a_n{D}_{n-1}.$$

元素 $-1$ 对应项为

$$(-1)(-1{)}^{n+(n-1)}{M}_{n,n-1}=M_{n,n-1}.$$

在余子式 $M_{n,n-1}$ 中，最后一列仅有一个非零元素 $1$，再沿最后一列展开，即得到 $D_{n-2}$。因此

$$D_n=a_n{D}_{n-1}+D_{n-2}.$$

故

$$k=1.$$

证明题

1. 若行列式的某个元素 $a_{ij}$ 加 $1$，则行列式的值增加 $A_{ij}$。

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答案： 行列式值增加 $A_{ij}$。

解析： 设原行列式为 $D$，把第 $i$ 行展开，有

$$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{ij}{A}_{ij}+\cdots +a_{in}{A}_{in}.$$

各代数余子式 $A_{i1},A_{i2},\dots ,A_{in}$ 都不含第 $i$ 行的元素，因此把 $a_{ij}$ 改为 $a_{ij}+1$ 后，这些代数余子式均不改变。

设改变后的行列式为 $D^{\prime }$，则

$$\begin{array}{rl}{D}^{\prime }& =a_{i1}{A}_{i1}+\cdots +(a_{ij}+1)A_{ij}+\cdots +a_{in}{A}_{in}\\ & =D+A_{ij}.\end{array}$$

所以行列式值的增量为

$$D^{\prime }-D=A_{ij}.$$

命题得证。

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2. 若行列式的第 $j$ 列的每个元素都加 $1$，则行列式的值增加

$$\sum _{i=1}^n{A}_{ij}.$$

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答案： 行列式值增加 $\sum _{i=1}^n{A}_{ij}$。

解析： 设原行列式的各列依次为

$$C_1,C_2,\dots ,C_j,\dots ,C_n,$$

并记

$$e=(1,1,\dots ,1{)}^T.$$

第 $j$ 列每个元素都加 $1$，相当于把第 $j$ 列变为 $C_j+e$。由行列式对一列的线性性质，改变后的行列式为

$$\begin{array}{rl}{D}^{\prime }& =|C_1,\dots ,C_j+e,\dots ,C_n|\\ & =|C_1,\dots ,C_j,\dots ,C_n|+|C_1,\dots ,e,\dots ,C_n|\\ & =D+|C_1,\dots ,e,\dots ,C_n|.\end{array}$$

将第二个行列式按第 $j$ 列展开。由于该列所有元素均为 $1$，并且对应的代数余子式与原行列式的 $A_{ij}$ 相同，故

$$|C_1,\dots ,e,\dots ,C_n|=\sum _{i=1}^n{A}_{ij}.$$

因此

$$D^{\prime }-D=\sum _{i=1}^n{A}_{ij}.$$

命题得证。

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3. 若行列式的每个元素都加 $1$，则行列式值的增量为所有代数余子式之和。

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答案： 行列式值的增量为

$$\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^n{A}_{ij}.$$

解析： 设原行列式为

$$D=|C_1,C_2,\dots ,C_n|,$$

其中 $C_j$ 为第 $j$ 列，并记

$$e=(1,1,\dots ,1{)}^T.$$

将每个元素都加 $1$，相当于将每一列 $C_j$ 都替换为 $C_j+e$。于是新行列式为

$$D^{\prime }=|C_1+e,C_2+e,\dots ,C_n+e|.$$

利用行列式对各列的多重线性展开。展开式中：

• 不选择任何 $e$ 的项为原行列式 $D$；
• 恰有一列选择 $e$ 的项共有 $n$ 项；
• 选择两个或两个以上 $e$ 的项，因至少有两列相同，行列式均为零。

因此

$$D^{\prime }=D+\sum _{j=1}^n|C_1,\dots ,C_{j-1},e,C_{j+1},\dots ,C_n|.$$

对第 $j$ 个附加行列式按第 $j$ 列展开，有

$$|C_1,\dots ,e,\dots ,C_n|=\sum _{i=1}^n{A}_{ij}.$$

所以

$$D^{\prime }-D=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^n{A}_{ij},$$

即行列式值的增量等于原行列式所有代数余子式之和。命题得证。