第五章 大数定律和中心极限定理

选择题

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量 $\displaystyle X$ 的方差存在，并且满足不等式

$$\displaystyle P\{|X-EX|\ge3\}\le\frac29,$$

则一定有

A. $\displaystyle DX=2$；

B. $\displaystyle P\{|X-EX|<3\}<\frac79$；

C. $\displaystyle DX\ne2$；

D. $\displaystyle P\{|X-EX|<3\}\ge\frac79$。

由对立事件关系，

$$\displaystyle P\{|X-EX|<3\}=1-P\{|X-EX|\ge3\}.$$

题设给出

$$\displaystyle P\{|X-EX|\ge3\}\le\frac29,$$

因此

$$\displaystyle P\{|X-EX|<3\} \ge 1-\frac29 =\frac79.$$

故（D）一定成立。

切比雪夫不等式只能给出

$$\displaystyle P\{|X-EX|\ge3\}\le\dfrac{DX}{9},$$

但由事件概率不超过 $\displaystyle \frac29$ 不能反推出 $\displaystyle DX=2$ 或 $\displaystyle DX\ne2$，所以（A）、（C）均不一定成立；（B）与上面的结论相反。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量序列 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 相互独立，则根据辛钦大数定律，当 $\displaystyle n\to\infty$ 时

$$\displaystyle \frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i$$

依概率收敛于其数学期望，只要 $\displaystyle \{X_n,n\ge1\}$

A. 有相同的期望；

B. 有相同的方差；

C. 有相同的分布；

D. 服从同参数 $\displaystyle p$ 的0-1分布。

辛钦大数定律的常用表述为：若随机变量序列 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots$ 相互独立同分布，且数学期望

$$\displaystyle EX_i=\mu$$

存在，则

$$\displaystyle \frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\xrightarrow{P}\mu.$$

因此，在题目已说明数学期望存在的前提下，只需再要求这些随机变量同分布，即选择（C）。

（A）仅有相同期望，不能保证样本均值满足辛钦大数定律；（B）仅有相同方差也不够；（D）确实是辛钦大数定律的一个特殊情形，但它比（C）更强，不是该定律的一般条件。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 相互独立，记

$$\displaystyle Y_n=X_{2n}-X_{2n-1}\qquad(n\ge1),$$

根据大数定律，当 $\displaystyle n\to\infty$ 时

$$\displaystyle \frac1n\sum_{i=1}^{n}Y_i$$

依概率收敛到零，只要 $\displaystyle \{X_n,n\ge1\}$

A. 数学期望存在；

B. 有相同的数学期望与方差；

C. 服从同一离散型分布；

D. 服从同一连续型分布。

由于 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots$ 相互独立，而各个 $\displaystyle Y_i$ 分别由互不重叠的随机变量对 $\displaystyle (X_{2i-1},X_{2i})$ 构成，所以 $\displaystyle Y_1,Y_2,\cdots$ 也相互独立。

若所有 $\displaystyle X_n$ 有相同的数学期望 $\displaystyle \mu$ 和相同的方差 $\displaystyle \sigma^2$，则

$$\displaystyle EY_i=EX_{2i}-EX_{2i-1}=\mu-\mu=0,$$

并且

$$\displaystyle DY_i=DX_{2i}+DX_{2i-1}=2\sigma^2.$$

于是

$$\displaystyle E\left(\frac1n\sum_{i=1}^{n}Y_i\right)=0,$$

且

$$\displaystyle D\left(\frac1n\sum_{i=1}^{n}Y_i\right) =\frac1{n^2}\sum_{i=1}^{n}DY_i =\dfrac{2\sigma^2}{n}\to0.$$

由切比雪夫不等式，任取 $\displaystyle \varepsilon>0$，

$$\displaystyle P\left\{\left|\frac1n\sum_{i=1}^{n}Y_i\right|\ge\varepsilon\right\} \le\dfrac{2\sigma^2}{n\varepsilon^2}\to0.$$

因此

$$\displaystyle \frac1n\sum_{i=1}^{n}Y_i\xrightarrow{P}0.$$

故选（B）。

（A）不能保证各 $\displaystyle Y_i$ 的期望为零；（C）、（D）仅说明分布类型相同，未明确保证所需期望、方差存在。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 相互独立且都服从参数为 $\displaystyle \lambda\,（\lambda>0）$ 的泊松分布，则当 $\displaystyle n\to\infty$ 时以 $\displaystyle \Phi(x)$ 为极限的是

A.

$$\displaystyle P\left\{\dfrac{\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i-\lambda}{\sqrt n}\le x\right\};$$

B.

$$\displaystyle P\left\{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\lambda}{\sqrt n}\le x\right\};$$

C.

$$\displaystyle P\left\{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}\le x\right\};$$

D.

$$\displaystyle P\left\{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\lambda}{\sqrt n\lambda}\le x\right\}。$$

因为

$$\displaystyle X_i\sim P(\lambda),$$

所以

$$\displaystyle EX_i=\lambda, \qquad DX_i=\lambda.$$

根据独立同分布随机变量的中心极限定理，

$$\displaystyle \dfrac{\sum_{i=1}^{n}X_i-nEX_i}{\sqrt{nDX_i}} =\dfrac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}} \xrightarrow{d}N(0,1).$$

因此，对任意实数 $\displaystyle x$，

$$\displaystyle P\left\{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}\le x\right\} \to\Phi(x).$$

故选（C）。其余选项的标准化分母均不正确。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 $\displaystyle DX_i=1$，$\displaystyle i=1,\cdots,n$，则对任意 $\displaystyle \varepsilon>0$，根据切比雪夫不等式直接可得

A.

$$\displaystyle P\left\{\left|\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i-n\right|<\varepsilon\right\} \ge1-\frac1{\varepsilon^2};$$

B.

$$\displaystyle P\left\{\left|\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i-n\right|<\varepsilon\right\} \ge1-\frac1{n\varepsilon^2};$$

C.

$$\displaystyle P\left\{\left|\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\right|<\varepsilon\right\} \ge1-\frac1{n\varepsilon^2};$$

D.

$$\displaystyle P\left\{\left|\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\right|<\varepsilon\right\} \ge1-\frac1{\varepsilon^2}。$$

密度函数为偶函数，因此随机变量关于原点对称，从而

$$\displaystyle EX_i=0.$$

令

$$\displaystyle \overline X=\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i.$$

由独立性及 $\displaystyle DX_i=1$，有

$$\displaystyle E\overline X=0,$$

以及

$$\displaystyle D\overline X =\frac1{n^2}\sum_{i=1}^{n}DX_i =\frac1n.$$

由切比雪夫不等式，

$$\displaystyle P\{|\overline X-E\overline X|\ge\varepsilon\} \le\dfrac{D\overline X}{\varepsilon^2} =\frac1{n\varepsilon^2}.$$

因此

$$\displaystyle P\left\{\left|\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\right|<\varepsilon\right\} \ge1-\frac1{n\varepsilon^2}.$$

故选（C）。

填空题

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且

$$\displaystyle X\sim B(5,0.8), \qquad Y\sim N(1,1),$$

则

$$\displaystyle P\{0<X+Y<10\}\ge\underline{\qquad}。$$

令

$$\displaystyle Z=X+Y.$$

由

$$\displaystyle X\sim B(5,0.8)$$

可得

$$\displaystyle EX=5\times0.8=4, \qquad DX=5\times0.8\times0.2=0.8.$$

又因为

$$\displaystyle Y\sim N(1,1),$$

所以

$$\displaystyle EY=1, \qquad DY=1.$$

由于 $\displaystyle X,Y$ 相互独立，故

$$\displaystyle EZ=EX+EY=5,$$$$\displaystyle DZ=DX+DY=1.8=\frac95.$$

注意到

$$\displaystyle 0<Z<10 \quad\Longleftrightarrow\quad |Z-5|<5.$$

由切比雪夫不等式，

$$\displaystyle P\{|Z-5|<5\} \ge1-\dfrac{DZ}{5^2} =1-\dfrac{\frac95}{25} =1-\frac9{125} =\dfrac{116}{125}.$$

因此所求下界为

$$\displaystyle \dfrac{116}{125}.$$

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

设随机变量序列 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 相互独立，

$$\displaystyle EX_i=\mu_i, \qquad DX_i=2, \qquad i=1,2,\cdots,$$

则当 $\displaystyle n\to\infty$ 时，

$$\displaystyle \frac1n\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu_i)$$

依概率收敛于 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

令

$$\displaystyle Y_n=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu_i).$$

则

$$\displaystyle EY_n =\frac1n\sum_{i=1}^{n}(EX_i-\mu_i) =0.$$

由各随机变量相互独立，

$$\displaystyle DY_n =\frac1{n^2}\sum_{i=1}^{n}DX_i =\frac1{n^2}\cdot2n =\frac2n.$$

任取 $\displaystyle \varepsilon>0$，由切比雪夫不等式，

$$\displaystyle P\{|Y_n|\ge\varepsilon\} \le\dfrac{DY_n}{\varepsilon^2} =\frac2{n\varepsilon^2}\to0.$$

因此

$$\displaystyle Y_n\xrightarrow{P}0,$$

即所求依概率极限为 $\displaystyle 0$。

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

随机从数集 $\displaystyle \{1,2,3,4,5\}$ 中有放回地取出 $\displaystyle n$ 个数 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots,X_n$，则当 $\displaystyle n\to\infty$ 时

$$\displaystyle \overline X=\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i$$

依概率收敛于 $\displaystyle \underline{\qquad}$；

$$\displaystyle \frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i^2$$

依概率收敛于 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

因为是有放回抽取，所以 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots$ 相互独立同分布，并且

$$\displaystyle P\{X_i=k\}=\frac15, \qquad k=1,2,3,4,5.$$

于是

$$\displaystyle EX_i =\dfrac{1+2+3+4+5}{5} =3.$$

由辛钦大数定律，

$$\displaystyle \frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\xrightarrow{P}EX_i=3.$$

再令

$$\displaystyle Y_i=X_i^2.$$

则 $\displaystyle Y_1,Y_2,\cdots$ 仍相互独立同分布，且

$$\displaystyle EY_i=EX_i^2 =\dfrac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2}{5} =\dfrac{55}{5} =11.$$

再次应用辛钦大数定律，

$$\displaystyle \frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i^2 =\frac1n\sum_{i=1}^{n}Y_i \xrightarrow{P}11.$$

因此两空依次为 $\displaystyle 3$ 和 $\displaystyle 11$。

计算题与应用题

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

假设随机变量 $\displaystyle X_1,\cdots,X_n$ 相互独立，服从同参数 $\displaystyle \lambda$ 的泊松分布。记

$$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i+n,$$

当 $\displaystyle n$ 充分大时，求 $\displaystyle S_n$ 的近似分布。

因为

$$\displaystyle X_i\sim P(\lambda),$$

所以

$$\displaystyle EX_i=\lambda, \qquad DX_i=\lambda.$$

令

$$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^{n}X_i.$$

由泊松分布的可加性，实际上有

$$\displaystyle T_n\sim P(n\lambda),$$

从而

$$\displaystyle ET_n=n\lambda, \qquad DT_n=n\lambda.$$

当 $\displaystyle n$ 充分大时，由中心极限定理，

$$\displaystyle \dfrac{T_n-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}} \xrightarrow{d}N(0,1),$$

故

$$\displaystyle T_n\approx N(n\lambda,n\lambda).$$

又因为

$$\displaystyle S_n=T_n+n,$$

加上常数只改变数学期望而不改变方差，因此

$$\displaystyle ES_n=n\lambda+n=n(\lambda+1), \qquad DS_n=n\lambda.$$

所以

$$\displaystyle S_n\approx N\bigl(n(\lambda+1),n\lambda\bigr).$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

假设排球运动员的平均身高（单位：厘米）为 $\displaystyle \mu$，标准差为4。求100名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在 $\displaystyle (-1,1)$ 内的概率。

设抽取的100名排球运动员的身高为

$$\displaystyle X_1,X_2,\cdots,X_{100},$$

其总体均值与标准差分别为

$$\displaystyle EX_i=\mu, \qquad \sqrt{DX_i}=4.$$

样本均值为

$$\displaystyle \overline X=\frac1{100}\sum_{i=1}^{100}X_i.$$

由中心极限定理，$\displaystyle \overline X$ 近似服从正态分布

$$\displaystyle \overline X\approx N\left(\mu,\dfrac{4^2}{100}\right) =N(\mu,0.16).$$

因此

$$\displaystyle \dfrac{\overline X-\mu}{4/\sqrt{100}} =\dfrac{\overline X-\mu}{0.4} \approx N(0,1).$$

于是

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{|\overline X-\mu|<1\} &=P\left\{\left|\dfrac{\overline X-\mu}{0.4}\right|<\frac1{0.4}\right\}\\ &\approx P\{|Z|<2.5\}\\ &=\Phi(2.5)-\Phi(-2.5)\\ &=2\Phi(2.5)-1. \end{aligned}$$

查标准正态分布表，

$$\displaystyle \Phi(2.5)\approx0.9938,$$

故

$$\displaystyle P\{|\overline X-\mu|<1\} \approx2\times0.9938-1 =0.9876.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

一大袋麦种的发芽率为 $\displaystyle 80\%$，从中任意取出500粒进行发芽试验，计算其发芽率的偏差不超过 $\displaystyle 2\%$ 的概率。

设500粒麦种中发芽的粒数为 $\displaystyle X$，则

$$\displaystyle X\sim B(500,0.8).$$

样本发芽率为

$$\displaystyle \widehat p=\dfrac{X}{500}.$$

由二项分布的数学期望与方差，

$$\displaystyle E\widehat p=0.8,$$$$\displaystyle D\widehat p =\dfrac{0.8\times0.2}{500} =\dfrac{0.16}{500}.$$

当样本容量较大时，由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，

$$\displaystyle \dfrac{\widehat p-0.8} {\sqrt{0.8\times0.2/500}} \approx N(0,1).$$

因此

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{|\widehat p-0.8|\le0.02\} &\approx P\left\{|Z|\le \dfrac{0.02}{\sqrt{0.8\times0.2/500}} \right\}\\ &=P\{|Z|\le1.118\}\\ &\approx P\{|Z|\le1.12\}\\ &=2\Phi(1.12)-1. \end{aligned}$$

查表得

$$\displaystyle \Phi(1.12)\approx0.8686,$$

所以

$$\displaystyle P\{|\widehat p-0.8|\le0.02\} \approx2\times0.8686-1 =0.7372.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的。规定选择正确得1分，选择错误得0分。假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选择，并且没有不选的情况，计算他能够超过40分的概率。

设答对的题数为 $\displaystyle X$。每道题随机猜对的概率为

$$\displaystyle p=\frac14,$$

且各题的作答可视为相互独立，因此

$$\displaystyle X\sim B\left(100,\frac14\right).$$

其数学期望和方差分别为

$$\displaystyle EX=np=100\times\frac14=25,$$$$\displaystyle DX=np(1-p) =100\times\frac14\times\frac34 =\dfrac{75}{4}.$$

故标准差为

$$\displaystyle \sqrt{DX}=\dfrac{5\sqrt3}{2}\approx4.330.$$

由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，

$$\displaystyle \dfrac{X-25}{\sqrt{75/4}} \approx N(0,1).$$

超过40分即 $\displaystyle X>40$，于是

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{X>40\} &\approx P\left\{Z> \dfrac{40-25}{\sqrt{75/4}} \right\}\\ &=P\{Z>2\sqrt3\}\\ &\approx P\{Z>3.46\}\\ &=1-\Phi(3.46). \end{aligned}$$

由标准正态分布表或数值计算，

$$\displaystyle 1-\Phi(3.46)\approx2.7\times10^{-4}.$$

因此，无知者超过40分的概率极小，约为

$$\displaystyle 0.00027.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设某种商品的合格率为 $\displaystyle 90\%$，某单位要想给100名职工每人一件这种商品。试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以 $\displaystyle 97.5\%$ 的概率保证每人都可以得到一件合格品？

设购买 $\displaystyle n$ 件商品，其中合格品的件数为 $\displaystyle X$，则

$$\displaystyle X\sim B(n,0.9).$$

要保证100名职工每人得到一件合格品，需要

$$\displaystyle X\ge100.$$

由二项分布的数学期望和方差，

$$\displaystyle EX=0.9n, \qquad DX=0.9n\times0.1=0.09n.$$

当 $\displaystyle n$ 较大时，由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，

$$\displaystyle \dfrac{X-0.9n}{0.3\sqrt n} \approx N(0,1).$$

所以

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{X\ge100\} &\approx P\left\{Z\ge \dfrac{100-0.9n}{0.3\sqrt n} \right\}. \end{aligned}$$

要求该概率不小于 $\displaystyle 0.975$。由于

$$\displaystyle P\{Z\ge-1.96\}=\Phi(1.96)\approx0.975,$$

故只需满足

$$\displaystyle \dfrac{100-0.9n}{0.3\sqrt n}\le-1.96.$$

即

$$\displaystyle 0.9n-100\ge0.588\sqrt n.$$

令

$$\displaystyle t=\sqrt n>0,$$

则

$$\displaystyle 0.9t^2-0.588t-100\ge0.$$

其正根为

$$\displaystyle t_0= \dfrac{0.588+\sqrt{0.588^2+4\times0.9\times100}}{1.8} \approx10.873.$$

因此

$$\displaystyle n=t^2\ge t_0^2\approx118.21.$$

由于 $\displaystyle n$ 必须为整数，故至少应取

$$\displaystyle n=119.$$

所以该单位至少购买 $\displaystyle 119$ 件商品。