三、惯性指数与合同规范型

小题

(一)惯性指数的计算与讨论

1. 【2008-1-4分】 设 $A$ 为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程

$$[x,y,z]A\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=1$$

在正交变换下的标准方程的图形如图（图示为双叶双曲面），则 $A$ 的正特征值个数为（ ）

A. $0$    B. $1$    C. $2$    D. $3$

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答案： B。

解析： 双叶双曲面的标准方程可写为

$$\frac{y_1^2}{a^2}-\frac{y_2^2}{b^2}-\frac{y_3^2}{c^2}=1,$$

其中 $a,b,c>0$。其对应二次型有一个正平方项、两个负平方项，因此正惯性指数为 $1$。

实对称矩阵在正交变换下化成的标准形系数就是其特征值，所以 $A$ 的正特征值个数为 $1$。

其余选项对应的正平方项个数均与双叶双曲面的标准方程不符。

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2. 【2011-2-4分】 二次型

$$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3,$$

则 $f$ 的正惯性指数为

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答案： $2$。

解析： 配方得

$$\begin{array}{rl}f& =(x_1+x_2+x_3{)}^2+2x_2^2.\end{array}$$

令

$$y_1=x_1+x_2+x_3,y_2=x_2,y_3=x_3,$$

这是可逆线性变换，于是二次型化为

$$f=y_1^2+2y_2^2.$$

其中有两个正平方项，没有负平方项，故正惯性指数为

$$p=2.$$

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3. 【2014-123-4分】 设二次型

$$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+2a{x}_1{x}_3+4x_2{x}_3$$

的负惯性指数是 $1$，则 $a$ 的取值范围是

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答案：

$$-2\le a\le 2.$$

解析： 对二次型配方：

$$\begin{array}{rl}f& =(x_1+a{x}_3{)}^2-(x_2-2x_3{)}^2+(4-a^2)x_3^2.\end{array}$$

所用变换

$$y_1=x_1+a{x}_3,y_2=x_2-2x_3,y_3=x_3$$

可逆，因此惯性指数不变。

标准形中 $-y_2^2$ 恒提供一个负平方项。要使负惯性指数恰为 $1$，必须使第三项的系数非负，即

$$4-a^2\ge 0.$$

所以

$$-2\le a\le 2.$$

当 $a=\pm 2$ 时第三项为零，负惯性指数仍为 $1$，故端点应保留。

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4. 【2016-23-4分】 设二次型

$$f(x_1,x_2,x_3)=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+2x_1{x}_2+2x_2{x}_3+2x_1{x}_3$$

的正、负惯性指数分别为 $1,2$，则（ ）

A. $a>1$    B. $a<-2$    C. $-2<a<1$    D. $a=1$ 或 $a=-2$

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答案： C。

解析： 二次型矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)=(a-1)E+J.$$

向量 $(1,1,1{)}^T$ 对应特征值 $a+2$，其正交补空间上的两个特征值均为 $a-1$。因此三个特征值为

$$a+2,a-1,a-1.$$

正惯性指数为 $1$、负惯性指数为 $2$，必须满足

$$a+2>0,a-1<0.$$

即

$$-2<a<1.$$

端点会出现零特征值，不符合正、负惯性指数之和为 $3$，故不能取。

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5. 【2025-1-5分】 二次型

$$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3$$

的正惯性指数为（ ）

A. $0$    B. $1$    C. $2$    D. $3$

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答案： B。

解析： 配方得

$$f=(x_1+x_2+x_3{)}^2-(x_2+x_3{)}^2.$$

令

$$y_1=x_1+x_2+x_3,y_2=x_2+x_3,y_3=x_3,$$

该变换可逆，于是

$$f=y_1^2-y_2^2.$$

故正惯性指数为 $1$，负惯性指数为 $1$，秩为 $2$。应选 B。

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6. 【2016-1-4分】 设二次型

$$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1{x}_2+4x_1{x}_3+4x_2{x}_3,$$

则 $f(x_1,x_2,x_3)=2$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）

A. 单叶双曲面    B. 双叶双曲面    C. 椭球面    D. 柱面

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答案： B。

解析： 二次型矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)=2J-E.$$

其特征值为

$$5,-1,-1.$$

经正交变换后，方程化为

$$5y_1^2-y_2^2-y_3^2=2,$$

即

$$\frac{y_1^2}{2/5}-\frac{y_2^2}{2}-\frac{y_3^2}{2}=1.$$

标准方程只有一个正平方项、两个负平方项，表示双叶双曲面，故选 B。

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7. 【2019-123-4分】 设 $A$ 是三阶实对称矩阵，$E$ 是三阶单位矩阵。若

$$A^2+A=2E,|A|=4,$$

则二次型 $x^{T}Ax$ 的规范形为（ ）

A. $y_1^2+y_2^2+y_3^2$    B. $y_1^2+y_2^2-y_3^2$

C. $y_1^2-y_2^2-y_3^2$    D. $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$

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答案： C。

解析： 设 $\lambda$ 是 $A$ 的任一特征值。由

$$A^2+A-2E=O$$

可得

$${\lambda }^2+\lambda -2=0,$$

所以

$$\lambda =1\text{或}\lambda =-2.$$

设三个特征值中有 $k$ 个为 $-2$，则

$$|A|=(-2{)}^k.$$

由 $|A|=4$ 得

$$k=2.$$

故 $A$ 有一个正特征值、两个负特征值，规范形为

$$y_1^2-y_2^2-y_3^2.$$

因此选 C。

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8. 【2021-123-5分】 二次型

$$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2{)}^2+(x_2+x_3{)}^2-(x_3-x_1{)}^2$$

的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）

A. $2,0$    B. $1,1$    C. $2,1$    D. $1,2$

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答案： B。

解析： 展开得

$$f=2x_2^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3,$$

其矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right).$$

计算特征多项式：

$$|\lambda E-A|=\lambda (\lambda -3)(\lambda +1).$$

故特征值为

$$3,-1,0.$$

因此正惯性指数为 $1$，负惯性指数为 $1$，应选 B。

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9. 【2023-23-5分】 二次型

$$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2{)}^2+(x_1+x_3{)}^2-4(x_2-x_3{)}^2$$

的规范形为（ ）

A. $y_1^2+y_2^2$    B. $y_1^2-y_2^2$    C. $y_1^2+y_2^2-y_3^2$    D. $y_1^2-y_2^2-y_3^2$

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答案： B。

解析： 展开二次型，其矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& -3& 4\\ 1& 4& -3\end{array}\right).$$

特征多项式为

$$|\lambda E-A|=\lambda (\lambda -3)(\lambda +7),$$

故特征值为

$$3,-7,0.$$

于是正、负惯性指数均为 $1$，并有一个零平方项。因此规范形为

$$y_1^2-y_2^2.$$

故选 B。

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10. 【2024-3-5分】 设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x^{T}Ax$ 在正交变换下可化为

$$y_1^2-2y_2^2+3y_3^2,$$

则二次型 $f$ 的矩阵 $A$ 的行列式与迹分别为（ ）

A. $-6,-2$    B. $-6,2$    C. $6,-2$    D. $6,2$

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答案： B。

解析： 正交变换将实对称矩阵 $A$ 正交相似对角化，标准形中的系数即 $A$ 的特征值。因此 $A$ 的三个特征值为

$$1,-2,3.$$

故

$$|A|=1\cdot (-2)\cdot 3=-6,$$

且

$$\mathrm{tr}(A)=1-2+3=2.$$

所以应选 B。

(二)合同关系的讨论

1. 【2001-1-3分】 设

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}4& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$

则 $A$ 与 $B$（ ）

A. 合同且相似    B. 合同但不相似    C. 不合同但相似    D. 不合同且不相似

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答案： A。

解析： 矩阵 $A$ 是四阶全 $1$ 矩阵。向量 $(1,1,1,1{)}^T$ 对应特征值 $4$，其正交补空间上的特征值均为 $0$，故 $A$ 的特征值为

$$4,0,0,0.$$

矩阵 $B$ 的特征值也为

$$4,0,0,0.$$

二者均为实对称矩阵，且均可正交相似于 $\mathrm{diag}(4,0,0,0)$，所以 $A$ 与 $B$ 相似。

同时，两者的正惯性指数均为 $1$，负惯性指数均为 $0$，零惯性指数均为 $3$。由惯性定理，二者合同。

因此 $A$ 与 $B$ 既合同又相似，选 A。

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2. 【2007-1234-4分】 设矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& -1\\ -1& -1& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$

则 $A$ 与 $B$（ ）

A. 合同且相似    B. 合同，但不相似    C. 不合同，但相似    D. 既不合同也不相似

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答案： B。

解析： 矩阵 $A$ 可写成

$$A=3E-J,$$

其中 $J$ 为三阶全 $1$ 矩阵。因此向量 $(1,1,1{)}^T$ 对应特征值 $0$，其正交补空间上的两个特征值均为 $3$。故

$$\mathrm{spec}(A)=\{3,3,0\}.$$

矩阵 $B$ 的特征值为

$$\mathrm{spec}(B)=\{1,1,0\}.$$

两矩阵特征值不同，故不相似。

但二者的正惯性指数都为 $2$，负惯性指数都为 $0$，零惯性指数都为 $1$。根据实对称矩阵合同的充要条件，$A$ 与 $B$ 合同。

所以选 B。

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3. 【2008-234-4分】 设

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right),$$

则在实数域上与 $A$ 合同的矩阵为（ ）

A. $\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$    B. $\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$    D. $\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 1\end{array}\right)$

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答案： D。

解析： 矩阵 $A$ 的特征多项式为

$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ -2& \lambda -1\end{array}\right|=(\lambda -3)(\lambda +1).$$

故 $A$ 的特征值为 $3,-1$，正、负惯性指数均为 $1$。

逐项判断：

• A 的特征值为 $-1,-3$，负惯性指数为 $2$；
• B 的特征值为 $1,3$，正惯性指数为 $2$；
• C 的特征值为 $1,3$，正惯性指数为 $2$；
• D 的特征值为 $3,-1$，正、负惯性指数均为 $1$。

因此只有矩阵 D 与 $A$ 具有相同的正、负惯性指数。由惯性定理，二者合同。

也可直接取

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),$$

则

$$P^{T}AP=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 1\end{array}\right).$$

故选 D。

大题

(一)惯性指数的计算与讨论

1. 【1996-12-8分】 已知二次型

$$f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+c{x}_3^2-2x_1{x}_2+6x_1{x}_3-6x_2{x}_3$$

的秩为 $2$。

(1) 求参数 $c$ 及此二次型对应矩阵的特征值；

(2) 指出方程 $f(x_1,x_2,x_3)=1$ 表示何种二次曲面。

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答案：

$$c=3.$$

二次型矩阵的特征值为

$$9,4,0.$$

方程 $f=1$ 表示椭圆柱面。

解析： 二次型矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& -1& 3\\ -1& 5& -3\\ 3& -3& c\end{array}\right).$$

由于二次型的秩为 $2$，所以

$$|A|=0.$$

计算行列式得

$$|A|=24(c-3).$$

故

$$c=3.$$

此时

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& -1& 3\\ -1& 5& -3\\ 3& -3& 3\end{array}\right).$$

计算特征多项式：

$$|\lambda E-A|=\lambda (\lambda -4)(\lambda -9).$$

所以特征值为

$${\lambda }_1=9,{\lambda }_2=4,{\lambda }_3=0.$$

经正交变换后，二次型可化为

$$f=9y_1^2+4y_2^2.$$

因此方程 $f=1$ 化为

$$9y_1^2+4y_2^2=1,$$

其中 $y_3$ 可任意取值。该曲面是母线平行于 $y_3$ 轴的椭圆柱面。

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2. 【2001-3-8分】 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$r(A)=n$，$A_{ij}$ 是 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，二次型

$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{A_{ij}}{|A|}{x}_i{x}_j.$$

(1) 记 $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T$，把 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 写成矩阵形式，并证明二次型 $f(x)$ 的矩阵为 $A^{-1}$；

(2) 二次型 $g(x)=x^{T}Ax$ 与 $f(x)$ 的规范形是否相同？说明理由。

查看答案与解析

答案：

$$f(x)=x^T{A}^{-1}x.$$

二次型 $g(x)=x^{T}Ax$ 与 $f(x)$ 的规范形相同。

解析： 因为 $r(A)=n$，所以 $|A|\ne 0$，矩阵 $A$ 可逆。

矩阵 $A$ 的伴随矩阵为

$$A^{\ast }=(A_{ji}{)}_{n\times n},$$

故

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }={\left(\frac{A_{ji}}{|A|}\right)}_{n\times n}.$$

又因为 $A$ 为实对称矩阵，所以其代数余子式满足

$$A_{ij}=A_{ji}.$$

因此

$$A^{-1}={\left(\frac{A_{ij}}{|A|}\right)}_{n\times n}.$$

于是

$$f(x)=x^T\left(\frac{A_{ij}}{|A|}\right)x=x^T{A}^{-1}x.$$

这就证明了 $f$ 的矩阵是 $A^{-1}$。

下面比较规范形。由于 $A$ 是实对称可逆矩阵，可正交对角化为

$$Q^{T}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n),$$

其中每个 ${\lambda }_i\ne 0$。于是

$$Q^T{A}^{-1}Q=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{{\lambda }_1},\frac{1}{{\lambda }_2},\cdots ,\frac{1}{{\lambda }_n}\right).$$

${\lambda }_i$ 与 $\frac{1}{{\lambda }_i}$ 符号相同，所以 $A$ 与 $A^{-1}$ 的正、负惯性指数分别相同。

根据惯性定理，二次型 $g$ 与 $f$ 的规范形相同。

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3. 【2009-123-11分】 设二次型

$$f(x_1,x_2,x_3)=a{x}_1^2+a{x}_2^2+(a-1)x_3^2+2x_1{x}_3-2x_2{x}_3.$$

(1) 求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值；

(2) 若二次型 $f$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2$，求 $a$ 的值。

查看答案与解析

答案： 矩阵的特征值为

$$a-2,a,a+1.$$

当规范形为 $y_1^2+y_2^2$ 时，

$$a=2.$$

解析： 二次型矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 0& a& -1\\ 1& -1& a-1\end{array}\right).$$

计算特征多项式：

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -a& 0& -1\\ 0& \lambda -a& 1\\ -1& 1& \lambda -a+1\end{array}\right|\\ & =(\lambda -a)(\lambda -a+2)(\lambda -a-1).\end{array}$$

所以特征值为

$$a,a-2,a+1.$$

规范形为 $y_1^2+y_2^2$，说明二次型的正惯性指数为 $2$，负惯性指数为 $0$，秩为 $2$。因此三个特征值中恰有一个为零，另外两个均为正。

分别讨论：

• 若 $a-2=0$，则 $a=2$，另外两个特征值为 $2,3$，均为正，符合题意；
• 若 $a=0$，则特征值为 $-2,0,1$，正、负惯性指数均为 $1$，不合题意；
• 若 $a+1=0$，则特征值为 $-3,-1,0$，没有正特征值，不合题意。

故唯一可能为

$$a=2.$$

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4. 【2018-123-11分】 设实二次型

$$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2+x_3{)}^2+(x_2+x_3{)}^2+(x_1+a{x}_3{)}^2,$$

其中 $a$ 是参数。

(1) 求 $f(x_1,x_2,x_3)=0$ 的解；

(2) 求 $f(x_1,x_2,x_3)$ 的规范形。

查看答案与解析

答案： 当 $a\ne 2$ 时，$f=0$ 只有零解，规范形为

$$y_1^2+y_2^2+y_3^2.$$

当 $a=2$ 时，$f=0$ 的全部解为

$$x=t\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right),t\in \mathbb{R},$$

规范形为

$$y_1^2+y_2^2.$$

解析： 令

$$C=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& a\end{array}\right),$$

则

$$f(x)=\Vert Cx{\Vert }^2=x^T{C}^{T}Cx.$$

由于 $f$ 是若干实线性形式平方之和，所以

$$f(x)=0$$

当且仅当

$$Cx=0.$$

计算

$$|C|=a-2.$$

当 $a\ne 2$ 时，$C$ 可逆，所以 $Cx=0$ 只有零解，即

$$x=0.$$

此时 $r(C)=3$，从而

$$r(C^{T}C)=3.$$

又 $C^{T}C$ 为正定矩阵，故正惯性指数为 $3$，规范形为

$$y_1^2+y_2^2+y_3^2.$$

当 $a=2$ 时，方程组 $Cx=0$ 为

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2+x_3=0,\\ x_2+x_3=0,\\ x_1+2x_3=0.\end{array}$$

令 $x_3=t$，则

$$x_2=-t,x_1=-2t.$$

故全部解为

$$x=t(-2,-1,1{)}^T.$$

此时 $r(C)=2$，所以 $r(C^{T}C)=2$。由于 $C^{T}C$ 半正定，其正惯性指数为 $2$，负惯性指数为 $0$，故规范形为

$$y_1^2+y_2^2.$$

(二)合同关系的讨论

1. 【2025-2-12分】 已知矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 1& 1\\ -2& 1& a\end{array}\right)$$

与

$$B=\left(\begin{array}{ccc}k& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

合同。

(1) 求 $a$ 的值及 $k$ 的取值范围；

(2) 若存在正交矩阵 $Q$，使得 $Q^{T}AQ=B$，求 $k$ 及 $Q$。

查看答案与解析

答案： (1)

$$a=4,k>0.$$

(2)

$$k=3.$$

可取

$$Q=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& -\frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right).$$

解析： 由于 $A$ 与 $B$ 合同，所以二者秩相同。矩阵 $B$ 的第三个对角元为零，因此

$$|B|=0.$$

合同矩阵的秩相同，从而 $A$ 也必为奇异矩阵。计算

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 1& 1\\ -2& 1& a\end{array}\right|=3(a-4).$$

故

$$a=4.$$

此时

$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 1& 1\\ -2& 1& 4\end{array}\right).$$

其特征多项式为

$$|\lambda E-A|=\lambda (\lambda -3)(\lambda -6),$$

故特征值为

$$0,3,6.$$

因此 $A$ 的正惯性指数为 $2$，负惯性指数为 $0$，零惯性指数为 $1$。

矩阵 $B$ 的对角元为 $k,6,0$。要与 $A$ 具有相同的惯性指数，必须有

$$k>0.$$

这就得到第 (1) 问。

若存在正交矩阵 $Q$ 使

$$Q^{T}AQ=B,$$

则 $Q^{-1}=Q^T$，所以 $A$ 与 $B$ 正交相似，二者必须有相同的特征值。由于 $B$ 的特征值为 $k,6,0$，故

$$k=3.$$

下面求 $Q$。对应特征值 $3,6,0$，可分别取特征向量

$$v_1=(1,1,1{)}^T,v_2=(-1,0,1{)}^T,v_3=(1,-2,1{)}^T.$$

三向量两两正交。单位化得

$$q_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1{)}^T,q_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1{)}^T,q_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1{)}^T.$$

令 $Q=(q_1,q_2,q_3)$，则

$$Q^{T}Q=E,$$

且

$$Q^{T}AQ=\mathrm{diag}(3,6,0)=B.$$

因此上述 $Q$ 即为所求正交矩阵。