一、二次型及其矩阵

小题

1. 【2004-3-4分】 二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_3+x_1{)}^2$ 的秩为

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答案： $2$。

解析： 展开二次型：

$$\begin{array}{rl}f& =(x_1+x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_3+x_1{)}^2\\ & =2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-2x_2{x}_3.\end{array}$$

因此其矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& -1\\ 1& -1& 2\end{array}\right).$$

计算行列式：

$$|A|=0,$$

故 $r(A)<3$。又二阶子式

$$\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=3\ne 0,$$

所以 $r(A)\ge 2$。综上，

$$r(f)=r(A)=2.$$