一、数值型矩阵特征值与特征向量的计算

小题

1. 【1989-45-5分】 设 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 2& -1& -2\\ 2& -2& -1\end{array}\right)$

(1)试求 $A$ 矩阵的特征值。

(2)利用(1)的结果，求矩阵 $E+A^{-1}$ 的特征值。其中 $E$ 是三阶单位矩阵。

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答案： (1) $A$ 的特征值为 $-5,1,1$。

(2) $E+A^{-1}$ 的特征值为 $\frac{4}{5},2,2$。

解析： 由特征方程

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda +1& -2& -2\\ -2& \lambda +1& 2\\ -2& 2& \lambda +1\end{array}\right|\\ & =(\lambda -1{)}^2(\lambda +5)=0.\end{array}$$

因此 $A$ 的三个特征值为

$${\lambda }_1=-5,{\lambda }_2={\lambda }_3=1.$$

因为这些特征值均不为零，所以 $A$ 可逆。若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $A^{-1}$ 的对应特征值为 $\frac{1}{\lambda }$，进而 $E+A^{-1}$ 的对应特征值为

$$1+\frac{1}{\lambda }.$$

故

$$1+\frac{1}{-5}=\frac{4}{5},1+\frac{1}{1}=2.$$

其中 $2$ 的代数重数为 $2$。

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2. 【1991-5-5分】 已知向量 $\alpha =(1,k,1{)}^T$ 是矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 的特征向量，求常数 $k$ 的值。

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答案： $k=1$ 或 $k=-2$。

解析： 由于 $A$ 可逆，$A$ 与 $A^{-1}$ 具有相同的特征向量。因此，$\alpha$ 也是 $A$ 的特征向量。

计算

$$A\alpha =\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ k\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k+3\\ 2k+2\\ k+3\end{array}\right).$$

设其对应特征值为 $\lambda$，则

$$\left(\begin{array}{c}k+3\\ 2k+2\\ k+3\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ k\\ 1\end{array}\right).$$

由第一行得 $\lambda =k+3$，代入第二行可得

$$2k+2=k(k+3),$$

即

$$k^2+k-2=0.$$

所以

$$(k-1)(k+2)=0,$$

从而 $k=1$ 或 $k=-2$。两种情况下 $\alpha$ 均为非零向量，故都符合题意。

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3. 【1992-5-3分】 矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$ 的非零特征值是

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答案： $4$。

解析： 令

$$\mathbf{e}=(1,1,1,1{)}^T.$$

则

$$A\mathbf{e}=4\mathbf{e},$$

所以 $4$ 是 $A$ 的一个特征值。

又因为 $A$ 的各行完全相同，所以

$$r(A)=1.$$

因此零特征值的几何重数至少为 $4-1=3$。结合 $A$ 为四阶矩阵可知，其特征值为

$$4,0,0,0.$$

故唯一的非零特征值为 $4$。

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4. 【1999-1-3分】 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的元素全为1，则 $A$ 的 $n$ 个特征值是

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答案： $n,\underset{n-1\text{ 个}}{\underbrace{0,0,\dots ,0}}$。

解析： 令

$$\mathbf{e}=(1,1,\dots ,1{)}^T.$$

由于 $A$ 的每一行元素之和均为 $n$，故

$$A\mathbf{e}=n\mathbf{e},$$

所以 $n$ 是 $A$ 的一个特征值。

另一方面，$A$ 的各行均相同，因此

$$r(A)=1,$$

从而

$$\dim N(A)=n-1.$$

即特征值 $0$ 至少有 $n-1$ 个线性无关的特征向量。由于矩阵共有 $n$ 个特征值，所以全部特征值为

$$n,\underset{n-1\text{ 个}}{\underbrace{0,0,\dots ,0}}.$$

也可由迹验证：$\mathrm{tr}(A)=n$，与上述特征值之和一致。

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5. 【2002-2-3分】 矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& -2\\ 2& 2& -2\\ -2& -2& 2\end{array}\right)$ 的非零特征值是

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答案： $4$。

解析： 计算特征多项式：

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 2& 2\\ -2& \lambda -2& 2\\ 2& 2& \lambda -2\end{array}\right|\\ & ={\lambda }^2(\lambda -4).\end{array}$$

因此特征方程为

$${\lambda }^2(\lambda -4)=0,$$

矩阵的三个特征值是

$$0,0,4.$$

故其非零特征值为 $4$。

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6. 【2017-2-4分】 设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 2& a\\ 3& 1& -1\end{array}\right)$ 的一个特征向量为 $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$，则 $a=$

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答案： $-1$。

解析： 设

$$\alpha =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right).$$

计算得

$$A\alpha =\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 2& a\\ 3& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3+2a\\ 2\end{array}\right).$$

因为 $\alpha$ 是 $A$ 的特征向量，所以存在特征值 $\lambda$，使

$$\left(\begin{array}{c}1\\ 3+2a\\ 2\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right).$$

由第一行可得 $\lambda =1$，第三行也满足 $2=2\lambda$。再由第二行得

$$3+2a=1,$$

所以

$$a=-1.$$

大题

1. 【1987-45-6分】 求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-3& -1& 2\\ 0& -1& 4\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$ 的实特征值及对应的特征向量。

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答案： 实特征值为 $\lambda =1$，对应的全部特征向量为

$$k\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right),k\ne 0.$$

解析： 计算特征多项式：

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda +3& 1& -2\\ 0& \lambda +1& -4\\ 1& 0& \lambda -1\end{array}\right|\\ & =(\lambda -1)({\lambda }^2+4\lambda +5)\\ & =(\lambda -1)[(\lambda +2{)}^2+1].\end{array}$$

因此特征方程为

$$(\lambda -1)({\lambda }^2+4\lambda +5)=0.$$

其中二次方程 ${\lambda }^2+4\lambda +5=0$ 的判别式为

$$\Delta =4^2-4\times 1\times 5=-4<0,$$

故它没有实根。因此矩阵 $A$ 唯一的实特征值是

$$\lambda =1.$$

求对应特征向量，解齐次方程组

$$(A-E)X=0,$$

即

$$\left(\begin{array}{ccc}-4& -1& 2\\ 0& -2& 4\\ -1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=0.$$

由第三个方程得 $x_1=0$，由第二个方程得

$$-2x_2+4x_3=0,$$

所以 $x_2=2x_3$。令 $x_3=k$，则

$$X=k\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right).$$

特征向量必须是非零向量，故 $k\ne 0$。

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2. 【1994-45-8分】 设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ x& 1& y\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$ 有三个线性无关的特征向量，求 $x$ 和 $y$ 应满足的条件。

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答案：

$$x+y=0.$$

解析： 先计算矩阵 $A$ 的特征多项式：

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& -1\\ -x& \lambda -1& -y\\ -1& 0& \lambda \end{array}\right|\\ & =(\lambda -1)({\lambda }^2-1)\\ & =(\lambda -1{)}^2(\lambda +1).\end{array}$$

故 $A$ 的特征值为

$${\lambda }_1=1(\text{二重}),{\lambda }_2=-1(\text{单重}).$$

单特征值 $-1$ 必有一个线性无关的特征向量。要使 $A$ 有三个线性无关的特征向量，二重特征值 $1$ 的特征子空间维数必须为 $2$，即

$$r(A-E)=1.$$

而

$$A-E=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ x& 0& y\\ 1& 0& -1\end{array}\right).$$

第一行与第三行互为相反数。要使该矩阵的秩为 $1$，第二行也必须是第一行的倍数，即存在常数 $k$，使

$$(x,0,y)=k(-1,0,1).$$

于是

$$x=-k,y=k,$$

从而

$$x+y=0.$$

反之，当 $x+y=0$ 时，$r(A-E)=1$，故

$$\dim N(A-E)=3-1=2.$$

此时特征值 $1$ 有两个线性无关的特征向量，再加上特征值 $-1$ 的一个特征向量，矩阵 $A$ 共有三个线性无关的特征向量。因此所求条件为 $x+y=0$。

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3. 【1998-34-9分】 设向量 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^T$，$\beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^T$ 都是非零向量，且满足条件 ${\alpha }^T\beta =0$，记 $n$ 阶矩阵 $A=\alpha {\beta }^T$，求：

(1) $A^2$；

(2)矩阵 $A$ 的特征值和特征向量。

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答案： (1) $A^2=O$。

(2) $A$ 的全部特征值均为 $0$；对应的全部特征向量为满足

$${\beta }^{T}X=0$$

的任意非零向量 $X$。

解析： (1) 由 $A=\alpha {\beta }^T$，有

$$\begin{array}{rl}{A}^2& =(\alpha {\beta }^T)(\alpha {\beta }^T)\\ & =\alpha ({\beta }^T\alpha ){\beta }^T.\end{array}$$

由于 ${\alpha }^T\beta =0$，而 ${\beta }^T\alpha$ 是其转置，仍为标量 $0$，所以

$$A^2=O.$$

(2) 设 $\lambda$ 是 $A$ 的任一特征值，$X\ne 0$ 是对应的特征向量，则

$$AX=\lambda X.$$

两边再左乘 $A$，得

$$A^{2}X=\lambda AX={\lambda }^{2}X.$$

由 $A^2=O$，可得

$${\lambda }^{2}X=0.$$

因为 $X\ne 0$，故

$$\lambda =0.$$

所以 $A$ 的全部特征值均为 $0$。

再求特征值 $0$ 对应的特征向量。方程 $AX=0$ 等价于

$$\alpha {\beta }^{T}X=0.$$

由于 $\alpha \ne 0$，故上式等价于

$${\beta }^{T}X=0.$$

因此，所有满足 ${\beta }^{T}X=0$ 的非零向量 $X$，都是 $A$ 属于特征值 $0$ 的特征向量。

又因为 $\beta \ne 0$，方程 ${\beta }^{T}X=0$ 的解空间维数为 $n-1$。特别地，由 ${\beta }^T\alpha =0$ 可知，$\alpha$ 本身也是一个特征向量。

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4. 【1999-13-9分】 设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a& -1& c\\ 5& b& 3\\ 1-c& 0& -a\end{array}\right)$，且 $|A|=-1$，又设 $A$ 的伴随矩阵 $A^{\ast }$ 有一个特征值 ${\lambda }_0$，属于 ${\lambda }_0$ 的特征向量为 $\alpha =(-1,-1,1{)}^T$，求 $a,b,c$ 及 ${\lambda }_0$ 的值。

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答案：

$$a=2,b=-3,c=2,{\lambda }_0=1.$$

解析： 由 $|A|=-1\ne 0$，可知 $A$ 可逆，并且

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}=-A^{-1}.$$

已知

$$A^{\ast }\alpha ={\lambda }_0\alpha .$$

由于 $A^{\ast }$ 可逆，故 ${\lambda }_0\ne 0$。在上式两边左乘 $A$，并利用 $A{A}^{\ast }=|A|E=-E$，得

$$-\alpha ={\lambda }_{0}A\alpha ,$$

即

$$A\alpha =-\frac{1}{{\lambda }_0}\alpha .$$

因此 $\alpha$ 也是 $A$ 的特征向量。直接计算

$$A\alpha =\left(\begin{array}{ccc}a& -1& c\\ 5& b& 3\\ 1-c& 0& -a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-a+c+1\\ -b-2\\ -a+c-1\end{array}\right).$$

设 $A\alpha =\mu \alpha$，则

$$\{\begin{array}{l}-a+c+1=-\mu ,\\ -b-2=-\mu ,\\ -a+c-1=\mu .\end{array}$$

将第一式与第三式相加，得

$$-2a+2c=0,$$

所以 $c=a$。代入第一式，得

$$1=-\mu ,$$

即 $\mu =-1$。再由第二式可得

$$-b-2=1,$$

所以 $b=-3$。

此时 $c=a$，代入行列式条件：

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}a& -1& a\\ 5& -3& 3\\ 1-a& 0& -a\end{array}\right|=a-3.$$

由 $|A|=-1$，得

$$a-3=-1,$$

所以

$$a=2,c=2.$$

最后，由

$$\mu =-\frac{1}{{\lambda }_0}$$

及 $\mu =-1$，可得

$${\lambda }_0=1.$$

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5. 【2003-4-13分】 设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)$ 可逆，向量 $\alpha =\left(\begin{array}{c}1\\ b\\ 1\end{array}\right)$ 是矩阵 $A^{\ast }$ 的一个特征向量，$\lambda$ 是 $\alpha$ 对应的特征值，其中 $A^{\ast }$ 是矩阵 $A$ 的伴随矩阵。试求 $a,b$ 和 $\lambda$ 的值。

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答案： 共有两组：

$$(a,b,\lambda )=(2,1,1)$$

或

$$(a,b,\lambda )=(2,-2,4).$$

解析： 因为 $A$ 可逆，所以

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}.$$

已知

$$A^{\ast }\alpha =\lambda \alpha .$$

在两边左乘 $A$，得

$$|A|\alpha =\lambda A\alpha .$$

由于 $A^{\ast }$ 可逆，所以其特征值 $\lambda \ne 0$，从而

$$A\alpha =\frac{|A|}{\lambda }\alpha .$$

因此 $\alpha$ 也是 $A$ 的特征向量。设其对应的特征值为 $\mu$，则

$$A\alpha =\mu \alpha .$$

直接计算：

$$A\alpha =\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ b\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b+3\\ 2b+2\\ a+b+1\end{array}\right).$$

故

$$\{\begin{array}{l}b+3=\mu ,\\ 2b+2=\mu b,\\ a+b+1=\mu .\end{array}$$

由第一式与第三式比较，得

$$a+b+1=b+3,$$

所以

$$a=2.$$

将 $\mu =b+3$ 代入第二式，得

$$2b+2=b(b+3),$$

即

$$b^2+b-2=0.$$

因此

$$(b-1)(b+2)=0,$$

所以

$$b=1\text{或}b=-2.$$

当 $a=2$ 时，

$$|A|=3a-2=4\ne 0,$$

与 $A$ 可逆的条件相符。

又由

$$|A|\alpha =\lambda A\alpha =\lambda \mu \alpha$$

可得

$$\lambda =\frac{|A|}{\mu }=\frac{4}{\mu }.$$

当 $b=1$ 时，$\mu =b+3=4$，故

$$\lambda =1.$$

当 $b=-2$ 时，$\mu =b+3=1$，故

$$\lambda =4.$$

综上，所求两组结果为

$$(a,b,\lambda )=(2,1,1),(a,b,\lambda )=(2,-2,4).$$