二、齐次线性方程组的通解

小题

(一)数值型

1. 【1992-12-3分】 要使

$${\xi }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right),{\xi }_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$$

都是线性方程组 $Ax=0$ 的解，只要系数矩阵 $A$ 为

A. $(-2,1,1)$    B. $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$    D. $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 4& -2& -2\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$

查看答案与解析

答案： A。

解析： 要使 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 都是 $Ax=0$ 的解，必须满足

$$A{\xi }_1=0,A{\xi }_2=0.$$

对选项 A，

$$(-2,1,1){\xi }_1=-2+0+2=0,$$$$(-2,1,1){\xi }_2=0+1-1=0,$$

故 A 满足要求。

选项 B 的第二行与 ${\xi }_1$ 的内积为 $2\ne 0$；选项 C 的第一行与 ${\xi }_1$ 的内积为 $3\ne 0$；选项 D 的第一行与 ${\xi }_1$ 的内积为 $-2\ne 0$，均不满足要求。

(二)抽象型

1. 【1993-12-3分】 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和均为零，且 $A$ 的秩为 $n-1$，则线性方程组 $Ax=0$ 的通解为 _____。

查看答案与解析

答案：

$$x=k(1,1,\dots ,1{)}^T,k\in \mathbb{R}.$$

解析： 由于 $A$ 的每一行元素之和均为零，所以

$$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)=0.$$

因此 $(1,1,\dots ,1{)}^T$ 是齐次方程组的非零解。

又因为

$$r(A)=n-1,$$

由秩—零度定理，解空间维数为

$$n-r(A)=1.$$

所以任意非零解都构成基础解系，通解即为

$$x=k(1,1,\dots ,1{)}^T.$$

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2. 【1998-1-5分】 已知线性方程组（Ⅰ）

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1,2n}{x}_{2n}=0,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2,2n}{x}_{2n}=0,\\ \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{n,2n}{x}_{2n}=0\end{array}$$

的一个基础解系为

$$(b_{11},b_{12},\dots ,b_{1,2n}{)}^T,(b_{21},b_{22},\dots ,b_{2,2n}{)}^T,\dots ,(b_{n1},b_{n2},\dots ,b_{n,2n}{)}^T.$$

试写出线性方程组（Ⅱ）

$$\{\begin{array}{l}{b}_{11}{y}_1+b_{12}{y}_2+\cdots +b_{1,2n}{y}_{2n}=0,\\ b_{21}{y}_1+b_{22}{y}_2+\cdots +b_{2,2n}{y}_{2n}=0,\\ \cdots \cdots \\ b_{n1}{y}_1+b_{n2}{y}_2+\cdots +b_{n,2n}{y}_{2n}=0\end{array}$$

的通解，并说明理由。

查看答案与解析

答案： 方程组（Ⅱ）的通解为

$$y=k_1\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{12}\\ ⋮\\ a_{1,2n}\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}{a}_{21}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{2,2n}\end{array}\right)+\cdots +k_n\left(\begin{array}{c}{a}_{n1}\\ a_{n2}\\ ⋮\\ a_{n,2n}\end{array}\right),$$

其中 $k_1,k_2,\dots ,k_n$ 为任意常数。

解析： 记方程组（Ⅰ）的系数矩阵为

$$A=(a_{ij}{)}_{n\times 2n},$$

并记由其基础解系作为行向量组成的矩阵为

$$B=(b_{ij}{)}_{n\times 2n}.$$

方程组（Ⅰ）有 $n$ 个基础解向量，而未知数共有 $2n$ 个，因此

$$2n-r(A)=n,$$

从而

$$r(A)=n.$$

所以 $A$ 的 $n$ 个行向量线性无关。

每一个 $B$ 的行向量都是 $Ax=0$ 的解，故

$$A{B}^T=O.$$

这说明 $A$ 的每个行向量都与 $B$ 的每个行向量正交，因此 $A$ 的行空间包含于 $B$ 的零空间：

$$R(A^T)\subseteq N(B).$$

又因 $B$ 的 $n$ 个行向量构成基础解系，彼此线性无关，所以 $r(B)=n$，进而

$$\dim N(B)=2n-r(B)=n.$$

而 $\dim R(A^T)=r(A)=n$，故二者维数相同，从而

$$N(B)=R(A^T).$$

因此方程组（Ⅱ）$By=0$ 的基础解系可取 $A$ 的各行向量的转置，通解如答案所示。

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3. 【2004-3-4分】 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^{\ast }\ne O$，若 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3,{\xi }_4$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系

A. 不存在    B. 仅含一个非零解向量

C. 含有两个线性无关的解向量    D. 含有三个线性无关的解向量

查看答案与解析

答案： B。

解析： 对 $n$ 阶矩阵，有

$$A^{\ast }\ne O⟹r(A)\ge n-1.$$

又因为非齐次方程组 $Ax=b$ 有至少两个不同的解，所以其对应齐次方程组有非零解，从而 $A$ 不可逆，即

$$r(A)<n.$$

综合两式可得

$$r(A)=n-1.$$

因此齐次方程组的解空间维数为

$$n-r(A)=1.$$

故其基础解系仅含一个非零解向量，选 B。

四个互不相等的非齐次解并不意味着齐次解空间维数至少为三；它们完全可能都位于同一条仿射直线上。

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4. 【2011-12-4分】 设 $A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4]$ 是四阶矩阵，$A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $[1,0,1,0{]}^T$ 是方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系，则 $A^{\ast }x=0$ 的基础解系可为

A. ${\alpha }_1,{\alpha }_3$    B. ${\alpha }_1,{\alpha }_2$

C. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$    D. ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$

查看答案与解析

答案： D。

解析： $[1,0,1,0{]}^T$ 是 $Ax=0$ 的一个基础解系，说明齐次方程组解空间维数为 $1$，所以

$$r(A)=4-1=3.$$

当四阶矩阵 $A$ 的秩为 $3$ 时，

$$r(A^{\ast })=1.$$

故方程组 $A^{\ast }x=0$ 的解空间维数为

$$4-r(A^{\ast })=3.$$

由

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E=O$$

可知 $A$ 的每个列向量均为 $A^{\ast }x=0$ 的解。

又因

$$A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)={\alpha }_1+{\alpha }_3=0,$$

故 ${\alpha }_3=-{\alpha }_1$。因此选项 A 中只有一个独立向量，选项 C 至多含两个线性无关向量。由于 $r(A)=3$，而 ${\alpha }_3$ 与 ${\alpha }_1$ 相关，所以 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4$ 必线性无关。将其中的 ${\alpha }_1$ 替换为其非零倍数 ${\alpha }_3=-{\alpha }_1$，可知 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 仍线性无关。它们均为 $A^{\ast }x=0$ 的解，且解空间维数为 $3$，所以构成一个基础解系，选 D。

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5. 【2019-1-4分】 设 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 为三阶矩阵，若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，且

$${\alpha }_3=-{\alpha }_1+2{\alpha }_2,$$

则线性方程组 $Ax=0$ 的通解为 _____。

查看答案与解析

答案：

$$x=k(1,-2,1{)}^T,k\in \mathbb{R}.$$

解析： 方程组 $Ax=0$ 可写为

$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3=0.$$

代入 ${\alpha }_3=-{\alpha }_1+2{\alpha }_2$，得

$$(x_1-x_3){\alpha }_1+(x_2+2x_3){\alpha }_2=0.$$

由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，故

$$x_1-x_3=0,x_2+2x_3=0.$$

令 $x_3=k$，则

$$x_1=k,x_2=-2k.$$

所以通解为

$$x=k(1,-2,1{)}^T.$$

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6. 【2020-23-4分】 设四阶矩阵 $A=(a_{ij})$ 不可逆，$a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12}\ne 0$，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 为矩阵 $A$ 的列向量组，$A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则 $A^{\ast }x=0$ 的通解为

A. $x=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3$

B. $x=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_4$

C. $x=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_3+k_3{\alpha }_4$

D. $x=k_1{\alpha }_2+k_2{\alpha }_3+k_3{\alpha }_4$

其中 $k_1,k_2,k_3$ 为任意常数。

查看答案与解析

答案： C。

解析： 因为 $A$ 不可逆，所以 $|A|=0$。又因存在三阶代数余子式 $A_{12}\ne 0$，故

$$r(A)\ge 3.$$

结合 $r(A)<4$，可得

$$r(A)=3.$$

因此

$$r(A^{\ast })=1,$$

从而 $A^{\ast }x=0$ 的解空间维数为

$$4-r(A^{\ast })=3.$$

由

$$A^{\ast }A=|A|E=O$$

可知 $A$ 的每个列向量 ${\alpha }_i$ 都是 $A^{\ast }x=0$ 的解。

代数余子式 $A_{12}$ 是删除第 $1$ 行、第 $2$ 列后所得三阶子式再乘符号。$A_{12}\ne 0$ 表明由第 $1,3,4$ 列在第 $2,3,4$ 行构成的三阶子式非零，因此

$${\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_4$$

线性无关。它们是 $A^{\ast }x=0$ 的三个线性无关解，恰好构成一个基础解系。

故通解为

$$x=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_3+k_3{\alpha }_4.$$

大题

(一)数值型

1. 【1996-2-6分】 求齐次线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0,\\ x_1+x_2-x_3+x_4=0,\\ x_3+x_4+x_5=0\end{array}$$

的基础解系。

查看答案与解析

答案：

$${\xi }_1=(-1,1,0,0,0{)}^T,{\xi }_2=(0,0,1,1,-2{)}^T$$

是该方程组的一个基础解系。

解析： 由第一个方程减去第三个方程，得

$$x_1+x_2=0.$$

将其代入第二个方程，得

$$-x_3+x_4=0,$$

即

$$x_1=-x_2,x_4=x_3.$$

再代入第三个方程，有

$$x_3+x_4+x_5=2x_3+x_5=0,$$

故

$$x_5=-2x_3.$$

令自由变量

$$x_2=k_1,x_3=k_2,$$

则

$$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)=k_1\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\\ -2\end{array}\right).$$

两个解向量显然线性无关，因此它们构成一个基础解系。

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2. 【1999-4-9分】 已知线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=0,\\ a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=0,\\ a^2{x}_1+b^2{x}_2+c^2{x}_3=0.\end{array}$$

（1）$a,b,c$ 满足何种关系时，方程组仅有零解？

（2）$a,b,c$ 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。

查看答案与解析

答案： （1）当 $a,b,c$ 两两不相等时，方程组仅有零解。

（2）当 $a,b,c$ 中至少有两个相等时，方程组有无穷多组解。具体为：

• 若 $a=b\ne c$，则基础解系为 $(1,-1,0{)}^T$；
• 若 $a=c\ne b$，则基础解系为 $(1,0,-1{)}^T$；
• 若 $b=c\ne a$，则基础解系为 $(0,1,-1{)}^T$；
• 若 $a=b=c$，则基础解系可取 $(1,-1,0{)}^T,(1,0,-1{)}^T$。

解析： 系数矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right).$$

其行列式为范德蒙德行列式：

$$|A|=(b-a)(c-a)(c-b).$$

当 $a,b,c$ 两两不相等时，$|A|\ne 0$，故 $r(A)=3$，齐次线性方程组仅有零解。

当 $a,b,c$ 中至少有两个相等时，$|A|=0$，故 $r(A)<3$，方程组有非零解，从而有无穷多组解。下面分类求基础解系。

若 $a=b\ne c$，系数矩阵的前两列相同，而第一列与第三列线性无关，所以

$$x_1+x_2=0,x_3=0.$$

故通解为

$$x=k(1,-1,0{)}^T.$$

同理：

$$\begin{array}{rl}a=c\ne b& :x=k(1,0,-1{)}^T,\\ b=c\ne a& :x=k(0,1,-1{)}^T.\end{array}$$

若 $a=b=c$，三个方程均为第一个方程的倍数，方程组等价于

$$x_1+x_2+x_3=0.$$

令 $x_2=-k_1,x_3=-k_2$，则

$$x=k_1(1,-1,0{)}^T+k_2(1,0,-1{)}^T.$$

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3. 【2002-3-8分】 设齐次线性方程组

$$\{\begin{array}{l}a{x}_1+b{x}_2+b{x}_3+\cdots +b{x}_n=0,\\ b{x}_1+a{x}_2+b{x}_3+\cdots +b{x}_n=0,\\ \cdots \cdots \\ b{x}_1+b{x}_2+b{x}_3+\cdots +a{x}_n=0,\end{array}$$

其中 $a\ne 0,b\ne 0,n\ge 2$。试讨论 $a,b$ 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。

查看答案与解析

答案： - 当 $a\ne b$ 且 $a+(n-1)b\ne 0$ 时，方程组仅有零解；

• 当 $a=b$ 时，方程组有无穷多组解，一个基础解系为 $$e_1-e_n,e_2-e_n,\dots ,e_{n-1}-e_n;$$
• 当 $a+(n-1)b=0$ 时，方程组有无穷多组解，一个基础解系为 $$(1,1,\dots ,1{)}^T.$$

解析： 令

$$S=x_1+x_2+\cdots +x_n.$$

第 $i$ 个方程可写为

$$(a-b)x_i+bS=0,i=1,2,\dots ,n.$$

任取两个方程相减，得

$$(a-b)(x_i-x_j)=0.$$

情形一：$a\ne b$。

此时

$$x_1=x_2=\cdots =x_n=t.$$

代入任一方程，得

$$[a+(n-1)b]t=0.$$

因此：

• 若 $a+(n-1)b\ne 0$，则 $t=0$，方程组仅有零解；
• 若 $a+(n-1)b=0$，则 $t$ 任意，通解为 $$x=t(1,1,\dots ,1{)}^T.$$

情形二：$a=b$。

原方程组的每个方程都化为

$$b(x_1+x_2+\cdots +x_n)=0.$$

由于 $b\ne 0$，故

$$x_1+x_2+\cdots +x_n=0.$$

令 $x_1=k_1,\dots ,x_{n-1}=k_{n-1}$，则

$$x_n=-\sum _{i=1}^{n-1}{k}_i,$$

从而

$$x=\sum _{i=1}^{n-1}{k}_i(e_i-e_n).$$

因此 $e_1-e_n,e_2-e_n,\dots ,e_{n-1}-e_n$ 构成一个基础解系。

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4. 【2003-3-13分】 已知齐次线性方程组

$$\{\begin{array}{l}(a_1+b)x_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+\cdots +a_n{x}_n=0,\\ a_1{x}_1+(a_2+b)x_2+a_3{x}_3+\cdots +a_n{x}_n=0,\\ a_1{x}_1+a_2{x}_2+(a_3+b)x_3+\cdots +a_n{x}_n=0,\\ \cdots \\ a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+\cdots +(a_n+b)x_n=0,\end{array}$$

其中 $\sum _{i=1}^n{a}_i\ne 0$，讨论 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 和 $b$ 满足何种关系时：

（1）方程组仅有零解；

（2）方程组有非零解；在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。

查看答案与解析

答案： 记

$$S=a_1+a_2+\cdots +a_n\ne 0.$$

（1）当 $b\ne 0$ 且 $b+S\ne 0$ 时，方程组仅有零解。

（2）方程组有非零解的情形为：

• $b=-S$，此时一个基础解系为 $(1,1,\dots ,1{)}^T$；
• $b=0$，此时任取满足 $a_p\ne 0$ 的下标 $p$，一个基础解系为 $${\eta }_i=e_i-\frac{a_i}{a_p}{e}_p,i\ne p.$$

解析： 令

$$T=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n.$$

第 $i$ 个方程可统一写成

$$T+b{x}_i=0,i=1,2,\dots ,n.$$

情形一：$b\ne 0$。

由上式可知

$$x_1=x_2=\cdots =x_n=t.$$

于是

$$T=t(a_1+a_2+\cdots +a_n)=tS.$$

代回方程得

$$(S+b)t=0.$$

因此，当 $b+S\ne 0$ 时，只有 $t=0$，即仅有零解；当 $b=-S$ 时，$t$ 任意，通解为

$$x=t(1,1,\dots ,1{)}^T.$$

情形二：$b=0$。

原方程组化为同一个方程

$$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=0.$$

由于 $S\ne 0$，故 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 不全为零。取 $a_p\ne 0$，则对每个 $i\ne p$，向量

$${\eta }_i=e_i-\frac{a_i}{a_p}{e}_p$$

均满足该方程。共有 $n-1$ 个这样的向量，且它们线性无关，故构成一个基础解系。

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5. 【2004-12-9分】 设有齐次线性方程组

$$\{\begin{array}{l}(1+a)x_1+x_2+x_3+x_4=0,\\ 2x_1+(2+a)x_2+2x_3+2x_4=0,\\ 3x_1+3x_2+(3+a)x_3+3x_4=0,\\ 4x_1+4x_2+4x_3+(4+a)x_4=0.\end{array}$$

试问 $a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

查看答案与解析

答案： 当且仅当

$$a=0\text{或}a=-10$$

时，方程组有非零解。

• 当 $a=0$ 时，通解为 $$x=k_1(1,-1,0,0{)}^T+k_2(1,0,-1,0{)}^T+k_3(1,0,0,-1{)}^T;$$
• 当 $a=-10$ 时，通解为 $$x=k(1,2,3,4{)}^T.$$

解析： 令

$$S=x_1+x_2+x_3+x_4.$$

原方程组可写为

$$\{\begin{array}{l}S+a{x}_1=0,\\ 2S+a{x}_2=0,\\ 3S+a{x}_3=0,\\ 4S+a{x}_4=0.\end{array}$$

**当 $a=0$ 时，**由第一式得 $S=0$，即

$$x_1+x_2+x_3+x_4=0.$$

令 $x_2=-k_1,x_3=-k_2,x_4=-k_3$，则

$$x=k_1(1,-1,0,0{)}^T+k_2(1,0,-1,0{)}^T+k_3(1,0,0,-1{)}^T.$$

**当 $a\ne 0$ 时，**由四个方程得

$$x_1=-\frac{S}{a},x_2=-\frac{2S}{a},x_3=-\frac{3S}{a},x_4=-\frac{4S}{a}.$$

两边相加，得

$$S=-\frac{10S}{a},$$

即

$$(a+10)S=0.$$

若 $a\ne -10$，则 $S=0$，进而 $x=0$；若 $a=-10$，则

$$(x_1,x_2,x_3,x_4{)}^T=\frac{S}{10}(1,2,3,4{)}^T.$$

故通解为 $x=k(1,2,3,4{)}^T$。

(二)抽象型

1. 【1994-5-8分】 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系，证明：${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_1$ 也是该方程组的一个基础解系。

查看答案与解析

答案： 结论成立。

解析： 先证三个向量都是方程组的解。由于

$$A{\alpha }_1=A{\alpha }_2=A{\alpha }_3=0,$$

故

$$A({\alpha }_1+{\alpha }_2)=A({\alpha }_2+{\alpha }_3)=A({\alpha }_3+{\alpha }_1)=0.$$

再证它们线性无关。设

$$k_1({\alpha }_1+{\alpha }_2)+k_2({\alpha }_2+{\alpha }_3)+k_3({\alpha }_3+{\alpha }_1)=0.$$

整理得

$$(k_1+k_3){\alpha }_1+(k_1+k_2){\alpha }_2+(k_2+k_3){\alpha }_3=0.$$

因为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，所以

$$\{\begin{array}{l}{k}_1+k_3=0,\\ k_1+k_2=0,\\ k_2+k_3=0.\end{array}$$

解得

$$k_1=k_2=k_3=0.$$

故三个新向量线性无关。原方程组解空间的维数为 $3$，因此这三个线性无关的解构成一个基础解系。

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2. 【2001-1-6分】 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 为线性方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系，

$${\beta }_1=t_1{\alpha }_1+t_2{\alpha }_2,{\beta }_2=t_1{\alpha }_2+t_2{\alpha }_3,\dots ,{\beta }_s=t_1{\alpha }_s+t_2{\alpha }_1,$$

其中 $t_1,t_2$ 为实常数。试问 $t_1,t_2$ 满足什么关系时，${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 也为 $Ax=0$ 的一个基础解系。

查看答案与解析

答案：

$$t_1^s+(-1{)}^{s-1}{t}_2^s\ne 0.$$

等价地：当 $s$ 为奇数时，$t_1+t_2\ne 0$；当 $s$ 为偶数时，$t_1\ne \pm t_2$。

解析： 由 $A{\alpha }_i=0$ 可知，每个 ${\beta }_i$ 都是方程组 $Ax=0$ 的解。因此，只需判断 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_s$ 是否线性无关。

以 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$ 为基，${\beta }_1,\dots ,{\beta }_s$ 的坐标矩阵为

$$C=\left(\begin{array}{cccccc}{t}_1& 0& 0& \cdots & 0& t_2\\ t_2& t_1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& t_2& t_1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & t_2& t_1\end{array}\right).$$

该行列式中只有主对角线乘积和循环副对角线乘积可能非零，因此

$$|C|=t_1^s+(-1{)}^{s-1}{t}_2^s.$$

由于 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$ 线性无关，故 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_s$ 线性无关的充分必要条件为

$$|C|\ne 0.$$

这就得到所求条件。

当 $s$ 为奇数时，

$$|C|=t_1^s+t_2^s\ne 0⟺t_1+t_2\ne 0;$$

当 $s$ 为偶数时，

$$|C|=t_1^s-t_2^s\ne 0⟺t_1\ne \pm t_2.$$

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3. 【2001-2-6分】 已知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 是线性方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系，若

$${\beta }_1={\alpha }_1+t{\alpha }_2,{\beta }_2={\alpha }_2+t{\alpha }_3,{\beta }_3={\alpha }_3+t{\alpha }_4,{\beta }_4={\alpha }_4+t{\alpha }_1,$$

讨论实数 $t$ 满足什么关系时，${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4$ 也是 $Ax=0$ 的一个基础解系。

查看答案与解析

答案：

$$t\ne 1\text{且}t\ne -1.$$

解析： 每个 ${\beta }_i$ 都是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 的线性组合，因此均为 $Ax=0$ 的解。

以 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 为基，四个 ${\beta }_i$ 的坐标矩阵为

$$C=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t\\ t& 1& 0& 0\\ 0& t& 1& 0\\ 0& 0& t& 1\end{array}\right).$$

其行列式为

$$|C|=1-t^4=(1-t)(1+t)(1+t^2).$$

由于 $t$ 为实数，$1+t^2>0$，故

$$|C|\ne 0⟺t\ne 1\text{且}t\ne -1.$$

此时四个 ${\beta }_i$ 线性无关，而解空间维数为 $4$，故它们构成一个基础解系。

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4. 【2005-12-9分】 已知三阶矩阵 $A$ 的第一行是 $(a,b,c)$，$(a,b,c)$ 不全为零，矩阵

$$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& k\end{array}\right)$$

（$k$ 为常数），且 $AB=O$，求线性方程组 $Ax=0$ 的通解。

查看答案与解析

答案： 由 $r(A)$ 与 $k$ 的不同，分为以下三种情形。

1. 若 $r(A)=2$，则必有 $k=9$，通解为

$$x=k_1(1,2,3{)}^T.$$

2. 若 $r(A)=1$ 且 $k\ne 9$，通解为

$$x=k_1(1,2,3{)}^T+k_2(3,6,k{)}^T.$$

3. 若 $r(A)=1$ 且 $k=9$，则 $Ax=0$ 等价于

$$a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=0.$$

例如当 $a\ne 0$ 时，通解为

$$x=k_1{\left(-\frac{b}{a},1,0\right)}^T+k_2{\left(-\frac{c}{a},0,1\right)}^T.$$

解析： 因为 $A$ 的第一行不为零，所以

$$r(A)\ge 1.$$

矩阵 $B$ 非零，故 $r(B)\ge 1$。又由 $AB=O$ 的秩不等式

$$r(A)+r(B)\le 3,$$

可得

$$1\le r(A)\le 2.$$

矩阵 $B$ 的第二行是第一行的 $2$ 倍。当 $k=9$ 时，第三行也是第一行的 $3$ 倍，故

$$r(B)=1.$$

当 $k\ne 9$ 时，第一行与第三行线性无关，故

$$r(B)=2.$$

情形一：$r(A)=2$。

此时由 $r(A)+r(B)\le 3$ 得 $r(B)=1$，所以 $k=9$。方程组 $Ax=0$ 的解空间维数为

$$3-r(A)=1.$$

由于 $AB=O$，$B$ 的每个列向量均为 $Ax=0$ 的解。取非零列向量

$${\xi }_1=(1,2,3{)}^T,$$

它便构成一个基础解系。因此

$$x=k_1(1,2,3{)}^T.$$

情形二：$r(A)=1,k\ne 9$。

此时 $r(B)=2$，且

$${\xi }_1=(1,2,3{)}^T,{\xi }_2=(3,6,k{)}^T$$

是 $B$ 的两个线性无关列向量。由 $AB=O$，它们均为 $Ax=0$ 的解。又

$$\dim N(A)=3-r(A)=2,$$

故 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 构成一个基础解系，通解为

$$x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2.$$

情形三：$r(A)=1,k=9$。

此时 $B$ 的列空间只有一维，不能单独由其列向量得到 $Ax=0$ 的两个基础解向量。由于 $r(A)=1$ 且第一行非零，$A$ 的其余各行均为第一行的倍数，因此 $Ax=0$ 等价于

$$a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=0.$$

若 $a\ne 0$，令 $x_2=k_1,x_3=k_2$，则

$$x_1=-\frac{b}{a}{k}_1-\frac{c}{a}{k}_2,$$

从而得到答案中的通解。

若 $a=0,b\ne 0$，则可取基础解系

$$(1,0,0{)}^T,{\left(0,-\frac{c}{b},1\right)}^T;$$

若 $a=b=0$，则 $c\ne 0$，可取基础解系

$$(1,0,0{)}^T,(0,1,0{)}^T.$$