一、线性方程组的解的判定

小题

(一)数值型

1. 【1989-4-3分】 齐次方程组

$$\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=0,\\ x_1+\lambda x_2+x_3=0,\\ x_1+x_2+x_3=0\end{array}$$

只有零解，则 $\lambda$ 应满足的条件。

查看答案与解析

答案： $\lambda \ne 1$。

解析： 齐次线性方程组只有零解，当且仅当其系数矩阵可逆，即系数行列式不为零。系数矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 1& \lambda & 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right).$$

对行列式作行变换 $R_1\leftarrow R_1-R_3$，$R_2\leftarrow R_2-R_3$，得

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 0& 0\\ 0& \lambda -1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=(\lambda -1{)}^2.$$

因此

$$|A|\ne 0⟺\lambda \ne 1.$$

当 $\lambda =1$ 时，三个方程完全相同，显然存在非零解，故应排除。

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2. 【1990-45-3分】 若线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-a_1,\\ x_2+x_3=a_2,\\ x_3+x_4=-a_3,\\ x_4+x_5=a_4\end{array}$$

有解，则常数 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 应满足条件。

查看答案与解析

答案： $a_1,a_2,a_3,a_4$ 可取任意常数，即不需要附加条件。

解析： 该方程组有 $5$ 个未知数、$4$ 个方程。令 $x_2=t$，则可依次解得

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =-a_1-t,\\ x_3& =a_2-t,\\ x_4& =-a_3-x_3=t-a_2-a_3,\\ x_5& =a_4-x_4=a_2+a_3+a_4-t.\end{array}$$

因此对任意 $a_1,a_2,a_3,a_4$，方程组都至少有一组解，而且因 $t$ 可任意取值，实际上总有无穷多组解。

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3. 【1998-3-3分】 齐次线性方程组

$$\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+{\lambda }^2{x}_3=0,\\ x_1+\lambda x_2+x_3=0,\\ x_1+x_2+\lambda x_3=0\end{array}$$

的系数矩阵记为 $A$，若存在三阶矩阵 $B\ne O$，使得 $AB=O$，则

A. $\lambda =-2$ 且 $|B|=0$    B. $\lambda =-2$ 且 $|B|\ne 0$

C. $\lambda =1$ 且 $|B|=0$    D. $\lambda =1$ 且 $|B|\ne 0$

查看答案与解析

答案： C。

解析： 因为 $B\ne O$，所以 $B$ 至少有一个非零列向量 $\beta$。由 $AB=O$ 可知

$$A\beta =0,$$

故齐次方程组 $Ax=0$ 有非零解，从而 $|A|=0$。

计算

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& {\lambda }^2\\ 1& \lambda & 1\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right|=(\lambda -1{)}^2.$$

所以 $\lambda =1$。

此时

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\ne O.$$

若 $|B|\ne 0$，则 $B$ 可逆，由 $AB=O$ 右乘 $B^{-1}$ 得 $A=O$，矛盾。因此必有 $|B|=0$。

错误选项分析：A、B 的参数值错误；D 中若 $B$ 可逆会推出 $A=O$，不可能成立。

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4. 【2000-1-3分】 已知方程组

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& a+2\\ 1& a& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$$

无解，则 $a=$ _____。

查看答案与解析

答案： $-1$。

解析： 记系数矩阵为 $A$。先计算

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& a+2\\ 1& a& -2\end{array}\right|=-(a-3)(a+1).$$

若 $a\ne 3,-1$，则 $|A|\ne 0$，方程组有唯一解，不可能无解。因此只需考查 $a=3$ 与 $a=-1$。

当 $a=3$ 时，增广矩阵经初等行变换可化为

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 7& 3\\ 0& 1& -3& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$

故 $r(A)=r(\overline{A})=2<3$，有无穷多解。

当 $a=-1$ 时，增广矩阵可化为

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

最后一行对应矛盾方程 $0=1$，故

$$r(A)=2<r(\overline{A})=3,$$

方程组无解。因此 $a=-1$。

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5. 【2001-2-3分】 设方程

$$\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$$

有无穷多个解，则 $a=$ _____。

查看答案与解析

答案： $-2$。

解析： 系数矩阵可写成

$$A=(a-1)E+J,$$

其中 $J$ 为所有元素均为 $1$ 的三阶矩阵。其特征值为

$$a+2,otag$$

对应特征向量 $(1,1,1{)}^T$，以及二重特征值 $a-1$。故

$$|A|=(a+2)(a-1{)}^2.$$

有无穷多个解要求 $|A|=0$ 且方程组相容，因此考查 $a=1$ 与 $a=-2$。

当 $a=1$ 时，$A=J$，其列空间为

$$\mathrm{span}\{(1,1,1{)}^T\}.$$

而右端向量 $(1,1,-2{)}^T$ 不属于该空间，故方程组无解。

当 $a=-2$ 时，$A$ 的零空间由 $(1,1,1{)}^T$ 张成，而其列空间为

$$\{(y_1,y_2,y_3{)}^T:y_1+y_2+y_3=0\}.$$

右端向量满足 $1+1-2=0$，所以方程组相容；又 $r(A)=2<3$，故有无穷多个解。

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6. 【2015-123-4分】 设矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& a\\ 1& 4& a^2\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}1\\ d\\ d^2\end{array}\right).$$

若集合 $\Omega =\{1,2\}$，则线性方程组 $Ax=b$ 有无穷多个解的充分必要条件为

A. $a\notin \Omega ,d\notin \Omega$    B. $a\notin \Omega ,d\in \Omega$

C. $a\in \Omega ,d\notin \Omega$    D. $a\in \Omega ,d\in \Omega$

查看答案与解析

答案： D。

解析： 记

$$v(t)=\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ t^2\end{array}\right),$$

则

$$A=(v(1),v(2),v(a)),b=v(d).$$

矩阵 $A$ 是范德蒙德型矩阵，故

$$|A|=(2-1)(a-1)(a-2)=(a-1)(a-2).$$

方程组有无穷多个解，首先要求 $|A|=0$，即

$$a\in \{1,2\}=\Omega .$$

此时

$$\mathrm{Col}(A)=\mathrm{span}\{v(1),v(2)\}.$$

方程组相容当且仅当 $v(d)$ 属于上述列空间，即

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& d\\ 1& 4& d^2\end{array}\right|=(d-1)(d-2)=0.$$

因此 $d\in \Omega$。综上，充分必要条件为

$$a\in \Omega ,d\in \Omega .$$

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7. 【2019-3-4分】 已知矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 1& 1& -1\\ 0& 1& a^2-1\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ a\end{array}\right).$$

$Ax=b$ 有无穷多个解，则 $a=$ _____。

查看答案与解析

答案： $1$。

解析： 先计算系数行列式：

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 1& 1& -1\\ 0& 1& a^2-1\end{array}\right|=a^2-1=(a-1)(a+1).$$

有无穷多个解必须满足 $|A|=0$，故 $a=1$ 或 $a=-1$。

当 $a=1$ 时，增广矩阵化简为

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$

所以 $r(A)=r(\overline{A})=2<3$，有无穷多个解。

当 $a=-1$ 时，增广矩阵化简后出现

$$(0,0,0\mid 1),$$

所以 $r(A)=2<r(\overline{A})=3$，方程组无解。

因此 $a=1$。

(二)抽象型

1. 【1989-5-3分】 设 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ 的系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$，则 $Ax=0$ 有非零解的充分必要条件是

A. $r=n$    B. $r<n$    C. $r\ge n$    D. $r>n$

查看答案与解析

答案： B。

解析： 齐次方程组 $Ax=0$ 的解空间维数为

$$n-r(A)=n-r.$$

存在非零解当且仅当解空间维数大于零，即

$$n-r>0⟺r<n.$$

当 $r=n$ 时，未知量对应的列向量线性无关，方程组只有零解；C、D 也不可能作为存在非零解的条件。

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2. 【1991-5-3分】 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$Ax=0$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是

A. 若 $Ax=0$ 仅有零解，则 $Ax=b$ 有唯一解    B. 若 $Ax=0$ 有非零解，则 $Ax=b$ 有无穷多个解

C. 若 $Ax=b$ 有无穷多个解，则 $Ax=0$ 仅有零解    D. 若 $Ax=b$ 有无穷多个解，则 $Ax=0$ 有非零解

查看答案与解析

答案： D。

解析： 若 $Ax=b$ 有无穷多个解，任取两个不同的解 $x^{(1)},x^{(2)}$，则

$$A(x^{(1)}-x^{(2)})=b-b=0.$$

由于 $x^{(1)}\ne x^{(2)}$，故 $x^{(1)}-x^{(2)}$ 是齐次方程组的非零解，所以 D 正确。

错误选项分析：

• A：齐次方程组只有零解只能说明非齐次方程组至多有一个解，不能保证其一定相容。
• B：齐次方程组有非零解时，若非齐次方程组相容才有无穷多解；非齐次方程组也可能无解。
• C：与正确结论恰好相反。

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3. 【1992-4-3分】 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，则齐次线性方程组 $Ax=0$ 仅有零解的充分条件是

A. $A$ 的列向量线性无关    B. $A$ 的列向量线性相关

C. $A$ 的行向量线性无关    D. $A$ 的行向量线性相关

查看答案与解析

答案： A。

解析： 设 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$，则

$$Ax=x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n.$$

若 $A$ 的列向量线性无关，则

$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=0$$

只能推出 $x_1=x_2=\cdots =x_n=0$，故齐次方程组只有零解。事实上，“列向量线性无关”不仅是充分条件，也是必要条件。

行向量是否线性无关不能直接保证未知数对应的列向量线性无关，因此 C、D 均不成立。

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4. 【1997-4-3分】 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 中未知数的个数为 $n$，方程个数为 $m$，系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$，则

A. $r=m$ 时，方程组 $Ax=b$ 有解    B. $r=n$ 时，方程组 $Ax=b$ 有唯一解

C. $m=n$ 时，方程组 $Ax=b$ 有唯一解    D. $r<n$ 时，方程组 $Ax=b$ 有无穷多解

查看答案与解析

答案： A。

解析： 若 $r(A)=m$，则 $A$ 满行秩，其列空间维数为 $m$。由于列空间是 ${\mathbb{R}}^m$ 的 $m$ 维子空间，故

$$\mathrm{Col}(A)={\mathbb{R}}^m.$$

因此对任意右端向量 $b\in {\mathbb{R}}^m$，方程组 $Ax=b$ 都有解，所以 A 正确。

错误选项分析：

• B：$r=n$ 说明方程组若有解则唯一，但不保证相容。
• C：方程数等于未知数个数不代表系数矩阵可逆。
• D：$r<n$ 时，若方程组相容才有无穷多解；也可能无解。

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5. 【2001-3-3分】 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$\alpha$ 是 $n$ 维列向量，若

$$r\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^T& 0\end{array}\right)=r(A),$$

则线性方程组

A. $Ax=\alpha$ 必有无穷多解

B. $Ax=\alpha$ 必有唯一解

C. $\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^T& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0$ 仅有零解

D. $\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^T& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0$ 必有非零解

查看答案与解析

答案： D。

解析： 记

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^T& 0\end{array}\right).$$

矩阵 $M$ 是 $n+1$ 阶矩阵，而题设给出

$$r(M)=r(A)\le n<n+1.$$

因此 $M$ 不满秩，齐次线性方程组

$$M\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0$$

必有非零解，故 D 正确。

此外，由于在 $A$ 右侧增加列 $\alpha$ 后秩不增加，可知 $\alpha$ 可由 $A$ 的列向量线性表示，所以 $Ax=\alpha$ 有解。但当 $r(A)=n$ 时该解唯一，当 $r(A)<n$ 时有无穷多解，因此 A、B 均不能确定。

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6. 【2002-3-3分】 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times m$ 矩阵，则线性方程组 $(AB)x=0$

A. 当 $n>m$ 时仅有零解    B. 当 $n>m$ 时必有非零解

C. 当 $m>n$ 时仅有零解    D. 当 $m>n$ 时必有非零解

查看答案与解析

答案： D。

解析： 矩阵 $AB$ 是 $m$ 阶方阵，并且

$$r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}\le n.$$

当 $m>n$ 时，

$$r(AB)\le n<m,$$

所以 $AB$ 不满秩。于是 $(AB)x=0$ 的解空间维数满足

$$m-r(AB)>0,$$

必有非零解，故 D 正确。

当 $n>m$ 时，$AB$ 仍可能可逆，也可能不可逆，不能确定是否只有零解，因此 A、B 均错误。

(三)与空间解析几何的结合(数一)

1. 【1997-1-3分】 设

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right).$$

则三条直线 $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$，$a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$，$a_{3}x+b_{3}y+c_3=0$（其中 $a_i^2+b_i^2\ne 0$，$i=1,2,3$）交于一点的充要条件是

A. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关

B. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关

C. $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2)$

D. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关，${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关

查看答案与解析

答案： D。

解析： 三条直线交于一点，等价于关于 $x,y$ 的方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=-c_1,\\ a_{2}x+b_{2}y=-c_2,\\ a_{3}x+b_{3}y=-c_3\end{array}$$

有唯一解。设系数矩阵和增广矩阵分别为

$$C=\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\\ a_3& b_3\end{array}\right),\overline{C}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right).$$

有唯一交点的充要条件为

$$r(C)=r(\overline{C})=2.$$

其中 $r(\overline{C})=2$ 表示其三列向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关；而 $r(C)=2$ 表示 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关。因此选 D。

A 只保证增广矩阵秩小于 $3$，还可能三条直线平行或重合；B 对应增广矩阵满秩，方程组无解；C 的向量排列不能准确表达上述两个秩条件。

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2. 【1998-1-3分】 设矩阵

$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right)$$

是满秩的，则直线

$$\frac{x-a_3}{a_1-a_2}=\frac{y-b_3}{b_1-b_2}=\frac{z-c_3}{c_1-c_2}$$

与直线

$$\frac{x-a_1}{a_2-a_3}=\frac{y-b_1}{b_2-b_3}=\frac{z-c_1}{c_2-c_3}$$

A. 相交于一点    B. 重合    C. 平行但不重合    D. 异面

查看答案与解析

答案： A。

解析： 记三个位置向量为

$$P_1=(a_1,b_1,c_1{)}^T,P_2=(a_2,b_2,c_2{)}^T,P_3=(a_3,b_3,c_3{)}^T.$$

两条直线分别可写为

$$L_1:P=P_3+s(P_1-P_2),$$$$L_2:P=P_1+t(P_2-P_3).$$

取 $s=1$、$t=-1$，则

$$P_3+(P_1-P_2)=P_1-(P_2-P_3)=P_1-P_2+P_3.$$

故两条直线至少有一个公共点。

题设矩阵满秩，说明 $P_1,P_2,P_3$ 线性无关，因此两方向向量 $P_1-P_2$ 与 $P_2-P_3$ 不平行，两直线不会重合。故它们相交于唯一一点。

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3. 【2002-1-3分】 设有三张不同平面的方程

$$a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=b_i,i=1,2,3,$$

它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 $2$，则这三张平面可能的位置关系为 _____。

查看答案与解析

答案： 三张平面相交于同一条直线。

解析： 设系数矩阵为 $A$、增广矩阵为 $\overline{A}$。题设

$$r(A)=r(\overline{A})=2,$$

所以方程组相容。未知数有 $3$ 个，其解空间中自由未知数的个数为

$$3-r(A)=1.$$

因此方程组的解集是一条空间直线，即三张平面具有一条公共交线。

由于三张平面彼此不同，不会出现三张平面完全重合的情形；而若无公共点，则应有 $r(A)<r(\overline{A})$，与题设不符。

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4. 【2019-1-4分】 如图所示，有 $3$ 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 $a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=d_i$（$i=1,2,3$）组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 $A,\overline{A}$，则

A. $r(A)=2,r(\overline{A})=3$    B. $r(A)=2,r(\overline{A})=2$

C. $r(A)=1,r(\overline{A})=2$    D. $r(A)=1,r(\overline{A})=1$

查看答案与解析

答案： A。

解析： 由题图可知，三张平面两两相交，但三条交线相互平行且不重合，因此三张平面没有公共点。对应的线性方程组无解，所以

$$r(A)<r(\overline{A}).$$

任意两张平面相交，说明任意两张平面的法向量不平行，即系数矩阵中至少有两个行向量线性无关，因此

$$r(A)\ge 2.$$

另一方面，三条两两交线相互平行，说明三个法向量都位于同一个二维子空间内，故

$$r(A)=2.$$

增广矩阵最多有三行，又必须满足 $r(\overline{A})>r(A)$，所以

$$r(\overline{A})=3.$$

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5. 【2020-1-4分】 已知直线

$$L_1:\frac{x-a_2}{a_1}=\frac{y-b_2}{b_1}=\frac{z-c_2}{c_1}$$

与

$$L_2:\frac{x-a_3}{a_2}=\frac{y-b_3}{b_2}=\frac{z-c_3}{c_2}$$

相交于一点，设向量

$${\alpha }_i=\left(\begin{array}{c}{a}_i\\ b_i\\ c_i\end{array}\right),i=1,2,3,$$

则

A. ${\alpha }_1$ 可由 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示    B. ${\alpha }_2$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_3$ 线性表示

C. ${\alpha }_3$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性表示    D. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关

查看答案与解析

答案： C。

解析： 直线 $L_1$ 经过点 ${\alpha }_2$，方向向量为 ${\alpha }_1$；直线 $L_2$ 经过点 ${\alpha }_3$，方向向量为 ${\alpha }_2$。两直线相交，故存在实数 $s,t$，使

$${\alpha }_2+s{\alpha }_1={\alpha }_3+t{\alpha }_2.$$

整理得

$${\alpha }_3=s{\alpha }_1+(1-t){\alpha }_2.$$

因此 ${\alpha }_3$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性表示，选 C。

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6. 【2024-1-5分】 在空间直角坐标系中，三张平面

$${\pi }_i:a_{i}x+b_{i}y+c_{i}z=d_i,i=1,2,3$$

的位置关系如图所示。记

$${\alpha }_i=(a_i,b_i,c_i),{\beta }_i=(a_i,b_i,c_i,d_i),$$

若

$$r\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ {\alpha }_3\end{array}\right)=m,r\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ {\beta }_3\end{array}\right)=n,$$

则

A. $m=1,n=2$    B. $m=n=2$    C. $m=2,n=3$    D. $m=n=3$

查看答案与解析

答案： B。

解析： 由题图可知，三张不同平面具有同一条公共交线。因此对应的三元线性方程组相容，且解集是一条直线。

三元线性方程组的解集中有一个自由未知数，所以系数矩阵的秩为

$$m=3-1=2.$$

又因为方程组相容，系数矩阵与增广矩阵的秩相等，故

$$n=m=2.$$

因此选 B。

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7. 【2025-1-5分】 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 是 $n$ 维向量，${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关，且

$${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_4=0.$$

在空间直角坐标系中，关于 $x,y,z$ 的方程组

$$x{\alpha }_1+y{\alpha }_2+z{\alpha }_3={\alpha }_4$$

的几何图形是

A. 过原点的一个平面    B. 过原点的一条直线    C. 不过原点的一个平面    D. 不过原点的一条直线

查看答案与解析

答案： D。

解析： 由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，而 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关，所以

$${\alpha }_3\in \mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\},$$

从而系数矩阵

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$$

的秩为 $2$。

又由

$${\alpha }_4=-{\alpha }_1-{\alpha }_2$$

可知 ${\alpha }_4$ 属于 $A$ 的列空间，因此方程组相容。未知数有 $3$ 个，故解集维数为

$$3-r(A)=1,$$

其几何图形是一条直线。

若该直线经过原点，则 $x=y=z=0$ 应为方程组的解，从而 ${\alpha }_4=0$。但这会推出 ${\alpha }_1+{\alpha }_2=0$，与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关矛盾。因此该直线不过原点。

大题

(三)与空间解析几何的结合(数一)

1. 【2003-12-8分】 已知平面上三条不同直线的方程分别为

$$l_1:ax+2by+3c=0,l_2:bx+2cy+3a=0,l_3:cx+2ay+3b=0.$$

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 $a+b+c=0$。

查看答案与解析

答案： 三条直线交于一点的充分必要条件为

$$a+b+c=0.$$

解析： 将三条直线的方程看成关于 $x,y$ 的线性方程组，其系数矩阵与增广矩阵分别为

$$C=\left(\begin{array}{cc}a& 2b\\ b& 2c\\ c& 2a\end{array}\right),\overline{C}=\left(\begin{array}{ccc}a& 2b& 3c\\ b& 2c& 3a\\ c& 2a& 3b\end{array}\right).$$

先说明 $r(C)=2$。若 $r(C)<2$，则 $C$ 的所有二阶子式均为零，即

$$ac=b^2,a^2=bc,ab=c^2.$$

在三条直线均有意义的条件下，以上关系只能推出 $a=b=c$；此时三条直线的方程完全相同，与“三条不同直线”矛盾。因此

$$r(C)=2.$$

三条直线交于一点，当且仅当方程组相容。由于 $r(C)=2$，这等价于

$$r(\overline{C})=2,$$

即

$$|\overline{C}|=0.$$

计算得

$$\begin{array}{rl}|\overline{C}|& =\left|\begin{array}{ccc}a& 2b& 3c\\ b& 2c& 3a\\ c& 2a& 3b\end{array}\right|\\ & =-6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\\ & =-3(a+b+c)[(a-b{)}^2+(a-c{)}^2+(b-c{)}^2].\end{array}$$

因为三条直线不同，所以不可能有 $a=b=c$，从而

$$(a-b{)}^2+(a-c{)}^2+(b-c{)}^2>0.$$

于是

$$|\overline{C}|=0⟺a+b+c=0.$$

因此，三条直线交于一点的充分必要条件是

$$a+b+c=0.$$