三、向量空间(数一)

小题

1. 【1987-12-3分】 已知三维线性空间的一组基 ${\alpha }_1=(1,1,0)$，${\alpha }_2=(1,0,1)$，${\alpha }_3=(0,1,1)$，则向量 $\beta =(2,0,0)$ 在上述基下的坐标是

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答案： $(1,1,-1{)}^T$。

解析： 设 $\beta =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3$，则

$$x_1(1,1,0)+x_2(1,0,1)+x_3(0,1,1)=(2,0,0).$$

比较各分量，得

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2,\\ x_1+x_3=0,\\ x_2+x_3=0.\end{array}$$

由后两式得 $x_1=x_2$、$x_3=-x_1$，代入第一式可得

$$x_1=x_2=1,x_3=-1.$$

因此 $\beta$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 下的坐标为

$$(1,1,-1{)}^T.$$

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2. 【1997-1-5分】 设 $B$ 是秩为2的 $5\times 4$ 矩阵，${\alpha }_1=(1,1,2,3{)}^T$，${\alpha }_2=(-1,1,4,-1{)}^T$，${\alpha }_3=(5,-1,-8,9{)}^T$ 是齐次线性方程组 $Bx=0$ 的解向量，求 $Bx=0$ 的解空间的一个标准正交基。

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答案： 一个标准正交基为

$$\left\{\frac{1}{\sqrt{15}}(1,1,2,3{)}^T,\frac{1}{\sqrt{39}}(-2,1,5,-3{)}^T\right\}.$$

解析： 矩阵 $B$ 有4列且 $r(B)=2$，故由秩—零度定理，齐次方程组 $Bx=0$ 的解空间维数为

$$4-r(B)=2.$$

先考察所给三个解向量。直接计算得

$${\alpha }_3=2{\alpha }_1-3{\alpha }_2.$$

而 ${\alpha }_1$ 与 ${\alpha }_2$ 显然不成比例，故二者线性无关。因此

$$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}$$

是解空间的一组基。

对其施行施密特正交化。取

$$u_1={\alpha }_1=(1,1,2,3{)}^T,$$

则

$$\Vert u_1\Vert =\sqrt{1^2+1^2+2^2+3^2}=\sqrt{15}.$$

又

$${\alpha }_2^T{u}_1=-1+1+8-3=5,$$

故

$$u_2={\alpha }_2-\frac{{\alpha }_2^T{u}_1}{u_1^T{u}_1}{u}_1={\alpha }_2-\frac{1}{3}{\alpha }_1=\frac{2}{3}(-2,1,5,-3{)}^T.$$

可取

$$u_2=(-2,1,5,-3{)}^T,$$

且

$$u_1^T{u}_2=-2+1+10-9=0,\Vert u_2\Vert =\sqrt{39}.$$

归一化后得到所求标准正交基

$$\left\{\frac{u_1}{\Vert u_1\Vert },\frac{u_2}{\Vert u_2\Vert }\right\}=\left\{\frac{1}{\sqrt{15}}(1,1,2,3{)}^T,\frac{1}{\sqrt{39}}(-2,1,5,-3{)}^T\right\}.$$

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3. 【2003-1-4分】 从 $R^2$ 的基 ${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$，${\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ 到基 ${\beta }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$，${\beta }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ 的过渡矩阵为

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答案：

$$P=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right).$$

解析： 设从基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 的过渡矩阵为 $P$，按定义有

$$({\beta }_1,{\beta }_2)=({\alpha }_1,{\alpha }_2)P.$$

分别将新基向量用旧基表示。

对 ${\beta }_1$，设

$${\beta }_1=x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2.$$

即

$$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=x_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right),$$

解得 $x_1=2,x_2=-1$，故

$${\beta }_1=2{\alpha }_1-{\alpha }_2.$$

同理，对 ${\beta }_2$ 有

$${\beta }_2=3{\alpha }_1-2{\alpha }_2.$$

因此过渡矩阵的两列分别为上述坐标，故

$$P=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right).$$

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4. 【2009-1-4分】 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 是3维向量空间 $R^3$ 的一组基，则由基 ${\alpha }_1,\frac{1}{2}{\alpha }_2,\frac{1}{3}{\alpha }_3$ 到基 ${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_1$ 的过渡矩阵为（ ）

A. $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 2& 0\\ 0& 3& 3\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 2& 3\\ 1& 0& 3\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{4}& -\frac{1}{6}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{4}& \frac{1}{6}\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{6}& \frac{1}{6}& \frac{1}{6}\end{array}\right)$

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答案： A。

解析： 记旧基为

$$e_1={\alpha }_1,e_2=\frac{1}{2}{\alpha }_2,e_3=\frac{1}{3}{\alpha }_3,$$

新基为

$${\beta }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2,{\beta }_2={\alpha }_2+{\alpha }_3,{\beta }_3={\alpha }_3+{\alpha }_1.$$

由于

$${\alpha }_1=e_1,{\alpha }_2=2e_2,{\alpha }_3=3e_3,$$

故

$$\begin{array}{rl}{\beta }_1& =e_1+2e_2,\\ {\beta }_2& =2e_2+3e_3,\\ {\beta }_3& =e_1+3e_3.\end{array}$$

于是从旧基到新基的过渡矩阵为

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 2& 0\\ 0& 3& 3\end{array}\right).$$

因此选 A。其余选项要么把系数按行排列，要么对应逆过渡矩阵，均不符合本题的过渡矩阵定义。

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5. 【2010-1-4分】 设 ${\alpha }_1=[1,2,-1,0{]}^T$，${\alpha }_2=[1,1,0,2{]}^T$，${\alpha }_3=[2,1,1,a{]}^T$，若由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 生成的向量空间的维数为2，则 $a=$

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答案： $6$。

解析： 向量 ${\alpha }_1$ 与 ${\alpha }_2$ 不成比例，故二者线性无关。题设生成空间的维数为2，因此 ${\alpha }_3$ 必可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性表示。

设

$${\alpha }_3=x{\alpha }_1+y{\alpha }_2.$$

比较前三个分量，有

$$\{\begin{array}{l}x+y=2,\\ 2x+y=1,\\ -x=1.\end{array}$$

由第三式得 $x=-1$，进而由第一式得 $y=3$，第二式也成立。

比较第四个分量，得

$$a=0\cdot x+2y=6.$$

此时

$${\alpha }_3=-{\alpha }_1+3{\alpha }_2,$$

故三个向量的秩恰为2。因此

$$a=6.$$

大题

1. 【1993-2-6分】 已知 $R^3$ 的两个基为 ${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，${\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$，${\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ 与 ${\beta }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$，${\beta }_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$，${\beta }_3=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 3\end{array}\right)$。求基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 到 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 的过渡矩阵。

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答案：

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 0& -1& 0\\ -1& 0& -1\end{array}\right).$$

解析： 设过渡矩阵为 $P$，则按定义

$$({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)P.$$

分别把各 ${\beta }_i$ 用基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示。

首先，

$$2{\alpha }_1-{\alpha }_3=2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)={\beta }_1.$$

其次，

$$3{\alpha }_1-{\alpha }_2=3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right)={\beta }_2.$$

最后，

$$4{\alpha }_1-{\alpha }_3=4\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 3\end{array}\right)={\beta }_3.$$

因此

$${\beta }_1=2{\alpha }_1+0{\alpha }_2-{\alpha }_3,$$$${\beta }_2=3{\alpha }_1-{\alpha }_2+0{\alpha }_3,$$$${\beta }_3=4{\alpha }_1+0{\alpha }_2-{\alpha }_3.$$

将各坐标作为列向量排列，得到

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 0& -1& 0\\ -1& 0& -1\end{array}\right).$$

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2. 【2015-1-11分】 设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为 $R^3$ 的一个基，${\beta }_1=2{\alpha }_1+2k{\alpha }_3$，${\beta }_2=2{\alpha }_2$，${\beta }_3={\alpha }_1+(k+1){\alpha }_3$。

（1）证明向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 为 $R^3$ 的一个基；

（2）当 $k$ 为何值时，存在非零向量 $\xi$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 与基 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 下的坐标相同，并求所有的 $\xi$。

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答案： （1）对任意实数 $k$，${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 均为 $R^3$ 的一个基；

（2）$k=0$，所有满足条件的非零向量为

$$\xi =t({\alpha }_1-{\alpha }_3),t\ne 0.$$

解析： （1）把 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 用基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 表示，得

$$({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)C,$$

其中

$$C=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 2k& 0& k+1\end{array}\right).$$

计算其行列式：

$$|C|=2\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 2k& k+1\end{array}\right|=2[2(k+1)-2k]=4\ne 0.$$

因此 $C$ 可逆，故 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 线性无关。三维空间中三个线性无关向量构成一组基，所以结论成立。

（2）设同一非零向量 $\xi$ 在两组基下的相同坐标为

$$X=(x_1,x_2,x_3{)}^T\ne 0.$$

由于坐标变换关系为

$$[\xi {]}_{\alpha }=C[\xi {]}_{\beta },$$

而题设要求

$$[\xi {]}_{\alpha }=[\xi {]}_{\beta }=X,$$

故

$$CX=X,$$

即

$$(C-E)X=0.$$

这里

$$C-E=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 2k& 0& k\end{array}\right).$$

相应方程组为

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_3=0,\\ x_2=0,\\ 2k{x}_1+k{x}_3=0.\end{array}$$

由第一式 $x_3=-x_1$，第三式化为

$$k{x}_1=0.$$

要使 $X\ne 0$，必须有 $x_1\ne 0$，因此

$$k=0.$$

此时

$$X=t(1,0,-1{)}^T,t\ne 0.$$

于是

$$\xi =t{\alpha }_1-t{\alpha }_3=t({\alpha }_1-{\alpha }_3),t\ne 0.$$

反过来，当 $k=0$ 时，

$${\beta }_1=2{\alpha }_1,{\beta }_3={\alpha }_1+{\alpha }_3,$$

并且

$${\beta }_1-{\beta }_3={\alpha }_1-{\alpha }_3,$$

所以向量 $t({\alpha }_1-{\alpha }_3)$ 在两组基下的坐标确实均为 $t(1,0,-1{)}^T$。

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3. 【2019-1-11分】 设向量组 ${\alpha }_1=(1,2,1{)}^T$，${\alpha }_2=(1,3,2{)}^T$，${\alpha }_3=(1,a,3{)}^T$ 为 $R^3$ 的一个基，$\beta =(1,1,1{)}^T$ 在这个基下的坐标为 $(b,c,1{)}^T$。

（1）求 $a,b,c$；

（2）证明 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta$ 为 $R^3$ 的一个基，并求 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta$ 到 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的过渡矩阵。

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答案： （1）

$$a=3,b=2,c=-2.$$

（2）${\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta$ 构成 $R^3$ 的一组基；所求过渡矩阵为

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -\frac{1}{2}& 0& 1\\ \frac{1}{2}& 0& 0\end{array}\right).$$

解析： （1）由 $\beta$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 下的坐标为 $(b,c,1{)}^T$，可知

$$\beta =b{\alpha }_1+c{\alpha }_2+{\alpha }_3.$$

代入各向量，得

$$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=b\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ 3\end{array}\right).$$

比较各分量：

$$\{\begin{array}{l}b+c+1=1,\\ 2b+3c+a=1,\\ b+2c+3=1.\end{array}$$

由第一式 $b+c=0$，第三式 $b+2c=-2$，两式相减得

$$c=-2,$$

进而

$$b=2.$$

代入第二式，得

$$4-6+a=1,$$

所以

$$a=3.$$

此时

$$\beta =2{\alpha }_1-2{\alpha }_2+{\alpha }_3.$$

（2）记新向量组

$${\gamma }_1={\alpha }_2,{\gamma }_2={\alpha }_3,{\gamma }_3=\beta .$$

用基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 表示，有

$$({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)C,$$

其中

$$C=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& 0& -2\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$$

计算得

$$|C|=2\ne 0.$$

由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 是一组基，且 $C$ 可逆，故 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ 线性无关，从而 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta$ 构成 $R^3$ 的一组基。

题目要求的是由基

$$({\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta )$$

到基

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$$

的过渡矩阵 $P$，即

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=({\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta )P.$$

由

$$({\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta )=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)C$$

可得

$$P=C^{-1}.$$

计算得到

$$C^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -\frac{1}{2}& 0& 1\\ \frac{1}{2}& 0& 0\end{array}\right).$$

因此所求过渡矩阵为

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -\frac{1}{2}& 0& 1\\ \frac{1}{2}& 0& 0\end{array}\right).$$