一、线性表出的判定与证明

小题

（二）抽象型向量的线性表出

【1989-1245-3分】 设 $A$ 是 $4$ 阶矩阵，且 $A$ 的行列式 $∣ A ∣ = 0$ ，则 $A$ 中（）

A. 必有一列元素全为

0

B. 必有两列元素对应成比例

C. 必有一列向量是其余列向量的线性组合 D. 任一列向量是其余列向量的线性组合

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答案： C

解析： 设 $A$ 的列向量组为 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 。由

∣ A ∣ = 0

可知矩阵 $A$ 不可逆，故其列向量组线性相关。因此存在不全为零的常数 $k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$ ，使

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3} + k_{4} α_{4} = 0.

取其中一个非零系数，例如 $k_{i} \neq = 0$ ，即可将 $α_{i}$ 表示为其余三个列向量的线性组合，所以 C 正确。

A、B 都只是导致列向量组线性相关的特殊情形，并非必然发生；D 也不成立，因为线性相关只能保证“至少有一个”向量能由其余向量线性表示，不能保证每一个都可以。

【1998-4-3分】 若向量组 $α, β, γ$ 线性无关， $α, β, δ$ 线性相关，则（）。

α

必可由

β, γ, δ

线性表示 B.

β

必不可由

α, γ, δ

线性表示

δ

必可由

α, β, γ

线性表示 D.

δ

必不可由

α, β, γ

线性表示

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答案： C

解析： 因为 $α, β, γ$ 线性无关，所以其子组 $α, β$ 也线性无关。

又因为 $α, β, δ$ 线性相关，存在不全为零的常数 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，使

k_{1} α + k_{2} β + k_{3} δ = 0.

若 $k_{3} = 0$ ，则 $k_{1} α + k_{2} β = 0$ 。由 $α, β$ 线性无关，得 $k_{1} = k_{2} = 0$ ，与系数不全为零矛盾。因此 $k_{3} \neq = 0$ ，从而

δ = - \frac{k _{1}}{k _{3}} α - \frac{k _{2}}{k _{3}} β .

故 $δ$ 可由 $α, β$ 线性表示，当然也可由 $α, β, γ$ 线性表示，C 正确，D 错误。A、B 均不能由题设必然推出。

【1999-34-3分】 设向量 $β$ 可由向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性表示，但不能由向量组（Ⅰ） $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m - 1}$ 线性表示。记向量组（Ⅱ）为 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m - 1}, β$ ，则（）。

α_{m}

不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示

α_{m}

不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示

α_{m}

可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示

α_{m}

可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示

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答案： B

解析： 由题意，存在常数 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{m}$ ，使

β = c_{1} α_{1} + c_{2} α_{2} + \dots + c_{m - 1} α_{m - 1} + c_{m} α_{m} .

若 $c_{m} = 0$ ，则 $β$ 可由向量组（Ⅰ）线性表示，与题设矛盾，所以 $c_{m} \neq = 0$ 。于是

α_{m} = \frac{1}{c _{m}} β - i = 1 \sum m - 1 \frac{c _{i}}{c _{m}} α_{i},

即 $α_{m}$ 可由向量组（Ⅱ）线性表示。

另一方面，若 $α_{m}$ 能由向量组（Ⅰ）线性表示，则代回 $β$ 的表达式后， $β$ 也能由（Ⅰ）线性表示，仍与题设矛盾。因此 $α_{m}$ 不能由（Ⅰ）线性表示。故选 B。

（三）向量组的线性表出

【2000-1-3分】 设 $n$ 维列向量组 $α_{1}, \dots, α_{m}$ （ $m < n$ ）线性无关，则 $n$ 维列向量组 $β_{1}, \dots, β_{m}$ 线性无关的充分必要条件为（）。

A. 向量组

α_{1}, \dots, α_{m}

可由向量组

β_{1}, \dots, β_{m}

线性表示

B. 向量组

β_{1}, \dots, β_{m}

可由向量组

α_{1}, \dots, α_{m}

线性表示

C. 向量组

α_{1}, \dots, α_{m}

与向量组

β_{1}, \dots, β_{m}

等价

D. 矩阵

A = (α_{1}, \dots, α_{m})

与矩阵

B = (β_{1}, \dots, β_{m})

等价

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答案： D

解析： 由于 $α_{1}, \dots, α_{m}$ 线性无关，故

r (A) = m .

两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等。因此

A \sim B ⟺ r (B) = r (A) = m ⟺ β_{1}, \dots, β_{m} 线性无关 .

故 D 是充分必要条件。

A 只能保证 $span {α_{i}} \subseteq span {β_{i}}$ ，在本题中虽然由维数关系可进一步推出 $β_{i}$ 线性无关，但“ $β$ 线性无关”并不能反过来保证两组向量张成同一子空间，因此不是必要条件。B、C 同理不能构成题目所要求的充要条件。

【2022-123-5分】 设

α_{1} = λ 11, α_{2} = 1 λ 1, α_{3} = 11 λ, α_{4} = 1 λ λ^{2} .

若向量组 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 与 $α_{1}, α_{2}, α_{4}$ 等价，则 $λ$ 的取值范围是（）。

{λ ∣ λ \in R}

{λ ∣ λ \in R, λ \neq = - 1}

{λ ∣ λ \in R, λ \neq = - 1, λ \neq = - 2}

{λ ∣ λ \in R, λ \neq = - 2}

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答案： C

解析： 分别以两组向量为列构造矩阵

A_{1} = (α_{1}, α_{2}, α_{3}), A_{2} = (α_{1}, α_{2}, α_{4}) .

计算行列式得

∣ A_{1} ∣ = (λ - 1)^{2} (λ + 2),

∣ A_{2} ∣ = (λ - 1)^{2} (λ + 1)^{2} .

当 $λ \neq = 1, - 2, - 1$ 时，两矩阵均满秩，两个向量组都张成 $R^{3}$ ，因此等价。

还需讨论特殊值：

当 $λ = 1$ 时， $α_{1} = α_{2} = α_{3} = α_{4} = (1, 1, 1)^{T}$ ，两组向量仍等价；
当 $λ = - 1$ 时， $A_{1}$ 满秩而 $A_{2}$ 不满秩，不等价；
当 $λ = - 2$ 时， $A_{1}$ 不满秩而 $A_{2}$ 满秩，不等价。

故只需排除 $- 1$ 和 $- 2$ ，选 C。

【2021-1-5分】

α_{1} = 101, α_{2} = 121, α_{3} = 312 .

记 $β_{1} = α_{1}$ ， $β_{2} = α_{2} - k β_{1}$ ， $β_{3} = α_{3} - l_{1} β_{1} - l_{2} β_{2}$ 。若 $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 两两正交，则 $l_{1}, l_{2}$ 依次为（）。

\frac{5}{2}, \frac{1}{2}

- \frac{5}{2}, \frac{1}{2}

\frac{5}{2}, - \frac{1}{2}

- \frac{5}{2}, - \frac{1}{2}

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答案： A

解析： 这是施密特正交化过程。先由 $β_{2} ⊥ β_{1}$ 得

k = \frac{α _{2}^{T} β _{1}}{β _{1}^{T} β _{1}} = \frac{( 1 , 2 , 1 ) 1 0 1}{1 ^{2} + 0 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{2}{2} = 1.

因此

β_{2} = α_{2} - β_{1} = 020 .

再由施密特正交化公式

l_{1} = \frac{α _{3}^{T} β _{1}}{β _{1}^{T} β _{1}} = \frac{3 + 2}{2} = \frac{5}{2},

l_{2} = \frac{α _{3}^{T} β _{2}}{β _{2}^{T} β _{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} .

故选 A。

【2023-123-5分】 已知向量

α_{1} = 123, α_{2} = 211, β_{1} = 259, β_{2} = 101 .

若 $γ$ 既可由 $α_{1}, α_{2}$ 线性表示，又可由 $β_{1}, β_{2}$ 线性表示，则 $γ =$ （）。

k 334, k \in R

k 3510, k \in R

k - 1 12, k \in R

k 158, k \in R

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答案： D。

解析： 设

γ = x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} = y_{1} β_{1} + y_{2} β_{2} .

则

x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} - y_{1} β_{1} - y_{2} β_{2} = 0.

比较三个分量，解得

x_{1} = - 3 t, x_{2} = t, y_{1} = - t, y_{2} = t .

因此

γ = t (- 3 α_{1} + α_{2}) = t - 1 - 5 - 8 = k 158,

其中 $k = - t$ 。也可验证

- β_{1} + β_{2} = - 1 - 5 - 8 .

所以两个生成子空间的交集是一维子空间 $span {(1, 5, 8)^{T}}$ 。

【2023-1-5分】 已知

α_{1} = 1011, α_{2} = - 1 - 1 01, α_{3} = 01 - 1 1, β = 111 - 1 .

令 $γ = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3}$ 。若 $γ^{T} α_{i} = β^{T} α_{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ），则 $k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2} =$ ______。

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答案： $\frac{11}{9}$

解析： 先计算内积。三个向量两两正交，且模长平方均为 $3$ ：

α_{i}^{T} α_{j} = 0 (i \neq = j), α_{i}^{T} α_{i} = 3.

由

γ = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3}

及 $γ^{T} α_{i} = β^{T} α_{i}$ ，分别得到

3 k_{1} = β^{T} α_{1} = 1,

3 k_{2} = β^{T} α_{2} = - 3,

3 k_{3} = β^{T} α_{3} = - 1.

因此

k_{1} = \frac{1}{3}, k_{2} = - 1, k_{3} = - \frac{1}{3} .

从而

k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2} = \frac{1}{9} + 1 + \frac{1}{9} = \frac{11}{9} .

【2013-123-4分】 设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $A B = C$ ，且 $B$ 可逆，则（）。

A. 矩阵

C

的行向量组与矩阵

A

的行向量组等价

B. 矩阵

C

的列向量组与矩阵

A

的列向量组等价

C. 矩阵

C

的行向量组与矩阵

B

的行向量组等价

D. 矩阵

C

的列向量组与矩阵

B

的列向量组等价

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答案： B

解析： 由 $C = A B$ ，矩阵乘法的列向量关系表明： $C$ 的每一列都是 $A$ 的列向量的线性组合，所以 $C$ 的列向量组可由 $A$ 的列向量组线性表示。

又因为 $B$ 可逆，故

A = C B^{- 1} .

因此 $A$ 的每一列也都是 $C$ 的列向量的线性组合。于是 $A$ 与 $C$ 的列向量组可以相互线性表示，即两列向量组等价，B 正确。

右乘可逆矩阵一般不会保证行向量组张成同一个子空间，所以 A 不成立；C、D 更无法由 $A B = C$ 推出。

大题

（一）数值型向量的线性表出

【1991-45-7分】 设

α_{1} = 1 + λ 11, α_{2} = 1 1 + λ 1, α_{3} = 11 1 + λ, β = 0 λ λ^{2} .

问 $λ$ 取何值时：

（1） $β$ 可由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表示，且表达式唯一？

（2） $β$ 可由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表示，但表达式不唯一？

（3） $β$ 不能由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表示？

查看答案与解析

答案： （1） $λ \neq = 0, - 3$ ；

（2） $λ = 0$ ；

（3） $λ = - 3$ 。

解析： 设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = 1 + λ 11 1 1 + λ 1 11 1 + λ .

所求线性表示等价于方程组

A x = β .

计算系数矩阵的行列式：

∣ A ∣ = λ^{2} (λ + 3) .

（1）唯一表示。

当 $λ \neq = 0, - 3$ 时， $∣ A ∣ \neq = 0$ ，矩阵 $A$ 可逆，方程组有唯一解。因此 $β$ 有唯一线性表示。解得

β = - \frac{λ + 1}{λ + 3} α_{1} + \frac{2}{λ + 3} α_{2} + \frac{λ ^{2} + 2 λ - 1}{λ + 3} α_{3} .

（2）可表示但不唯一。

当 $λ = 0$ 时，

α_{1} = α_{2} = α_{3} = 111, β = 0.

零向量显然可以表示，并且只要系数满足 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ 即可，故表示不唯一。

（3）不能表示。

当 $λ = - 3$ 时，矩阵

A = - 3 E + J

的秩为 $2$ ，其列空间中的任意向量三个分量之和为 $0$ 。但此时

β = 0 - 3 9, 0 - 3 + 9 = 6 \neq = 0.

故 $β$ 不属于 $A$ 的列空间，不能由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表示。

【1991-12-8分】 已知

α_{1} = (1, 0, 2, 3)^{T}, α_{2} = (1, 1, 3, 5)^{T},

α_{3} = (1, - 1, a + 2, 1)^{T}, α_{4} = (1, 2, 4, a + 8)^{T},

β = (1, 1, b + 3, 5)^{T} .

问：

（1） $a, b$ 为何值时， $β$ 不能表示成 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 的线性组合？

（2） $a, b$ 为何值时， $β$ 有 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 的唯一线性表示式？并写出表示式。

查看答案与解析

答案： （1） $a = - 1, b \neq = 0$ ；

（2） $a \neq = - 1$ ，此时对任意 $b \in R$ 均有唯一表示，且

β = - \frac{2 b}{a + 1} α_{1} + \frac{a + b + 1}{a + 1} α_{2} + \frac{b}{a + 1} α_{3} .

$α_{4}$ 的系数为 $0$ 。

解析： 令

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) .

计算得

∣ A ∣ = (a + 1)^{2} .

当 $a \neq = - 1$ 时， $∣ A ∣ \neq = 0$ ，四个向量线性无关并构成 $R^{4}$ 的一组基。因此对任意 $b$ ， $β$ 均有唯一表示。解方程组

x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + x_{3} α_{3} + x_{4} α_{4} = β

得到

x_{1} = - \frac{2 b}{a + 1}, x_{2} = \frac{a + b + 1}{a + 1}, x_{3} = \frac{b}{a + 1}, x_{4} = 0.

当 $a = - 1$ 时， $r (A) = 2$ 。对增广矩阵作初等行变换可得相容条件为

b = 0.

因此：

$a = - 1, b \neq = 0$ 时， $r (A) < r (A, β)$ ，无解，即 $β$ 不能由四个向量线性表示；
$a = - 1, b = 0$ 时方程组有无穷多解，表示不唯一。

【1998-2-6分】 已知

α_{1} = (1, 4, 0, 2)^{T}, α_{2} = (2, 7, 1, 3)^{T},

α_{3} = (0, 1, - 1, a)^{T}, β = (3, 10, b, 4)^{T} .

问：

（1） $a, b$ 取何值时， $β$ 不能由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表示？

（2） $a, b$ 取何值时， $β$ 可由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表示？并写出此表示式。

查看答案与解析

答案： （1） $b \neq = 2$ ，此时无论 $a$ 取何值都不能表示；

（2） $b = 2$ 时可以表示。

若 $a \neq = 1$ ，表示唯一：
$β = - α_{1} + 2 α_{2} .$
若 $a = 1$ ，表示不唯一：
$β = (- 1 - 2 t) α_{1} + (2 + t) α_{2} + t α_{3}, t \in R .$

解析： 设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) .

考察增广矩阵 $(A, β)$ 。其唯一的四阶子式为

det (A, β) = (a - 1) (b - 2) .

当 $a \neq = 1$ 时，系数矩阵 $A$ 的秩为 $3$ 。方程组相容要求增广矩阵秩仍为 $3$ ，故必须有

b = 2.

此时解得

x_{1} = - 1, x_{2} = 2, x_{3} = 0,

即 $β = - α_{1} + 2 α_{2}$ ，且表示唯一。

当 $a = 1$ 时， $r (A) = 2$ 。继续考察增广矩阵的三阶子式可知，方程组相容仍必须且只需 $b = 2$ 。此时有一个自由变量，令 $x_{3} = t$ ，则

x_{1} = - 1 - 2 t, x_{2} = 2 + t, x_{3} = t .

综上， $b \neq = 2$ 时不能表示； $b = 2$ 时可以表示，并按 $a = 1$ 与否区分唯一性。

【2000-34-8分】 设向量组

α_{1} = (a, 2, 10)^{T}, α_{2} = (- 2, 1, 5)^{T},

α_{3} = (- 1, 1, 4)^{T}, β = (1, b, c)^{T} .

试问：当 $a, b, c$ 满足什么条件时，

（1） $β$ 可由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表出，且表示唯一？

（2） $β$ 不能由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表出？

（3） $β$ 可由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式。

查看答案与解析

答案： （1） $a \neq = - 4$ ，此时任意 $b, c \in R$ 均有唯一表示；

（2） $a = - 4, c \neq = 3 b - 1$ ；

（3） $a = - 4, c = 3 b - 1$ ，此时表示不唯一。

解析： 令

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = a 210 - 2 15 - 1 14 .

计算得

∣ A ∣ = - (a + 4) .

（1）唯一表示。

当 $a \neq = - 4$ 时， $A$ 可逆，故对任意 $b, c$ ， $β$ 都有唯一表示。解得

β = x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + x_{3} α_{3},

其中

x_{1} = - \frac{3 b - c - 1}{a + 4},

x_{2} = - \frac{4 ab - a c + 10 b - 2 c + 2}{a + 4},

x_{3} = 5 b - c .

（2）（3）奇异情形。

当 $a = - 4$ 时， $r (A) = 2$ 。系数矩阵各列均满足平面关系

x - 3 y + z = 0.

因此 $β = (1, b, c)^{T}$ 属于列空间的充分必要条件是

1 - 3 b + c = 0,

即

c = 3 b - 1.

若 $c \neq = 3 b - 1$ ，则不能线性表出；若 $c = 3 b - 1$ ，则方程组有无穷多解。令 $x_{2} = t$ ，得到

x_{1} = - \frac{b + t + 1}{2}, x_{2} = t, x_{3} = 2 b + 1.

所以一般表达式为

β = - \frac{b + t + 1}{2} α_{1} + t α_{2} + (2 b + 1) α_{3}, t \in R .

【2000-2-7分】 已知向量组

α_{1} = 12 - 3, α_{2} = 301, α_{3} = 96 - 7

与向量组

β_{1} = 01 - 1, β_{2} = a 21, β_{3} = b 10

具有相同的秩，且 $β_{3}$ 可由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表示，求 $a, b$ 的值。

查看答案与解析

答案：

a = 15, b = 5.

解析： 先考察向量组 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 。注意到

α_{3} = 3 α_{1} + 2 α_{2},

且 $α_{1}, α_{2}$ 不成比例，因此

r (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = 2.

又由题设， $β_{3} = (b, 1, 0)^{T}$ 可由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表示。该向量组张成的平面满足

- x + 5 y + 3 z = 0.

代入 $β_{3}$ 得

- b + 5 = 0,

所以

b = 5.

此时

B = (β_{1}, β_{2}, β_{3}) = 01 - 1 a 21 510 .

因为两向量组具有相同的秩，所以 $r (B) = 2$ 。计算

∣ B ∣ = 15 - a .

故必须有

a = 15.

当 $a = 15, b = 5$ 时， $∣ B ∣ = 0$ ，而 $β_{1}, β_{3}$ 显然线性无关，因此 $r (B) = 2$ ，满足题意。

【2004-3-13分】 设

α_{1} = 120, α_{2} = 1 a + 2 - 3 a, α_{3} = - 1 - b - 2 a + 2 b, β = 13 - 3 .

试讨论当 $a, b$ 为何值时：

（1） $β$ 不能由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表示；

（2） $β$ 可由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 唯一地线性表示，并求出表示式；

（3） $β$ 可由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。

查看答案与解析

答案： （1）当 $a = 0$ 时， $β$ 不能由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表示。

（2）当 $a \neq = 0$ 且 $a \neq = b$ 时，表示唯一，且

β = \frac{a - 1}{a} α_{1} + \frac{1}{a} α_{2} .

（3）当 $a = b \neq = 0$ 时，表示不唯一，其一般表示式为

β = \frac{a - 1}{a} α_{1} + (t + \frac{1}{a}) α_{2} + t α_{3}, t \in R .

解析： 令

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = 120 1 a + 2 - 3 a - 1 - b - 2 a + 2 b .

计算行列式得

∣ A ∣ = a (a - b) .

因此，当 $a \neq = 0$ 且 $a \neq = b$ 时， $A$ 可逆，线性方程组

A x = β

有唯一解。直接代入可得

x_{1} = \frac{a - 1}{a}, x_{2} = \frac{1}{a}, x_{3} = 0.

故

β = \frac{a - 1}{a} α_{1} + \frac{1}{a} α_{2} .

下面讨论 $∣ A ∣ = 0$ 的情形。

情形一： $a = 0$ 。

此时方程组为

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1, 2 x_{1} + 2 x_{2} - (b + 2) x_{3} = 3, 2 b x_{3} = - 3.

第二式减去第一式的 $2$ 倍，得到

- b x_{3} = 1.

若 $b \neq = 0$ ，则由上式有 $b x_{3} = - 1$ ，而第三式给出

b x_{3} = - \frac{3}{2},

二者矛盾；若 $b = 0$ ，则第二式减去第一式的 $2$ 倍后得到 $0 = 1$ ，仍矛盾。

所以当 $a = 0$ 时，无论 $b$ 取何值， $β$ 均不能由该向量组线性表示。

情形二： $a = b \neq = 0$ 。

此时 $r (A) = 2$ ，且增广矩阵与系数矩阵同秩，故方程组有无穷多解。令 $x_{3} = t$ ，解得

x_{1} = \frac{a - 1}{a}, x_{2} = t + \frac{1}{a}, t \in R .

从而得到一般表示式

β = \frac{a - 1}{a} α_{1} + (t + \frac{1}{a}) α_{2} + t α_{3} .

【2006-34-13分】 设四维向量组

α_{1} = 1 + a 111, α_{2} = 2 2 + a 22, α_{3} = 33 3 + a 3, α_{4} = 444 4 + a .

问 $a$ 为何值时， $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性相关？当它们线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。

查看答案与解析

答案： 向量组线性相关的充要条件为

a = 0 或 a = - 10.

当 $a = 0$ 时，一个极大线性无关组为 ${α_{1}}$ ，且

α_{2} = 2 α_{1}, α_{3} = 3 α_{1}, α_{4} = 4 α_{1} .

当 $a = - 10$ 时，一个极大线性无关组为

{α_{1}, α_{2}, α_{3}},

且

α_{4} = - α_{1} - α_{2} - α_{3} .

解析： 以四个向量为列构成矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) = 1 + a 111 2 2 + a 22 33 3 + a 3 444 4 + a .

记

e = 1111, c = 1234,

则

A = a E + e c^{T} .

也可以直接对行列式作初等变换，得到

∣ A ∣ = a^{3} (a + 10) .

因此向量组线性相关当且仅当

a = 0 或 a = - 10.

当 $a = 0$ 时：

α_{1} = e, α_{2} = 2 e, α_{3} = 3 e, α_{4} = 4 e .

故向量组的秩为 $1$ ，可取 $α_{1}$ 为极大线性无关组，并有

α_{2} = 2 α_{1}, α_{3} = 3 α_{1}, α_{4} = 4 α_{1} .

当 $a = - 10$ 时：

矩阵变为

A = - 9 111 2 - 8 22 33 - 7 3 444 - 6 .

其中前三列线性无关，故可取

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为一个极大线性无关组。又由于

α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4} = 0,

所以

α_{4} = - α_{1} - α_{2} - α_{3} .

（二）抽象型向量的线性表出

【1992-12-7分】 设向量组 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性相关，向量组 $α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性无关，问：

（1） $α_{1}$ 能否由 $α_{2}, α_{3}$ 线性表出？证明你的结论；

（2） $α_{4}$ 能否由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表出？证明你的结论。

查看答案与解析

答案： （1） $α_{1}$ 能由 $α_{2}, α_{3}$ 线性表出。

（2） $α_{4}$ 不能由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表出。

解析： （1）由于向量组 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性相关，存在不全为零的常数 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，使

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3} = 0.

又因为 $α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性无关，所以其子向量组 $α_{2}, α_{3}$ 也线性无关。

若 $k_{1} = 0$ ，则

k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3} = 0,

由 $α_{2}, α_{3}$ 线性无关，必有 $k_{2} = k_{3} = 0$ ，这与 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 不全为零矛盾。因此

k_{1} \neq = 0.

于是

α_{1} = - \frac{k _{2}}{k _{1}} α_{2} - \frac{k _{3}}{k _{1}} α_{3},

即 $α_{1}$ 能由 $α_{2}, α_{3}$ 线性表出。

（2）由（1）知

L (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = L (α_{2}, α_{3}) .

若 $α_{4}$ 能由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表出，则它也能由 $α_{2}, α_{3}$ 线性表出，从而向量组

α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性相关，这与题设矛盾。因此 $α_{4}$ 不能由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表出。

（三）向量组的线性表出

【2003-4-13分】 设有向量组

（ I ） α_{1} = 102, α_{2} = 113, α_{3} = 1 - 1 a + 2,

和向量组

（ II ） β_{1} = 12 a + 3, β_{2} = 21 a + 6, β_{3} = 21 a + 4 .

试问：当 $a$ 为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价？当 $a$ 为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？

查看答案与解析

答案： 当 $a \neq = - 1$ 时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价；

当 $a = - 1$ 时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价。

解析： 分别以两向量组为列构成矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = 102113 1 - 1 a + 2,

B = (β_{1}, β_{2}, β_{3}) = 12 a + 3 21 a + 6 21 a + 4 .

计算行列式得

∣ A ∣ = a + 1, ∣ B ∣ = 6.

由于 $∣ B ∣ = 6 \neq = 0$ ，向量组（Ⅱ）对任意 $a$ 都是三维向量空间 $R^{3}$ 的一组基。

当 $a \neq = - 1$ 时， $∣ A ∣ \neq = 0$ ，向量组（Ⅰ）也构成 $R^{3}$ 的一组基。因此两向量组可以相互线性表示，故等价。

当 $a = - 1$ 时， $∣ A ∣ = 0$ ，且 $r (A) = 2$ ；而 $r (B) = 3$ 。等价向量组的秩必须相等，所以此时两向量组不等价。

【2005-2-9分】 确定常数 $a$ ，使向量组

α_{1} = 11 a, α_{2} = 1 a 1, α_{3} = a 11

可由向量组

β_{1} = 11 a, β_{2} = - 2 a 4, β_{3} = - 2 a a

线性表示，但向量组 $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 不能由向量组 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表示。

查看答案与解析

答案：

a = 1.

解析： 设

U = L (α_{1}, α_{2}, α_{3}), V = L (β_{1}, β_{2}, β_{3}) .

题设“ $α$ 向量组可由 $β$ 向量组线性表示”说明

U \subseteq V .

而“ $β$ 向量组不能由 $α$ 向量组线性表示”说明

V ⊈ U .

因此必有严格包含关系

U ⫋ V,

从而

r (α_{1}, α_{2}, α_{3}) < r (β_{1}, β_{2}, β_{3}) .

以两向量组为列构成矩阵

A = 11 a 1 a 1 a 11, B = 11 a - 2 a 4 - 2 a a .

计算得

∣ A ∣ = - (a - 1)^{2} (a + 2),

∣ B ∣ = (a - 4) (a + 2) .

若 $∣ A ∣ \neq = 0$ ，则 $r (A) = 3$ ，不可能再有 $r (A) < r (B)$ 。所以必须有

a = 1 或 a = - 2.

当 $a = 1$ 时，三个 $α$ 向量均为

111,

故

r (A) = 1.

而

∣ B ∣ = (1 - 4) (1 + 2) = - 9 \neq = 0,

所以 $r (B) = 3$ 。此时 $V = R^{3}$ ，自然有 $U \subset V$ ，且 $V$ 不可能包含于一维空间 $U$ ，满足题意。

当 $a = - 2$ 时，计算可得

r (A) = r (B) = 2.

若 $U \subseteq V$ ，由于二者维数相同，必有 $U = V$ ，这将导致两个向量组可以相互线性表示，与题设矛盾。因此 $a = - 2$ 不合题意。

综上，唯一符合条件的值为

a = 1.

【2011-123-11分】 设向量组

α_{1} = 101, α_{2} = 011, α_{3} = 135

不能由向量组

β_{1} = 111, β_{2} = 123, β_{3} = 34 a

线性表示。

（1）求 $a$ 的值；

（2）将 $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 用 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表示。

查看答案与解析

答案： （1） $a = 5$ 。

（2）

β_{1} = 2 α_{1} + 4 α_{2} - α_{3},

β_{2} = α_{1} + 2 α_{2},

β_{3} = 5 α_{1} + 10 α_{2} - 2 α_{3} .

解析： 以两向量组为列构成矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = 101011135,

B = (β_{1}, β_{2}, β_{3}) = 111123 34 a .

先计算

∣ A ∣ = 1 \neq = 0.

因此 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 是 $R^{3}$ 的一组基。题设说该向量组不能由 $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 线性表示，故 $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 不能张成 $R^{3}$ ，即

∣ B ∣ = 0.

而

∣ B ∣ = a - 5,

所以

a = 5.

由于 $A$ 可逆，各 $β_{i}$ 在基 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 下的坐标由

A^{- 1} B = 24 - 1 120 510 - 2

给出。按列读取即得

β_{1} = 2 α_{1} + 4 α_{2} - α_{3},

β_{2} = α_{1} + 2 α_{2},

β_{3} = 5 α_{1} + 10 α_{2} - 2 α_{3} .

【2019-23-11分】 已知向量组

I ： α_{1} = 114, α_{2} = 104, α_{3} = 12 a^{2} + 3,

II ： β_{1} = 11 a + 3, β_{2} = 02 1 - a, β_{3} = 13 a^{2} + 3 .

若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，求 $a$ 的取值，并将 $β_{3}$ 用 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表示。

查看答案与解析

答案：

a \neq = - 1,

且

β_{3} = α_{1} - α_{2} + α_{3} .

解析： 令

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = 114104 12 a^{2} + 3,

B = (β_{1}, β_{2}, β_{3}) = 11 a + 3 02 1 - a 13 a^{2} + 3 .

计算行列式得

∣ A ∣ = - (a - 1) (a + 1), ∣ B ∣ = 2 (a - 1) (a + 1) .

当 $a \neq = \pm 1$ 时，两个向量组都线性无关，均为 $R^{3}$ 的一组基，因而等价。

当 $a = 1$ 时，直接计算得

r (A) = r (B) = r (A, B) = 2,

故两个向量组张成同一个二维子空间，仍然等价。

当 $a = - 1$ 时，虽然

r (A) = r (B) = 2,

但

r (A, B) = 3,

说明两向量组张成的子空间不同，故不等价。

因此等价的充要条件是

a \neq = - 1.

此外，直接验证

α_{1} - α_{2} + α_{3} = 13 a^{2} + 3 = β_{3},

所以

β_{3} = α_{1} - α_{2} + α_{3} .

小题​

（二）抽象型向量的线性表出​

（三）向量组的线性表出​

大题​

（一）数值型向量的线性表出​

（二）抽象型向量的线性表出​

（三）向量组的线性表出​

小题

（二）抽象型向量的线性表出

（三）向量组的线性表出

大题

（一）数值型向量的线性表出

（二）抽象型向量的线性表出

（三）向量组的线性表出