一、秩的基本概念及基本运算

小题

【1987-4-2分】 判断正误：设 $D$ 是矩阵 $A$ 的 $r$ 阶子式，且 $D \neq = 0$ ，但含 $D$ 的一切 $r + 1$ 阶子式都等于 $0$ ，那么矩阵 $A$ 的一切 $r + 1$ 阶子式都等于 $0$ 。

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答案： 正确。

解析： 由于 $D$ 是一个非零的 $r$ 阶子式，所以

r (A) \geq r .

以 $D$ 为基础扩充得到的所有 $r + 1$ 阶子式均为零。根据矩阵秩的“加边子式”判定定理，可知矩阵中不存在非零的 $r + 1$ 阶子式，因此

r (A) \leq r .

于是 $r (A) = r$ ，从而矩阵 $A$ 的一切 $r + 1$ 阶子式都等于 $0$ 。

【1987-45-2分】 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其秩 $r < n$ ，那么在 $A$ 的 $n$ 个行向量中（）。

必有 r 个行向量线性无关

任意 r 个行向量线性无关

任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组

任意一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示

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答案： A。

解析： 矩阵的行秩等于矩阵的秩。由 $r (A) = r$ 可知，全部行向量中一定能选出 $r$ 个线性无关的行向量，所以 A 正确。

B、C 错在“任意”二字。秩为 $r$ 只能保证存在一个含 $r$ 个向量的极大线性无关组，不能保证任取 $r$ 个行向量都线性无关。

D 也不成立。例如秩为 $1$ 的矩阵只有一个非零行，其余行为零行，则该非零行不能由其他一个零行表示。

【1990-12-3分】 已知向量组 $α_{1} = (1, 2, 3, 4)$ ， $α_{2} = (2, 3, 4, 5)$ ， $α_{3} = (3, 4, 5, 6)$ ， $α_{4} = (4, 5, 6, 7)$ ，则该向量组的秩是。

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答案： $2$ 。

解析： 令

β = (1, 1, 1, 1),

则

α_{2} = α_{1} + β, α_{3} = α_{1} + 2 β, α_{4} = α_{1} + 3 β .

所以所有向量均可由 $α_{1}$ 与 $β$ 线性表示，故向量组的秩不超过 $2$ 。又 $α_{1}$ 与 $β$ 不成比例，二者线性无关，因此向量组的秩为

r (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) = 2.

【1992-12-3分】 设

A = a_{1} b_{1} a_{1} b_{1} ⋮ a_{n} b_{n} a_{2} b_{2} a_{2} b_{2} ⋮ a_{n} b_{2} \dots \dots \dots a_{n} b_{n} a_{n} b_{n} ⋮ a_{n} b_{n},

其中 $a_{i} \neq = 0$ ， $b_{i} \neq = 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则矩阵 $A$ 的秩 $r (A) =$ 。

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答案： $1$ 。

解析： 按题中矩阵元素的构成规律，矩阵可写成一个列向量与一个行向量的乘积：

A = a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} (b_{1} b_{2} \dots b_{n}) .

因此 $A$ 的每一列都是列向量 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})^{T}$ 的倍数，故 $r (A) \leq 1$ 。又因 $a_{i}, b_{i}$ 均非零，矩阵 $A$ 不是零矩阵，所以

r (A) = 1.

【1995-5-3分】 设矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩为 $r (A) = m < n$ ， $E_{m}$ 为 $m$ 阶单位矩阵，下述结论中正确的是（）。

A 的任意 m 个列向量必线性无关

A 的任意一个 m 阶子式不等于零

非齐次线性方程组 A x = b 一定有无穷多解

A 通过初等行变换，必可以化为 (E_{m}, O) 的形式

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答案： C。

解析： 因为 $r (A) = m$ ，矩阵 $A$ 为满行秩矩阵，所以对任意 $b \in R^{m}$ ，都有

r (A) = r (A, b) = m,

故方程组 $A x = b$ 一定有解。又因为未知数个数 $n > m = r (A)$ ，自由未知数个数为 $n - m > 0$ ，所以方程组一定有无穷多解，C 正确。

A、B 只需“存在”一组 $m$ 个线性无关的列向量、存在一个非零的 $m$ 阶子式，并非任意一组都满足。D 仅通过初等行变换不能保证主元列恰好位于前 $m$ 列，因此未必能化为 $(E_{m}, O)$ 。

【1995-4-3分】 设矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩为 $r (A) = m < n$ ， $E_{m}$ 为 $m$ 阶单位矩阵，下述结论中正确的是（）。

A 的任意 m 个列向量必线性无关

A 的任意一个 m 阶子式不等于零

若矩阵 B 满足 B A = O ，则 B = O

A 通过初等行变换，必可以化为 (E_{m}, O) 的形式

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答案： C。

解析： 由 $r (A) = m$ ，可知 $A$ 满行秩，因此存在 $n \times m$ 矩阵 $C$ ，使

A C = E_{m} .

若 $B A = O$ ，则等式右乘 $C$ ，得到

B = B E_{m} = B A C = O C = O .

故 C 正确。

A、B 中的“任意”均过强；D 也不能仅靠初等行变换保证主元列位于前 $m$ 列。

【1997-2-3分】 已知向量组 $α_{1} = (1, 2, - 1, 1)$ ， $α_{2} = (2, 0, t, 0)$ ， $α_{3} = (0, - 4, 5, - 2)$ 的秩为 $2$ ，则 $t =$ 。

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答案： $3$ 。

解析： $α_{1}$ 与 $α_{2}$ 显然不成比例，因此二者线性无关。向量组秩为 $2$ ，故存在常数 $p, q$ ，使

α_{3} = p α_{1} + q α_{2} .

比较各分量：

⎩ ⎨ ⎧ p + 2 q = 0, 2 p = - 4, - p + q t = 5, p = - 2.

由 $p = - 2$ 得 $q = 1$ ，再由 $- p + q t = 5$ 得

2 + t = 5,

所以

t = 3.

【1998-3-3分】 设 $n (n \geq 3)$ 阶矩阵

A = 1 a a ⋮ a a 1 a ⋮ a a a 1 ⋮ a \dots \dots \dots \dots a a a ⋮ 1

的秩为 $n - 1$ ，则 $a$ 必为（）。

1

\frac{1}{1 - n}

- 1

\frac{1}{n - 1}

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答案： B。

解析： 矩阵可写为

A = (1 - a) E_{n} + a J,

其中 $J$ 为全 $1$ 矩阵。向量 $(1, 1, \dots, 1)^{T}$ 对应的特征值为

1 + (n - 1) a,

其正交补空间上的特征值为

1 - a,

后者的重数为 $n - 1$ 。要使秩为 $n - 1$ ，应当恰有一个特征值为零，因此

1 + (n - 1) a = 0,

且 $1 - a \neq = 0$ 。于是

a = - \frac{1}{n - 1} = \frac{1}{1 - n} .

若 $a = 1$ ，则矩阵秩为 $1$ ，并非 $n - 1$ 。

【2001-34-3分】 设矩阵

A = k 111 1 k 11 11 k 1 111 k,

且 $r (A) = 3$ ，则 $k =$ 。

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答案： $- 3$ 。

解析： 矩阵可写成

A = (k - 1) E_{4} + J .

它的特征值为

k + 3

以及

k - 1

（后者的重数为 $3$ ）。要使秩为 $3$ ，必须恰有一个特征值为零，即

k + 3 = 0,

且 $k - 1 \neq = 0$ 。因此

k = - 3.

当 $k = 1$ 时，矩阵为全 $1$ 矩阵，其秩为 $1$ 。

【2007-1234-4分】 设矩阵

A = 0000100001000010,

则 $A^{3}$ 的秩为。

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答案： $1$ 。

解析： 直接计算可得

A^{2} = 0000000010000100, A^{3} = 0000000000001000 .

$A^{3}$ 只有一个非零行，也只有一个非零列，故

r (A^{3}) = 1.

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