六、初等变换与初等矩阵

小题

1. 【1995-12-3分】 设

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right),$$ $$B=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{31}+a_{11}& a_{32}+a_{12}& a_{33}+a_{13}\end{array}\right),$$ $$P_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),P_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right),$$

则必有（ ）

A. $A{P}_1{P}_2=B$    B. $A{P}_2{P}_1=B$    C. $P_1{P}_{2}A=B$    D. $P_2{P}_{1}A=B$

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答案： C。

解析： 矩阵左乘初等矩阵相当于对矩阵作相应的初等行变换。

左乘$P_2$时，$P_2$的第三行为第一行与第三行之和，因此

$$P_{2}A=\left(\begin{array}{c}\text{原第1行}\\ \text{原第2行}\\ \text{原第3行}+\text{原第1行}\end{array}\right).$$

再左乘$P_1$，交换前两行，得到

$$P_1{P}_{2}A=\left(\begin{array}{c}\text{原第2行}\\ \text{原第1行}\\ \text{原第3行}+\text{原第1行}\end{array}\right)=B.$$

故选C。

错误选项分析：右乘初等矩阵对应列变换，因此A、B不符合题目中的行变化；D的运算次序为先交换前两行，再把交换后的第1行加到第3行，所得第三行是原第3行加原第2行，不等于$B$的第三行。

知识点：矩阵乘法顺序不能交换；左乘初等矩阵对应行变换，右乘初等矩阵对应列变换。

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2. 【1997-1-5分】 设$A$是$n$阶可逆方阵，将$A$的第$i$行和第$j$行对换后得到的矩阵为$B$。

（1）证明$B$可逆；

（2）求$A{B}^{-1}$。

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答案： （1）$B$可逆；

（2）$A{B}^{-1}=P_{ij}$，其中$P_{ij}$为交换第$i$行与第$j$行的初等矩阵。

解析： 设$P_{ij}$为由单位矩阵交换第$i$行和第$j$行得到的初等矩阵，则

$$B=P_{ij}A.$$

交换两次同样的两行可恢复原矩阵，因此

$$P_{ij}^{-1}=P_{ij},P_{ij}^2=E.$$

（1）因为$P_{ij}$和$A$均可逆，所以它们的乘积$B=P_{ij}A$可逆，且

$$B^{-1}=A^{-1}{P}_{ij}^{-1}=A^{-1}{P}_{ij}.$$

（2）于是

$$A{B}^{-1}=A{A}^{-1}{P}_{ij}=P_{ij}.$$

即

$$A{B}^{-1}=\left(\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 0& \cdots & 1& & \\ & & ⋮& \ddots & ⋮& & \\ & & 1& \cdots & 0& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right),$$

其中第$i$行、第$j$行对应的位置发生交换。

知识点：交换两行的初等矩阵是对合矩阵，即$P_{ij}^{-1}=P_{ij}$。

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3. 【1997-3-3分】 设$A,B$为同阶可逆矩阵，则（ ）。

A. $AB=BA$    B. 存在可逆矩阵$P$，使$P^{-1}AP=B$

C. 存在可逆矩阵$C$，使$C^{T}AC=B$    D. 存在可逆矩阵$P$和$Q$，使$PAQ=B$

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答案： D。

解析： 因为$A,B$均可逆，可取

$$P=B{A}^{-1},Q=E.$$

则$P$可逆，并且

$$PAQ=(B{A}^{-1})AE=B.$$

所以D一定成立。

错误选项分析：

A：可逆矩阵一般不满足交换律。例如

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$$

均可逆，但$AB\ne BA$。

B：相似矩阵必须具有相同的特征多项式、行列式、迹等，而任意两个可逆矩阵未必相似。

C：合同变换也保留某些结构与不变量，任意两个可逆矩阵未必合同。

知识点：同型矩阵$A,B$等价的充要条件是$r(A)=r(B)$。这里二者均为$n$阶可逆矩阵，秩都为$n$，所以一定等价，即存在可逆矩阵$P,Q$使$PAQ=B$。

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4. 【2004-34-4分】 设$n$阶矩阵$A$与$B$等价，则必有（ ）。

A. 当$|A|=a(a\ne 0)$时，$|B|=a$    B. 当$|A|=a(a\ne 0)$时，$|B|=-a$

C. 当$|A|\ne 0$时，$|B|=0$    D. 当$|A|=0$时，$|B|=0$

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答案： D。

解析： 矩阵$A$与$B$等价，说明存在可逆矩阵$P,Q$，使得

$$B=PAQ.$$

因此

$$|B|=|P||A||Q|.$$

由于$P,Q$可逆，故$|P|\ne 0,|Q|\ne 0$。

若$|A|=0$，则

$$|B|=|P|\cdot 0\cdot |Q|=0.$$

故D正确。

错误选项分析：当$|A|\ne 0$时，只能推出$|B|\ne 0$，但$|B|$的具体数值会受到$|P|$和$|Q|$的影响，未必等于$|A|$或$-|A|$，所以A、B错误；C与可逆性保持相矛盾。

知识点：等价矩阵秩相等。对于同阶方阵，等价变换保持“可逆或不可逆”的性质，但不一定保持行列式的具体数值。

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5. 【2001-34-3分】 设

$$P_1=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right),P_2=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$$

令 $B=P_{1}A{P}_2$，其中 $A$ 可逆，则 $B^{-1}$ 等于（ ）。

A. $A^{-1}{P}_1{P}_2$    B. $P_1{A}^{-1}{P}_2$    C. $P_1{P}_2{A}^{-1}$    D. $P_2{A}^{-1}{P}_1$

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答案： D。

解析： 由题设 $B=P_{1}A{P}_2$。

$P_1$表示交换第1行与第4行，$P_2$表示交换第2列与第3列。二者均为置换矩阵，且交换同一对行或列两次恢复原状，因此

$$P_1^{-1}=P_1,P_2^{-1}=P_2.$$

于是

$$B^{-1}=(P_{1}A{P}_2{)}^{-1}=P_2^{-1}{A}^{-1}{P}_1^{-1}=P_2{A}^{-1}{P}_1.$$

故选D。

知识点：矩阵乘积求逆时必须逆序，即

$$(XYZ{)}^{-1}=Z^{-1}{Y}^{-1}{X}^{-1}.$$

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6. 【2004-12-4分】 设$A$为3阶矩阵，将$A$的第1列与第2列交换得$B$，再把$B$的第2列加到第3列得$C$，则满足$AQ=C$的可逆矩阵$Q$为（ ）。

A. $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

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答案： D。

解析： 设$A$的列向量为

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3).$$

交换第1列与第2列后，

$$B=({\alpha }_2,{\alpha }_1,{\alpha }_3).$$

再把$B$的第2列加到第3列，得到

$$C=({\alpha }_2,{\alpha }_1,{\alpha }_3+{\alpha }_1).$$

若$AQ=C$，则$Q$的各列分别给出$C$各列关于$A$各列的线性组合系数：

$${\alpha }_2=A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\alpha }_1=A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\alpha }_3+{\alpha }_1=A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

因此

$$Q=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

故选D。

错误选项分析：判断右乘矩阵时，应按“新矩阵第$j$列等于原矩阵各列按$Q$第$j$列系数组合”逐列核对，不能把行变换矩阵直接套用于列变换。

知识点：右乘初等矩阵对应列变换。

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7. 【2005-12-4分】 设$A$为$n(n\ge 2)$阶可逆矩阵，交换$A$的第1行与第2行得矩阵$B$，$A^{\ast },B^{\ast }$分别为$A,B$的伴随矩阵，则（ ）。

A. 交换$A^{\ast }$的第1列与第2列得$B^{\ast }$    B. 交换$A^{\ast }$的第1行与第2行得$B^{\ast }$

C. 交换$A^{\ast }$的第1列与第2列得$-B^{\ast }$    D. 交换$A^{\ast }$的第1行与第2行得$-B^{\ast }$

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答案： C。

解析： 设$P$为交换第1行与第2行的初等矩阵，则

$$B=PA,$$

并且

$$P^{-1}=P,|P|=-1.$$

因为$A,B$均可逆，利用$M^{\ast }=|M|M^{-1}$，有

$$B^{\ast }=|B|B^{-1}.$$

又

$$|B|=|P||A|=-|A|,$$

以及

$$B^{-1}=(PA{)}^{-1}=A^{-1}P.$$

所以

$$B^{\ast }=(-|A|)A^{-1}P=-A^{\ast }P.$$

右乘$P$相当于交换矩阵的第1列与第2列。因此，交换$A^{\ast }$的第1列与第2列后所得矩阵为$A^{\ast }P=-B^{\ast }$。

故选C。

易错点：交换$A$的行，对伴随矩阵的影响表现为交换$A^{\ast }$的列，并且还要带一个负号。

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8. 【2006-123-4分】 设$A$为3阶矩阵，将$A$的第2行加到第1行得$B$，再将$B$的第1列的$-1$倍加到第2列得$C$，记

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$

则（ ）。

A. $C=P^{-1}AP$    B. $C=PA{P}^{-1}$    C. $C=P^{T}AP$    D. $C=PA{P}^T$

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答案： B。

解析： 将$A$的第2行加到第1行，正好对应左乘

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$

故

$$B=PA.$$

再将$B$的第1列的$-1$倍加到第2列，即作列变换

$$C_2⟵C_2-C_1.$$

相应的右乘初等矩阵为

$$\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=P^{-1}.$$

因此

$$C=B{P}^{-1}=PA{P}^{-1}.$$

故选B。

知识点：同一个初等变换矩阵左乘控制行变换，右乘控制列变换；本题两步变换恰好分别对应$P$与$P^{-1}$。

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9. 【2009-23-4分】 设$A,P$均为3阶矩阵，$P^T$为$P$的转置矩阵，且

$$P^{T}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$

若$P=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$，$Q=[{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$，则$Q^{T}AQ$为（ ）。

A. $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

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答案： A。

解析： 由

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3),$$

且

$$Q=({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,{\alpha }_3),$$

可写成

$$Q=PS,$$

其中

$$S=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

于是

$$Q^{T}AQ=(PS{)}^{T}A(PS)=S^T{P}^{T}APS.$$

记

$$D=P^{T}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right),$$

则

$$Q^{T}AQ=S^{T}DS.$$

计算得

$$DS=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right),$$

从而

$$S^{T}DS=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$

故选A。

知识点：列向量组改变可写成$Q=PS$，相应的合同变换满足$Q^{T}AQ=S^T(P^{T}AP)S$。

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10. 【2011-123-4分】 设$A$为3阶矩阵，将$A$的第2列加到第1列得矩阵$B$，再交换$B$的第2行与第3行得单位矩阵，记

$$P_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),P_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),$$

则$A=$（ ）。

A. $P_1{P}_2$    B. $P_1^{-1}{P}_2$    C. $P_2{P}_1$    D. $P_2{P}_1^{-1}$

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答案： D。

解析： 将$A$的第2列加到第1列，对应右乘$P_1$，因此

$$B=A{P}_1.$$

再交换$B$的第2行与第3行，对应左乘$P_2$。题目说明变换后得到单位矩阵，所以

$$P_{2}B=E.$$

代入$B=A{P}_1$，得

$$P_{2}A{P}_1=E.$$

两边左乘$P_2^{-1}$、右乘$P_1^{-1}$，有

$$A=P_2^{-1}{P}_1^{-1}.$$

由于$P_2$是交换两行的初等矩阵，满足$P_2^{-1}=P_2$，故

$$A=P_2{P}_1^{-1}.$$

故选D。

错误选项分析：本题关键在于准确区分左乘与右乘，并严格保持乘法次序；不能把$P_{2}A{P}_1=E$中的矩阵直接移项而不改变次序。

知识点：若$XYZ=E$，则$Y=X^{-1}{Z}^{-1}$，求逆与移项均需注意矩阵乘法的非交换性。

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11. 【2012-123-4分】 设$A$为3阶矩阵，$P$为3阶可逆矩阵，且

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right),$$ $$P=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3],Q=[{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,{\alpha }_3],$$

则$Q^{-1}AQ=$( )

A. $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

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答案： B。

解析： 由

$$Q=[{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$$

可知$Q$是在$P=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$的第一列上加第二列得到的，因此可写成

$$Q=PS,$$

其中

$$S=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

记

$$D=P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$

于是

$$Q^{-1}AQ=(PS{)}^{-1}A(PS)=S^{-1}{P}^{-1}APS=S^{-1}DS.$$

矩阵$S$只对前两个坐标作初等变换，而$D$的前两个对角元相同，均为$1$，故$D$与$S$可交换，即

$$DS=SD.$$

从而

$$S^{-1}DS=S^{-1}SD=D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$

故选B。

错误选项分析：改变特征向量组后，相似变换结果一般应计算$S^{-1}DS$，不能直接随意交换对角元。本题之所以结果不变，是因为所混合的${\alpha }_1,{\alpha }_2$对应同一个特征值$1$。

知识点：若$Q=PS$，则$Q^{-1}AQ=S^{-1}(P^{-1}AP)S$；在同一重特征值对应的子空间内更换基，不改变该对角块。

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12. 【2020-1-4分】 若矩阵$A$经初等列变换化成$B$，则( ).

A. 存在可逆矩阵$P$，使得$PA=B$    B. 存在可逆矩阵$P$，使得$BP=A$

C. 存在可逆矩阵$P$，使得$PB=A$    D. 方程组$Ax=0$与$Bx=0$同解

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答案： B。

解析： 对矩阵作一次初等列变换，相当于在矩阵右侧乘一个相应的初等矩阵。若$A$经过若干次初等列变换化成$B$，则存在可逆矩阵$Q$，使得

$$B=AQ.$$

由于$Q$可逆，两边右乘$Q^{-1}$，得

$$A=B{Q}^{-1}.$$

令

$$P=Q^{-1},$$

则$P$可逆，且

$$BP=A.$$

故选B。

错误选项分析：

• A、C把列变换误认为左乘矩阵。左乘初等矩阵对应初等行变换，右乘初等矩阵才对应初等列变换。
• D不成立。由$B=AQ$可知$Bx=0$等价于$A(Qx)=0$，两方程组的解集一般通过可逆变换$Q$对应，但未必完全相同。

知识点：初等行变换对应左乘可逆矩阵，初等列变换对应右乘可逆矩阵。

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13. 【2024-23-5分】 设$A$为三阶矩阵，

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right),$$

若

$$P^{T}A{P}^2=\left(\begin{array}{ccc}a+2c& 0& c\\ 0& b& 0\\ 2c& 0& c\end{array}\right),$$

则$A=$( )

A. $\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{ccc}c& 0& 0\\ 0& a& 0\\ 0& 0& b\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{ccc}b& 0& 0\\ 0& c& 0\\ 0& 0& a\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{ccc}c& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& a\end{array}\right)$

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答案： A。

解析： 由题设直接计算。由于

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right),$$

所以

$$P^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right),(P^T{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$

且

$$(P^2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right).$$

因此

$$A=(P^T{)}^{-1}\left(\begin{array}{ccc}a+2c& 0& c\\ 0& b& 0\\ 2c& 0& c\end{array}\right)(P^2{)}^{-1}.$$

先左乘，得

$$(P^T{)}^{-1}\left(\begin{array}{ccc}a+2c& 0& c\\ 0& b& 0\\ 2c& 0& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 2c& 0& c\end{array}\right).$$

再右乘$(P^2{)}^{-1}$，得

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 2c& 0& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right).$$

故按原题应选A。

错误选项分析：B、C、D均是把$a,b,c$的位置作了无依据的置换。本题只需按矩阵乘法次序分别左乘$(P^T{)}^{-1}$、右乘$(P^2{)}^{-1}$，不存在对角元重新排列的问题。

知识点：由$XAY=M$且$X,Y$均可逆，可得$A=X^{-1}M{Y}^{-1}$；同时必须严格区分$P^{-1}$与$(P^2{)}^{-1}=P^{-2}$。

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14. 【2025-2-5分】 下列矩阵中，可以经过若干次初等行变换得到矩阵

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

的是( )

A. $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 3\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 2& 5\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 3\\ 0& 0& 1& 2\\ -1& 0& -2& -3\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right)$

查看答案与解析

答案： B。

解析： 两个矩阵能够通过若干次初等行变换互相得到，当且仅当它们行等价；判定时可比较行最简形，也可以直接尝试作行变换。

B项矩阵记为

$$B_0=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 2& 5\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right).$$

对$B_0$作初等行变换：

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 2& 5\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right)\stackrel{\begin{array}{c}{r}_2-r_1\\ r_3-r_1\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 2& 4\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right).$$

再作

$$r_2\leftarrow r_2-2r_3,$$

并交换第二、第三行，得到

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$

正是目标矩阵，所以原题正确答案为B。

错误选项分析：初等行变换不改变矩阵的行空间与秩。先比较秩可迅速排除秩不同的选项；对于秩相同的矩阵，还必须继续比较行最简形，不能只凭秩相同就判定行等价。

知识点：矩阵行等价的充要条件是行最简形相同；初等行变换保持矩阵的秩不变。