三、与伴随矩阵有关的问题

小题

1. 【1987-12-3分】 设$A$为$n$阶方阵，且$|A|=a\ne 0$，而$A^{\ast }$是$A$的伴随矩阵，则$|A^{\ast }|=$( ).

A. $a$    B. $\frac{1}{a}$    C. $a^{n-1}$    D. $a^n$

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答案： C

解析： 由于$|A|=a\ne 0$，矩阵$A$可逆，且

$A^{\ast }=|A|A^{-1}$。

两边取行列式，注意$A^{\ast }$为$n$阶矩阵，有

$|A^{\ast }|=||A|A^{-1}|=|A{|}^n|A^{-1}|$。

又$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$，所以

$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}=a^{n-1}$。

故选C。A、B、D均未正确考虑数乘$n$阶矩阵后行列式应乘以该数的$n$次方。

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2. 【1990-5-3分】 设$A$为$n$阶可逆矩阵，$A^{\ast }$是$A$的伴随矩阵，则$|A^{\ast }|=$( ).

A. $|A{|}^{n-1}$    B. $|A|$    C. $|A{|}^n$    D. $|A{|}^{-1}$

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答案： A

解析： 由伴随矩阵公式

$A^{\ast }=|A|A^{-1}$，

得

$|A^{\ast }|=|A{|}^n|A^{-1}|=|A{|}^n\cdot \frac{1}{|A|}=|A{|}^{n-1}$。

故选A。其余选项分别漏掉了矩阵阶数或没有正确使用$|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$。

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3. 【1995-45-3分】 若$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 2& 0\\ 3& 4& 5\end{array}\right)$，$A^{\ast }$是$A$的伴随矩阵，则$(A^{\ast }{)}^{-1}=$

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答案： $(A^{\ast }{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{10}& 0& 0\\ \frac{1}{5}& \frac{1}{5}& 0\\ \frac{3}{10}& \frac{2}{5}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

解析： 矩阵$A$为下三角矩阵，因此

$|A|=1\cdot 2\cdot 5=10\ne 0$，

故$A$可逆。由

$A^{\ast }=|A|A^{-1}$，

两边取逆可得

$(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{1}{|A|}A$。

因此

$$(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 2& 0\\ 3& 4& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{10}& 0& 0\\ \frac{1}{5}& \frac{1}{5}& 0\\ \frac{3}{10}& \frac{2}{5}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$

。

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4. 【1996-45-3分】 设$n$阶矩阵$A$可逆$(n\ge 2)$，$A^{\ast }$是矩阵$A$的伴随矩阵，则( ).

A. $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-1}A$    B. $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n+1}A$    C. $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$    D. $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n+2}A$

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答案： C

解析： 由于$A$可逆，$A^{\ast }$也可逆。对$A^{\ast }$使用伴随矩阵公式，得

$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A^{\ast }|(A^{\ast }{)}^{-1}$。

其中

$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$，

且

$(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{1}{|A|}A$。

所以

$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-1}\cdot \frac{1}{|A|}A=|A{|}^{n-2}A$。

故选C。其余选项的指数均不符合上述两条伴随矩阵基本公式。

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5. 【1998-2-3分】 设$A$是任一$n(n\ge 3)$阶方阵，$A^{\ast }$是其伴随矩阵，又$k$为常数，且$k\ne 0,\pm 1$，则必有$(kA{)}^{\ast }=$( ).

A. $k{A}^{\ast }$    B. $k^{n-1}{A}^{\ast }$    C. $k^n{A}^{\ast }$    D. $k^{-1}{A}^{\ast }$

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答案： B

解析： 伴随矩阵中的每个元素都是原矩阵的一个$n-1$阶代数余子式。将$A$的每个元素同时乘以$k$后，每个$n-1$阶子式都乘以$k^{n-1}$，故

$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$。

因此选B。A只在$n=2$时符合；C误用了$|kA|=k^n|A|$；D没有依据。

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6. 【2002-4-3分】 设$A,B$为$n$阶矩阵，$A^{\ast },B^{\ast }$分别为$A,B$对应的伴随矩阵，分块矩阵$C=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)$，则$C$的伴随矩阵$C^{\ast }=$( )

A. $\left(\begin{array}{cc}|A|A^{\ast }& O\\ O& |B|B^{\ast }\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{cc}|B|B^{\ast }& O\\ O& |A|A^{\ast }\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{cc}|A|B^{\ast }& O\\ O& |B|A^{\ast }\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{cc}|B|A^{\ast }& O\\ O& |A|B^{\ast }\end{array}\right)$

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答案： D

解析： 先设$A,B$均可逆，则分块对角矩阵$C$可逆，并且

$|C|=|A||B|$，

$C^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$。

因此

$$C^{\ast }=|C|C^{-1}=\left(\begin{array}{cc}|A||B|A^{-1}& O\\ O& |A||B|B^{-1}\end{array}\right)$$

。

利用$A^{\ast }=|A|A^{-1}$、$B^{\ast }=|B|B^{-1}$，可得

$$C^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}|B|A^{\ast }& O\\ O& |A|B^{\ast }\end{array}\right)$$

。

该等式的两边各元素都是$A,B$各元素的多项式，因此即使$A$或$B$不可逆，公式仍成立。故选D。

A错误地在每个对角块上重复使用本块行列式；B、C则混淆了伴随矩阵所在的对角位置。

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7. 【2023-23-5分】 设$A,B$为$n$阶矩阵，$E$为$n$阶单位矩阵，$M^{\ast }$为矩阵$M$的伴随矩阵，则${\left(\begin{array}{cc}A& E\\ O& B\end{array}\right)}^{\ast }=$( )

A. $\left(\begin{array}{cc}|A|B^{\ast }& -B^{\ast }{A}^{\ast }\\ O& |B|A^{\ast }\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{cc}|B|A^{\ast }& -A^{\ast }{B}^{\ast }\\ O& |A|B^{\ast }\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{cc}|B|A^{\ast }& -B^{\ast }{A}^{\ast }\\ O& |A|B^{\ast }\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{cc}|A|B^{\ast }& -A^{\ast }{B}^{\ast }\\ O& |B|A^{\ast }\end{array}\right)$

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答案： B

解析： 记

$M=\left(\begin{array}{cc}A& E\\ O& B\end{array}\right)$。

先设$A,B$均可逆，则$M$为分块上三角矩阵，且

$|M|=|A||B|$，

$M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$。

由伴随矩阵公式$M^{\ast }=|M|M^{-1}$，得

$$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}|A||B|A^{-1}& -|A||B|A^{-1}{B}^{-1}\\ O& |A||B|B^{-1}\end{array}\right)$$

。

再利用$A^{\ast }=|A|A^{-1}$、$B^{\ast }=|B|B^{-1}$，可化为

$$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}|B|A^{\ast }& -A^{\ast }{B}^{\ast }\\ O& |A|B^{\ast }\end{array}\right)$$

。

矩阵等式两边的元素均为$A,B$各元素的多项式，所以即使$A$或$B$不可逆，结论仍成立。故选B。C把乘积$A^{\ast }{B}^{\ast }$的顺序错误地写成了$B^{\ast }{A}^{\ast }$；A、D的对角块也不符合分块伴随矩阵公式。

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8. 【2005-3-4分】 设矩阵$A=(a_{ij}{)}_{3\times 3}$满足$A^{\ast }=A^T$，其中$A^{\ast }$为$A$的伴随矩阵，$A^T$为$A$的转置矩阵，若$a_{11},a_{12},a_{13}$为三个相等的正数，则$a_{11}$为( )

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$    B. $3$    C. $\frac{1}{3}$    D. $\sqrt{3}$

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答案： A

解析： 由$A^{\ast }=A^T$以及$A{A}^{\ast }=|A|E$，可得

$A{A}^T=|A|E$。

这说明$A$的各行向量两两正交，并且每一行向量的长度平方均等于$|A|$。

另一方面，对$A^{\ast }=A^T$两边取行列式。由于$A$为三阶矩阵，

$|A^{\ast }|=|A{|}^2$，而$|A^T|=|A|$，故

$|A{|}^2=|A|$，即$|A|=0$或$|A|=1$。

若$|A|=0$，则由$A{A}^T=O$可知$A=O$，这与$a_{11}>0$矛盾。因此

$|A|=1$。

设$a_{11}=a_{12}=a_{13}=x>0$，则第一行向量的长度平方为

$x^2+x^2+x^2=3x^2=|A|=1$。

所以

$x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

故选A。

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9. 【2013-123-4分】 设$A=(a_{ij})$是三阶非零矩阵，$|A|$为$A$的行列式，$A_{ij}$为$a_{ij}$的代数余子式，若$a_{ij}+A_{ij}=0(i,j=1,2,3)$，则$|A|=$________.

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答案： $-1$

解析： 条件$a_{ij}+A_{ij}=0$表明

$A_{ij}=-a_{ij}$。

注意伴随矩阵$A^{\ast }$的第$i$行第$j$列元素为$A_{ji}$，因此

$A^{\ast }=-A^T$。

由伴随矩阵恒等式$A{A}^{\ast }=|A|E$，得

$-A{A}^T=|A|E$。

若$|A|=0$，则$A{A}^T=O$。由于$A$为实矩阵，$A{A}^T=O$意味着$A$的每一行向量长度均为零，从而$A=O$，与题设“$A$为非零矩阵”矛盾。因此$|A|\ne 0$。

对$A^{\ast }=-A^T$两边取行列式。因$A$为三阶矩阵，

$|A^{\ast }|=|A{|}^2$，

而

$|-A^T|=(-1{)}^3|A^T|=-|A|$。

故

$|A{|}^2=-|A|$。

由$|A|\ne 0$，可得

$|A|=-1$。

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10. 【2009-123-4分】 设$A,B$均为2阶方阵，$A^{\ast },B^{\ast }$分别为$A,B$的伴随矩阵，若$|A|=2$，$|B|=3$，则分块矩阵$\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)$的伴随矩阵为( )

A. $\left(\begin{array}{cc}O& 3B^{\ast }\\ 2A^{\ast }& O\end{array}\right)$    B. $\left(\begin{array}{cc}O& 2B^{\ast }\\ 3A^{\ast }& O\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{cc}O& 3A^{\ast }\\ 2B^{\ast }& O\end{array}\right)$    D. $\left(\begin{array}{cc}O& 2A^{\ast }\\ 3B^{\ast }& O\end{array}\right)$

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答案： B

解析： 记

$C=\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)$。

由于$|A|=2\ne 0$，$|B|=3\ne 0$，所以$A,B$均可逆，且

$C^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$。

$A,B$均为二阶矩阵，交换两个含2行的分块所产生的符号为$(-1{)}^{2\cdot 2}=1$，因此

$|C|=|A||B|=2\cdot 3=6$。

于是

$C^{\ast }=|C|C^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& 6B^{-1}\\ 6A^{-1}& O\end{array}\right)$。

又因为

$B^{\ast }=|B|B^{-1}=3B^{-1}$，

$A^{\ast }=|A|A^{-1}=2A^{-1}$，

所以

$6B^{-1}=2B^{\ast }$，$6A^{-1}=3A^{\ast }$。

故

$C^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}O& 2B^{\ast }\\ 3A^{\ast }& O\end{array}\right)$，

选择B。其余选项均混淆了伴随矩阵所在的分块位置或相应的系数。

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11. 【2021-1-5分】 设$A=(a_{ij})$为3阶矩阵，$A_{ij}$为元素$a_{ij}$的代数余子式，若$A$的每行元素之和均为2，且$|A|=3$，则$A_{11}+A_{21}+A_{31}=$

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答案： $\frac{3}{2}$

解析： 令

$\mathbf{e}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$。

由于$A$的每行元素之和均为2，因此

$A\mathbf{e}=2\mathbf{e}$。

又因$|A|=3\ne 0$，矩阵$A$可逆。两边左乘$A^{-1}$，得

$A^{-1}\mathbf{e}=\frac{1}{2}\mathbf{e}$。

由$A^{\ast }=|A|A^{-1}=3A^{-1}$，可得

$A^{\ast }\mathbf{e}=\frac{3}{2}\mathbf{e}$。

伴随矩阵$A^{\ast }$的第一行是

$(A_{11},A_{21},A_{31})$，

所以$A^{\ast }\mathbf{e}$的第一个分量正是

$A_{11}+A_{21}+A_{31}$。

因此

$A_{11}+A_{21}+A_{31}=\frac{3}{2}$。

大题

1. 【1992-5-6分】 已知实矩阵$A=(a_{ij}{)}_{3\times 3}$满足条件：(1)$A_{ij}=a_{ij}(i,j=1,2,3)$，其中$A_{ij}$是$a_{ij}$的代数余子式；(2)$a_{11}\ne 0$，计算行列式$|A|$

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答案： $|A|=1$

解析： 由条件$A_{ij}=a_{ij}$可知，矩阵$A$的代数余子式矩阵就是$A$本身。

伴随矩阵$A^{\ast }$由代数余子式矩阵转置得到，因此

$A^{\ast }=A^T$。

利用伴随矩阵的基本恒等式

$A{A}^{\ast }=|A|E$，

可得

$A{A}^T=|A|E$。

比较上式左、右两边的第$(1,1)$个元素，有

$a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2=|A|$。

由于$a_{11}\ne 0$，故

$|A|=a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2>0$，

从而$|A|\ne 0$。

另一方面，对等式$A^{\ast }=A^T$两边取行列式。因为$A$是三阶矩阵，

$|A^{\ast }|=|A{|}^{3-1}=|A{|}^2$，

而

$|A^T|=|A|$。

因此

$|A{|}^2=|A|$，

即

$|A|(|A|-1)=0$。

结合$|A|\ne 0$，得到

$|A|=1$。

本题关键是区分“代数余子式矩阵”与“伴随矩阵”：伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置。

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2. 【1993-5-8分】 已知三阶矩阵$A$的逆矩阵为$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right)$，试求伴随矩阵$A^{\ast }$的逆矩阵.

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答案： $(A^{\ast }{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}5& -2& -1\\ -2& 2& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$

解析： 记

$M=A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right)$。

先计算$|A|$。有

$|A^{-1}|=|M|$，

且

$|M|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right|$

$=1\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|$

$=(6-1)-(3-1)+(1-2)=2$。

所以

$|A^{-1}|=2$，

从而

$|A|=\frac{1}{|A^{-1}|}=\frac{1}{2}$。

由可逆矩阵伴随矩阵公式

$A^{\ast }=|A|A^{-1}=\frac{1}{2}M$，

因此

$(A^{\ast }{)}^{-1}=2M^{-1}=2A$。

下面计算$M^{-1}$。矩阵$M$的伴随矩阵为

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}5& -2& -1\\ -2& 2& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$，

故

$M^{-1}=\frac{1}{|M|}{M}^{\ast }=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}5& -2& -1\\ -2& 2& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$。

于是

$(A^{\ast }{)}^{-1}=2M^{-1}$

$=\left(\begin{array}{ccc}5& -2& -1\\ -2& 2& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$。

相关知识点是：当$A$可逆时，$A^{\ast }=|A|A^{-1}$，并且$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$。

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3. 【1994-2-6分】 设$A$为$n$阶非零方阵，$A^{\ast }$是$A$的伴随矩阵，$A^T$是$A$的转置矩阵，当$A^{\ast }=A^T$时，证明$|A|\ne 0$.

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答案： $|A|\ne 0$。

解析： 由伴随矩阵的基本恒等式

$A{A}^{\ast }=|A|E$，

以及题设$A^{\ast }=A^T$，可得

$A{A}^T=|A|E$。

下面用反证法。假设

$|A|=0$，

则上式化为

$A{A}^T=O$。

设$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$。矩阵$A{A}^T$的第$(i,i)$个元素为$A$的第$i$行向量与自身的内积，即

$(A{A}^T{)}_{ii}=a_{i1}^2+a_{i2}^2+\cdots +a_{in}^2$。

由于$A{A}^T=O$，故对每个$i=1,2,\dots ,n$都有

$a_{i1}^2+a_{i2}^2+\cdots +a_{in}^2=0$。

各项均为非负实数，因此必有

$a_{i1}=a_{i2}=\cdots =a_{in}=0$。

这说明$A$的每一行均为零向量，从而

$A=O$，

与题设$A$为非零方阵矛盾。

因此假设不成立，必有

$|A|\ne 0$。

本题的关键判断依据是：对实矩阵而言，$A{A}^T=O$必推出$A=O$，因为$A{A}^T$的对角元是各行元素平方和。