四、克拉默法则

小题

1. 【1991-4-3分】 设 $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$，其中 $a_i\ne a_j(i\ne j;i,j=1,2,\cdots ,n)$，则线性方程组 $A^{T}x=\beta$ 的解是

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答案： 设 $D=|A^T|=|A|\ne 0$，以 $\beta$ 替换 $A^T$ 的第 $i$ 列所得行列式为 $D_i$，则

$$x_i=\frac{D_i}{D},i=1,2,\cdots ,n.$$

等价地，

$$x=(A^T{)}^{-1}\beta =(A^{-1}{)}^T\beta .$$

解析： 由题设中参数互不相同的条件，题中矩阵的行列式不为零，故

$$|A^T|=|A|\ne 0.$$

因此系数矩阵 $A^T$ 可逆，方程组有唯一解。直接左乘 $(A^T{)}^{-1}$，可得

$$x=(A^T{)}^{-1}\beta .$$

又因为可逆矩阵满足

$$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T,$$

所以也可以写成

$$x=(A^{-1}{)}^T\beta .$$

若使用克拉默法则，记

$$D=|A^T|,$$

并将 $A^T$ 的第 $i$ 列替换为常数列向量 $\beta$，所得行列式记为 $D_i$，则唯一解的各分量为

$$x_i=\frac{D_i}{D},i=1,2,\cdots ,n.$$

相关知识点：矩阵与其转置的行列式相等；当系数行列式不为零时，非齐次线性方程组有唯一解，并可由克拉默法则或逆矩阵公式求出。