二、高阶数值型行列式的计算

小题

1. 【1997-4-3分】 设 $n$ 阶矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 0& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 0\end{array}\right),$$

则 $|A|=$

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答案： $(-1{)}^{n-1}(n-1)$。

解析： 记 $J$ 为所有元素均为 $1$ 的 $n$ 阶矩阵，则

$$A=J-E.$$

令 $\mathbf{e}=(1,1,\dots ,1{)}^T$，则

$$A\mathbf{e}=(n-1)\mathbf{e},$$

故 $n-1$ 是 $A$ 的一个特征值。

对任意满足 $x_1+x_2+\cdots +x_n=0$ 的向量 $\mathbf{x}$，有 $J\mathbf{x}=0$，从而

$$A\mathbf{x}=-\mathbf{x}.$$

这类向量构成 $n-1$ 维子空间，所以 $-1$ 是 $n-1$ 重特征值。因此

$$|A|=(n-1)(-1{)}^{n-1}.$$

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2. 【1990-5-4分】 设 $A$ 为 10 阶矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1\\ 1& 1& 1& \cdots & 1& 1\end{array}\right),$$

计算行列式 $|A-\lambda E|$，其中 $E$ 为 10 阶单位矩阵，$\lambda$ 为常数。

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答案：

$$|A-\lambda E|={\lambda }^{10}-{\lambda }^9-{\lambda }^8-\cdots -\lambda -1.$$

解析： 设 $\mu$ 是矩阵 $A$ 的特征值，相应特征向量为

$$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_{10}{)}^T\ne 0.$$

由 $A\mathbf{x}=\mu \mathbf{x}$ 的前 9 个方程得

$$x_2=\mu x_1,x_3=\mu x_2,\dots ,x_{10}=\mu x_9,$$

即

$$x_k={\mu }^{k-1}{x}_1(k=1,2,\dots ,10).$$

最后一个方程为

$$x_1+x_2+\cdots +x_{10}=\mu x_{10}.$$

代入上式，得到

$$1+\mu +{\mu }^2+\cdots +{\mu }^9={\mu }^{10}.$$

故 $A$ 的特征多项式为

$$|\lambda E-A|={\lambda }^{10}-{\lambda }^9-{\lambda }^8-\cdots -\lambda -1.$$

又因为矩阵阶数为偶数，

$$|A-\lambda E|=(-1{)}^{10}|\lambda E-A|=|\lambda E-A|,$$

所以

$$|A-\lambda E|={\lambda }^{10}-{\lambda }^9-{\lambda }^8-\cdots -\lambda -1.$$

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3. 【1991-5-3分】 $n$ 阶行列式

$$\left|\begin{array}{cccccc}a& b& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& a& b& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& a& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a& b\\ b& 0& 0& \cdots & 0& a\end{array}\right|=$$

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答案： $a^n+(-1{)}^{n-1}{b}^n$。

解析： 按行列式的排列定义观察非零项。由于每一行只有两个可能的非零元素，要使每列也恰好选取一个元素，只有以下两种选法：

第一种，全部选取主对角线上的 $a$，所得项为

$$a^n.$$

第二种，依次选取 $(1,2),(2,3),\dots ,(n-1,n),(n,1)$ 位置上的 $b$。对应的排列是一个 $n$ 轮换，其符号为 $(-1{)}^{n-1}$，故该项为

$$(-1{)}^{n-1}{b}^n.$$

除此之外，任意混合选取都会造成某列重复或某列未被选取，因此没有其他非零项。故原行列式为

$$D_n=a^n+(-1{)}^{n-1}{b}^n.$$

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4. 【2015-1-4分】 $n$ 阶行列式

$$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}2& 0& \cdots & 0& 2\\ -1& 2& \cdots & 0& 2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 2& 2\\ 0& 0& \cdots & -1& 2\end{array}\right|=$$

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答案： $2^{n+1}-2$。

解析： 按第一行展开。删除第一行、第一列后所得行列式仍具有同样结构，等于 $D_{n-1}$，故第一项为 $2D_{n-1}$。

删除第一行、最后一列后，所得 $n-1$ 阶行列式为

$$\left|\begin{array}{ccccc}-1& 2& 0& \cdots & 0\\ 0& -1& 2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & -1& 2\\ 0& 0& \cdots & 0& -1\end{array}\right|=(-1{)}^{n-1}.$$

因此最后一项为

$$2(-1{)}^{1+n}(-1{)}^{n-1}=2.$$

于是递推关系为

$$D_n=2D_{n-1}+2,$$

且 $D_1=2$。令 $u_n=D_n+2$，则

$$u_n=2u_{n-1},u_1=4,$$

所以

$$u_n=2^{n+1}.$$

从而

$$D_n=2^{n+1}-2.$$