一、低阶数值型行列式的计算

小题

【1988-45-1分】

1110110110110111 =

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答案： $- 3$ 。

解析： 记原行列式为 $D$ 。作列变换 $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4}$ ，则

D = 31111110110110111 .

再作行变换 $R_{1} \leftarrow R_{1} - R_{4}$ ， $R_{2} \leftarrow R_{2} - R_{4}$ ， $R_{3} \leftarrow R_{3} - R_{4}$ ，得

D = 3 0001 00 - 1 1 0 - 1 01 - 1 001 = 3 (- 1) = - 3.

【1989-5-3分】 行列式

111 x + 1 - 1 - 1 x - 1 - 1 1 x + 1 11 x - 1 - 1 - 1 - 1 =

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答案： $x^{4}$ 。

解析： 记原行列式为 $D$ 。依次作

R_{2} \leftarrow R_{2} - R_{1}, R_{3} \leftarrow R_{3} - R_{1}, R_{4} \leftarrow R_{4} - R_{1},

则

D = 100 x - 1 0 x 0 1 x 00 x - 1 - x - x - x = x^{3} 1001 - 1 010 1100 x - 1 - 1 - 1 - 1 .

再作

R_{1} \leftarrow R_{1} - R_{4} + R_{3} - R_{2},

得到

D = x^{3} 000100100100 x - 1 - 1 - 1 = x^{4} .

【1996-5-3分】 五阶行列式

D = 1 - a - 1 000 a 1 - a - 1 00 0 a 1 - a - 1 0 00 a 1 - a - 1 000 a 1 - a =

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答案： $1 - a + a^{2} - a^{3} + a^{4} - a^{5}$ 。

解析： 设同型的 $n$ 阶行列式为 $D_{n}$ ，按最后一行或第一列展开可得递推关系

D_{n} = (1 - a) D_{n - 1} + a D_{n - 2},

其中

D_{0} = 1, D_{1} = 1 - a .

由递推关系可归纳得到

D_{n} = 1 - a + a^{2} - a^{3} + \dots + (- a)^{n} .

因此

D = D_{5} = 1 - a + a^{2} - a^{3} + a^{4} - a^{5} = (1 - a) (a^{4} + a^{2} + 1) .

【2020-123-4分】 行列式

a 0 - 1 1 0 a 1 - 1 - 1 1 a 0 1 - 1 0 a =

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答案： $a^{2} (a^{2} - 4)$ 。

解析： 将矩阵写成分块形式

(a E_{2} B B a E_{2}), B = (- 1 1 1 - 1) .

由于 $a E_{2}$ 与 $B$ 可交换，利用分块行列式公式，原行列式等于

∣ a E_{2} - B ∣ ∣ a E_{2} + B ∣.

分别计算

∣ a E_{2} - B ∣ = a + 1 - 1 - 1 a + 1 = a (a + 2),

∣ a E_{2} + B ∣ = a - 1 1 1 a - 1 = a (a - 2) .

故原行列式为

a (a + 2) \cdot a (a - 2) = a^{2} (a^{2} - 4) .

【1996-12-3分】 四阶行列式

a_{1} 00 b_{4} 0 a_{2} b_{3} 0 0 b_{2} a_{3} 0 b_{1} 00 a_{4}

的值等于（）

a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} - b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}

a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} + b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}

(a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) (a_{3} a_{4} - b_{3} b_{4})

(a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}) (a_{1} a_{4} - b_{1} b_{4})

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答案： D。

解析： 同时按照下标顺序 $1, 4, 2, 3$ 重排行与列。行、列使用同一个置换，两个置换产生的符号相乘为 $1$ ，故行列式的值不变。重排后得到分块对角行列式

a_{1} b_{4} 00 b_{1} a_{4} 00 00 a_{2} b_{3} 00 b_{2} a_{3} .

因此

D = a_{1} b_{4} b_{1} a_{4} a_{2} b_{3} b_{2} a_{3} = (a_{1} a_{4} - b_{1} b_{4}) (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}) .

这正是选项 D。选项 A、B 均遗漏了两个二阶行列式相乘产生的交叉项；选项 C 对元素的配对关系不正确。

【1999-2-3分】 记行列式

f (x) = x - 2 2 x - 2 3 x - 3 4 x x - 1 2 x - 1 3 x - 2 4 x - 3 x - 2 2 x - 2 4 x - 5 5 x - 7 x - 3 2 x - 3 3 x - 5 4 x - 3,

则方程 $f (x) = 0$ 的根的个数为（）

1

2

3

4

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答案： B。

解析： 先作列变换

C_{2} \leftarrow C_{2} - C_{1}, C_{3} \leftarrow C_{3} - C_{1}, C_{4} \leftarrow C_{4} - C_{1},

得到

f (x) = x - 2 2 x - 2 3 x - 3 4 x 111 - 3 00 x - 2 x - 7 - 1 - 1 - 2 - 3 .

再作行变换

R_{2} \leftarrow R_{2} - R_{1}, R_{3} \leftarrow R_{3} - R_{1}, R_{4} \leftarrow R_{4} - 4 R_{1},

则

f (x) = x - 2 x 2 x - 1 8 100 - 7 00 x - 2 x - 7 - 1 0 - 1 1 .

按第二行展开，得

f (x) = - x 10 - 7 0 x - 2 x - 7 - 1 - 1 1 = - x [- 5 (x - 1)] = 5 x (x - 1) .

所以方程的不同实根为

x = 0, x = 1,

共有 $2$ 个。故选 B；其余选项对应的根的个数均与分解结果不符。

【2025-3-5分】

f (x) = 2 x + 1 2 x 2 x + 1 2 x 3 - 3 2 - 4 2 x + 1 4 x 2 x + 1 4 x 1 - 2 1 - 2,

g (x) = 2 x + 1 5 x + 1 0 2 x 1 - 2 1 - 2 2 x + 1 4 x 2 x + 1 4 x 3 - 3 2 - 4 .

则方程 $f (x) = g (x)$ 的不同根的个数为

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答案： $2$ 。

解析： 对于 $f (x)$ ，有

R_{1} - R_{3} = (0, 1, 0, 0), R_{2} - R_{4} = (0, 1, 0, 0) .

因此

R_{1} - R_{2} - R_{3} + R_{4} = 0,

四个行向量线性相关，从而

f (x) = 0.

对于 $g (x)$ ，依次作

R_{1} \leftarrow R_{1} - R_{3}, R_{2} \leftarrow R_{2} - R_{4}, R_{2} \leftarrow R_{2} - R_{1},

得到

g (x) = 2 x + 1 x 0 2 x 001 - 2 00 2 x + 1 4 x 102 - 4 .

按第二行展开，得

g (x) = - x 01 - 2 0 2 x + 1 4 x 12 - 4 = - 2 x (4 x + 1) .

所以 $f (x) = g (x)$ 等价于

- 2 x (4 x + 1) = 0,

其不同根为

x = 0, x = - \frac{1}{4} .

故不同根的个数为 $2$ 。

【2014-123-4分】 行列式

0 a 0 c a 0 c 0 b 0 d 0 0 b 0 d

等于（）

(a d - b c)^{2}

- (a d - b c)^{2}

a^{2} d^{2} - b^{2} c^{2}

b^{2} c^{2} - a^{2} d^{2}

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答案： B。

解析： 先交换第二、第三行，行列式变号；再将列按 $C_{2}, C_{3}, C_{1}, C_{4}$ 的次序排列。该列置换是偶置换，不改变行列式符号。于是

D = - a c 00 b d 00 00 a c 00 b d .

这是分块对角行列式，因此

D = - a c b d^{2} = - (a d - b c)^{2} .

故选 B。选项 A 少计了一次交换行产生的负号；选项 C、D 只保留了平方项，遗漏了展开式中的交叉项 $- 2 ab c d$ 。

【2001-4-3分】 设行列式

D = 3205 02 - 7 3 420 - 2 0202,

则第四行各元素余子式之和为

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答案： $- 28$ 。

解析： 注意题目所求的是余子式 $M_{4 j}$ ，不是代数余子式 $A_{4 j}$ 。逐一计算：

M_{41} = 02 - 7 420020 = - 56,

M_{42} = 320420020 = 0,

M_{43} = 320 02 - 7 020 = 42,

M_{44} = 320 02 - 7 420 = - 14.

故

M_{41} + M_{42} + M_{43} + M_{44} = - 56 + 0 + 42 - 14 = - 28.

【2019-2-4分】 已知矩阵

A = 1 - 2 30 - 1 1 - 2 0 0 - 1 23 01 - 1 4,

$A_{ij}$ 为 $∣ A ∣$ 的 $(i, j)$ 元素的代数余子式，则 $A_{11} + A_{12} =$ _______。

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答案： $- 2$ 。

解析： 由代数余子式的定义，

A_{11} = (- 1)^{1 + 1} 1 - 2 0 - 1 23 1 - 1 4 = - 3.

又

A_{12} = (- 1)^{1 + 2} - 2 30 - 1 23 1 - 1 4 = 1.

因此

A_{11} + A_{12} = - 3 + 1 = - 2.

【2024-3-5分】

A = a + 1 a 1 b \frac{b}{2} 1 312 .

$M_{ij}$ 表示 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素的余子式。若 $∣ A ∣ = - \frac{1}{2}$ ，且 $- M_{21} + M_{22} - M_{23} = 0$ ，则（　）

a = 0 或 a = - \frac{3}{2}

a = 0 或 a = \frac{3}{2}

b = 1 或 b = - \frac{1}{2}

b = - 1 或 b = \frac{1}{2}

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答案： B。

解析： 原分类文件的题干漏写了条件 $∣ A ∣ = - \frac{1}{2}$ ，此处根据原题补全。

因为第二行各元素对应的代数余子式分别为

A_{21} = - M_{21}, A_{22} = M_{22}, A_{23} = - M_{23},

所以题设条件等价于

A_{21} + A_{22} + A_{23} = 0.

将行列式第二行替换为 $(1, 1, 1)$ ，由行列式按第二行展开可得

0 = a + 1 11 b 11 312 = a - b + 1.

故

b = a + 1.

代入 $∣ A ∣ = - \frac{1}{2}$ ，得

∣ A ∣ = a + 1 a 1 a + 1 \frac{a + 1}{2} 1 312 = \frac{( 1 - a ) ( 2 a - 1 )}{2} = - \frac{1}{2} .

于是

(1 - a) (2 a - 1) = - 1,

即

- 2 a^{2} + 3 a = 0,

从而

a = 0 或 a = \frac{3}{2} .

故选 B。选项 A 的第二个根符号错误；选项 C、D 给出的均是 $b$ 的固定取值，但由条件只能先得到 $b = a + 1$ 。

【2021-23-5分】 多项式

f (x) = x 122 x x 1 - 1 12 x 1 2 - 1 1 x

中 $x^{3}$ 的系数为

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答案： $- 1$ 。

解析： 按第一行展开。各余子式为

M_{11} = x 1 - 1 2 x 1 - 1 1 x = x^{3} - 4 x - 3,

M_{12} = 122 2 x 1 - 1 1 x = x^{2} - 2 x + 1.

其余两项中的余子式均至多为二次多项式，因此不会产生 $x^{3}$ 项。于是

f (x) = x M_{11} - x M_{12} + 不高于二次的多项式 .

其中 $x M_{11}$ 不含 $x^{3}$ 项，而

- x M_{12} = - x^{3} + 2 x^{2} - x .

所以 $x^{3}$ 的系数为 $- 1$ 。事实上，完整展开式为

f (x) = x^{4} - x^{3} - 8 x^{2} + x + 19.

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