【1992-4-3 分】 设 n 个随机变量 X 1 , X 2 , ⋯ , X n \displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n X 1 , X 2 , ⋯ , X n D X 1 = σ 2 \displaystyle DX_1=\sigma^2 D X 1 = σ 2 X ˉ = 1 n ∑ i = 1 n X i \displaystyle \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i X ˉ = n 1 i = 1 ∑ n X i S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 \displaystyle S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 S 2 = n − 1 1 i = 1 ∑ n ( X i − X ˉ ) 2 σ \displaystyle \sigma σ σ \displaystyle \sigma σ σ \displaystyle \sigma σ X ˉ \displaystyle \bar{X} X ˉ
【2009-1-4 分】 设 X 1 , X 2 , ⋯ , X n \displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n X 1 , X 2 , ⋯ , X n B ( n , p ) \displaystyle B(n, p) B ( n , p ) X ˉ \displaystyle \bar{X} X ˉ S 2 \displaystyle S^2 S 2 X ˉ + k S 2 \displaystyle \bar{X}+kS^2 X ˉ + k S 2 n p 2 \displaystyle np^2 n p 2 k = \displaystyle k= k =
【2014-1-4 分】 设总体 X 的概率密度为
f ( x , θ ) = { 2 x 3 θ 2 , θ < x < 2 θ , 0 , 其它 , f(x,\theta)=
\begin{cases}
\frac{2x}{3\theta^2}, & \theta<x<2\theta, \\
0, & \text{其它},
\end{cases} f ( x , θ ) = { 3 θ 2 2 x , 0 , θ < x < 2 θ , 其它 , 其 θ \displaystyle \theta θ X 1 , X 2 , ⋯ , X n \displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n X 1 , X 2 , ⋯ , X n c ∑ i = 1 n X i 2 \displaystyle c\sum_{i=1}^{n}X_i^2 c i = 1 ∑ n X i 2 θ 2 \displaystyle \theta^2 θ 2 C = \displaystyle C= C =
【2003-1-8 分】 设总体 X 的概率密度为
f ( x ) = { 2 e − 2 ( x − θ ) , x > θ 0 , x ≤ θ , f(x)=
\begin{cases}
2e^{-2(x-\theta)}, & x>\theta \\
0, & x \leq \theta,
\end{cases} f ( x ) = { 2 e − 2 ( x − θ ) , 0 , x > θ x ≤ θ , 其中 θ > 0 \displaystyle \theta>0 θ > 0 X 1 , X 2 , ⋯ , X n \displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n X 1 , X 2 , ⋯ , X n θ ^ = min { X 1 , X 2 , ⋯ , X n } \displaystyle \hat{\theta}=\min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\} θ ^ = min { X 1 , X 2 , ⋯ , X n } F ( x ) \displaystyle F(x) F ( x ) θ ^ \displaystyle \hat{\theta} θ ^ F θ ^ ( x ) \displaystyle F_{\hat{\theta}}(x) F θ ^ ( x ) θ ^ \displaystyle \hat{\theta} θ ^ θ \displaystyle \theta θ
【2005-3-13 分】 设 X 1 , X 2 , ⋯ , X n ( n > 2 ) \displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n(n>2) X 1 , X 2 , ⋯ , X n ( n > 2 ) N ( 0 , σ 2 ) \displaystyle N(0, \sigma^2) N ( 0 , σ 2 ) X ˉ \displaystyle \bar{X} X ˉ Y i = X i − X ˉ \displaystyle Y_i=X_i-\bar{X} Y i = X i − X ˉ i = 1 , 2 , ⋯ , n \displaystyle i=1, 2, \cdots, n i = 1 , 2 , ⋯ , n Y i \displaystyle Y_i Y i D ( Y i ) \displaystyle D(Y_i) D ( Y i ) i = 1 , 2 , ⋯ , n \displaystyle i=1, 2, \cdots, n i = 1 , 2 , ⋯ , n Y 1 \displaystyle Y_1 Y 1 Y n \displaystyle Y_n Y n C o v ( Y 1 , Y n ) \displaystyle Cov(Y_1, Y_n) C o v ( Y 1 , Y n ) c ( Y 1 + Y n ) 2 \displaystyle c(Y_1+Y_n)^2 c ( Y 1 + Y n ) 2 σ 2 \displaystyle \sigma^2 σ 2
【2007-134-11 分】 设总体 X 的概率密度为
f ( x ; θ ) = { 1 2 θ , 0 < x < θ , 1 2 ( 1 − θ ) , θ ≤ x < 1 , 0 , 其他 f(x;\theta)=
\begin{cases}
\frac{1}{2\theta}, & 0<x<\theta, \\
\frac{1}{2(1-\theta)}, & \theta \leq x<1, \\
0, & \text{其他}
\end{cases} f ( x ; θ ) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 θ 1 , 2 ( 1 − θ ) 1 , 0 , 0 < x < θ , θ ≤ x < 1 , 其他 其中参数 θ ( 0 < θ < 1 ) \displaystyle \theta(0<\theta<1) θ ( 0 < θ < 1 ) X 1 , X 2 , ⋯ , X n \displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n X 1 , X 2 , ⋯ , X n X ˉ \displaystyle \bar{X} X ˉ θ \displaystyle \theta θ θ ^ \displaystyle \hat{\theta} θ ^ 4 X ˉ 2 \displaystyle 4\bar{X}^2 4 X ˉ 2 θ 2 \displaystyle \theta^2 θ 2
【2010-1-11 分】 设总体 X 的概率分布为
X 1 2 3 P 1 − θ \displaystyle 1-\theta 1 − θ θ − θ 2 \displaystyle \theta-\theta^2 θ − θ 2 θ 2 \displaystyle \theta^2 θ 2
其中参数 θ ∈ ( 0 , 1 ) \displaystyle \theta \in (0, 1) θ ∈ ( 0 , 1 ) N i \displaystyle N_i N i ( i = 1 , 2 , 3 ) \displaystyle (i=1, 2, 3) ( i = 1 , 2 , 3 ) a 1 , a 2 , a 3 \displaystyle a_1, a_2, a_3 a 1 , a 2 , a 3 T = ∑ i = 1 3 a i N i \displaystyle T=\sum_{i=1}^{3}a_iN_i T = i = 1 ∑ 3 a i N i θ \displaystyle \theta θ
【2016-1-11 分】 设总体 X 的概率密度为
f ( x ; θ ) = { 3 x 2 θ 3 , 0 < x < θ 0 , 其他 f(x;\theta)=
\begin{cases}
\frac{3x^2}{\theta^3}, & 0<x<\theta \\
0, & \text{其他}
\end{cases} f ( x ; θ ) = { θ 3 3 x 2 , 0 , 0 < x < θ 其他 其中 θ ∈ ( 0 , + ∞ ) \displaystyle \theta \in (0, +\infty) θ ∈ ( 0 , + ∞ ) X 1 \displaystyle X_1 X 1 X 2 \displaystyle X_2 X 2 X 3 \displaystyle X_3 X 3 T = max { X 1 , X 2 , X 3 } \displaystyle T=\max\{X_1, X_2, X_3\} T = max { X 1 , X 2 , X 3 } a T \displaystyle aT a T θ \displaystyle \theta θ
【2024-1-12 分】 已知总体 X 服从[0, θ \displaystyle \theta θ θ ∈ ( 0 , + ∞ ) \displaystyle \theta \in (0, +\infty) θ ∈ ( 0 , + ∞ ) X 1 , X 2 , ⋯ , X n \displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n X 1 , X 2 , ⋯ , X n X ( n ) = max { X 1 , X 2 , ⋯ , X n } \displaystyle X_{(n)}=\max\{X_1, X_2, \cdots, X_n\} X ( n ) = max { X 1 , X 2 , ⋯ , X n } T c = c X ( n ) \displaystyle T_c=cX_{(n)} T c = c X ( n ) T c \displaystyle T_c T c θ \displaystyle \theta θ h ( c ) = E ( T c − θ ) 2 \displaystyle h(c)=E(T_c-\theta)^2 h ( c ) = E ( T c − θ ) 2 h ( c ) \displaystyle h(c) h ( c )