8.1 矩估计与最大似然估计

小题

1. 【2021-3-5 分】 设总体 X 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=1\}=\dfrac{1-\theta}{2}$, $\displaystyle P\{X=2\}=P\{X=3\}=\dfrac{1+\theta}{4}$, 利用来自总体的样本值1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 可得 $\displaystyle \theta$ 的最大似然估计值为( ) A. $\displaystyle \dfrac{1}{4}$    B. $\displaystyle \dfrac{3}{8}$ C. $\displaystyle \dfrac{1}{2}$    D. $\displaystyle \dfrac{5}{8}$

2. 【1991-4-5 分】 设总体 X 的概率密度为

$$p(x,\lambda)= \begin{cases} \lambda a x^{a-1}e^{-\lambda x^a}, & x>0, \\ 0, & x \leq 0, \end{cases}$$

其中 $\displaystyle \lambda>0$ 是未知参数, $\displaystyle a>0$ 是已知参数.试根据来自总体 X 的简单随机样本 $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 求$\displaystyle \lambda$ 的最大似然估计量 $\displaystyle \hat{\lambda}$ .

3. 【1997-1-5 分】 设总体 X 的概率密度为

$$f(x)= \begin{cases} (\theta+1)x^\theta, & 0<x<1 \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

$\displaystyle \theta>-1$ 是未知参数, $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本, 分别用矩估计法和极大似然估计法求 $\displaystyle \theta$ 的估计量.

4. 【2002-3-3 分】 设总体 X 的概率密度为

$$f(x;\theta)= \begin{cases} e^{-(x-\theta)}, & x \geq \theta, \\ 0, & x<\theta; \end{cases}$$

而 $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 X 的简单随机样本, 则未知参数 $\displaystyle \theta$ 的矩估计量为

大题

1. 【2002-1-7 分】 设总体 X 的概率分布为

X	0	1	2	3
P	$\displaystyle \theta^2$	$\displaystyle 2\theta(1-\theta)$	$\displaystyle \theta^2$	$\displaystyle 1-2\theta$

其中 $\displaystyle \theta(0<\theta<\dfrac{1}{2})$ 是未知参数, 利用总体 X 的如下样本值:3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3, 求 $\displaystyle \theta$ 的矩估计值和最大似然估计值.

2. 【1999-1-6 分】 设总体 X 的概率密度为

$$f(x)= \begin{cases} \frac{6x}{\theta^3}(\theta-x), & 0<x<\theta \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

$\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 X 的简单随机样本. (1) 求$\displaystyle \theta$ 的矩估计量 $\displaystyle \hat{\theta}$; (2) 求 $\displaystyle \hat{\theta}$ 的方差 $\displaystyle D(\hat{\theta})$ .

3. 【2000-1-8 分】 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为

$$f(x,\theta)= \begin{cases} 2e^{-2(x-\theta)}, & x \geq \theta \\ 0, & x<\theta \end{cases}$$

其中 $\displaystyle \theta>0$ 为未知参数, 又设 $\displaystyle x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是 X 的一组样本观测值, 求参数 $\displaystyle \theta$ 的最大似然估计值.

4. 【2004-3-13 分】 设随机变量 X 的分布函数为

$$F(x;\alpha,\beta)= \begin{cases} 1-\left(\frac{\alpha}{x}\right)^\beta, & x>\alpha, \\ 0, & x \leq \alpha, \end{cases}$$

其中参数 $\displaystyle \alpha>0$, $\displaystyle \beta>1$ .设 $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 X 的简单随机样本, (1)当 $\displaystyle \alpha=1$ 时, 求未知参数 $\displaystyle \beta$ 的矩估计量; (2)当 $\displaystyle \alpha=1$ 时, 求未知参数 $\displaystyle \beta$ 的最大似然估计量; (3)当 $\displaystyle \beta=2$ 时, 求未知参数 $\displaystyle \alpha$ 的最大似然估计量.

5. 【2004-1-9 分】 设总体 X 的分布函数为

$$F(x;\beta)= \begin{cases} 1-\frac{1}{x^\beta}, & x>1, \\ 0, & x \leq 1, \end{cases}$$

其中 $\displaystyle \beta>1$ .设 $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 X 的简单随机样本, 求: (1) $\displaystyle \beta$ 的矩估计量; (2) $\displaystyle \beta$ 的最大似然估计量;

6. 【2006-3-13 分】 设总体 X 的概率密度为

$$f(x;\theta)= \begin{cases} \theta, & 0<x<1, \\ 1-\theta, & 1 \leq x<2, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

$\displaystyle \theta(0<\theta<1)$ 是未知参数, $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 X 的简单随机样本, 记 N 为样本值 $\displaystyle x_1, x_2, \cdots, x_n$ 中小于1 的个数. (1) 求$\displaystyle \theta$ 的矩估计; (2) 求$\displaystyle \theta$ 的最大似然估计.

7. 【2006-1-9 分】 设总体 X 的概率密度为

$$f(x;\theta)= \begin{cases} \theta, & 0<x<1, \\ 1-\theta, & 1 \leq x<2, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

$\displaystyle \theta(0<\theta<1)$ 是未知参数, $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 X 的简单随机样本, 记 N 为样本值 $\displaystyle x_1, x_2, \cdots, x_n$ 中小于1 的个数.求 $\displaystyle \theta$ 的最大似然估计.

8. 【2009-1-11 分】 设总体 X 的概率密度为

$$f(x)= \begin{cases} \lambda^2 x e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

其中参数 $\displaystyle \lambda(\lambda>0)$ 未知, $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 X 的简单随机样本. (1) 求参数 $\displaystyle \lambda$ 的矩估计量; (2) 求参数 $\displaystyle \lambda$ 的最大似然估计量.

9. 【2011-1-11 分】 设 $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $\displaystyle N(\mu_0, \sigma^2)$ 的简单随机样本, 其中 $\displaystyle \mu_0$ 已知, $\displaystyle \sigma^2>0$ 未知. $\displaystyle \bar{X}$ 和 $\displaystyle S^2$ 分别表示样本均值和样本方差. (1) 求参数 $\displaystyle \sigma^2$ 的最大似然估计量 $\displaystyle \hat{\sigma}^2$; (2)计算 $\displaystyle E(\hat{\sigma}^2)$ 和 $\displaystyle D(\hat{\sigma}^2)$ .

10. 【2012-1-11 分】 设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 $\displaystyle N(\mu, \sigma^2)$ 与 $\displaystyle N(\mu, 2\sigma^2)$, 其中 $\displaystyle \sigma$ 是未知参数且 $\displaystyle \sigma>0$, 设 $\displaystyle Z=X-Y$, (1)求 Z 的概率密度 $\displaystyle f(z, \sigma^2)$; (2)设 $\displaystyle Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 为来自总体 Z 的简单随机样本, 求 $\displaystyle \sigma^2$ 的最大似然估计量 $\displaystyle \hat{\sigma}^2$; (3)证明 $\displaystyle \hat{\sigma}^2$ 为 $\displaystyle \sigma^2$ 的无偏估计量.

11. 【2013-13-11 分】 设总体 X 的概率密度为

$$f(x;\theta)= \begin{cases} \frac{\theta^2}{x^3}e^{-\frac{\theta}{x}}, & x>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

其中 $\displaystyle \theta$ 为未知参数且大于零. $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 X 的简单随机样本. (1) 求$\displaystyle \theta$ 的矩估计量; (2) 求$\displaystyle \theta$ 的最大似然估计量.

12. 【2014-1-11 分】 设总体 X 的分布函数为

$$F(x,\theta)= \begin{cases} 1-e^{-\frac{x^2}{\theta}}, & x \geq 0 \\ 0, & x<0 \end{cases}$$

其中 $\displaystyle \theta$ 为未知参数且大于零, $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 X 的简单随机样本, (1) 求 $\displaystyle E(X)$ 与 $\displaystyle E(X^2)$; (2) 求$\displaystyle \theta$ 的极大似然估计量 $\displaystyle \hat{\theta}_n$; (3) 是否存在常数a, 使得对任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$, 都有 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}P\{|\hat{\theta}_n-a| \geq \varepsilon\}=0?$

13. 【2015-13-11 分】 设总体 X 的概率密度为

$$f(x;\theta)= \begin{cases} \frac{1}{1-\theta}, & \theta \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

其中 $\displaystyle \theta$ 为未知参数. $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本. (1) 求$\displaystyle \theta$ 的矩估计量; (2) 求$\displaystyle \theta$ 的最大似然估计量.

14. 【2017-13-11 分】 某工程师为了解一台天平的精度, 用该天平对一物体的质量做 n 次测量, 该物体的质量 $\displaystyle \mu$ 是已知的.设 n 次测量结果 $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立且均服从正态分布 $\displaystyle N(\mu, \sigma^2)$, 该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 $\displaystyle Z_i=|X_i-\mu|(i=1, 2, \cdots, n)$ .利用 $\displaystyle Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 估计 $\displaystyle \sigma$. (I)求 $\displaystyle Z_1$ 的概率密度; (II) 利用一阶矩求 $\displaystyle \sigma$ 的矩估计量; (III) 求 $\displaystyle \sigma$ 的最大似然估计量.

15. 【2018-13-11 分】 设总体 X 的概率密度为

$$f(x;\sigma)=\frac{1}{2\sigma}e^{-\frac{|x|}{\sigma}}, \quad -\infty<x<+\infty,$$

其中 $\displaystyle \sigma \in (0, +\infty)$ 为未知参数, $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 X 的简单随机样本.记 $\displaystyle \sigma$ 的最大似然估计量为 $\displaystyle \hat{\sigma}$ . (I)求 $\displaystyle \hat{\sigma}$; (II)求 $\displaystyle E(\hat{\sigma})$ 和 $\displaystyle D(\hat{\sigma})$ .

16. 【2019-13-11 分】 设总体 X 的概率密度为

$$f(x;\sigma^2)= \begin{cases} A e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, & x \geq \mu \\ 0, & x<\mu \end{cases}$$

其中$\displaystyle \mu$ 是已知参数, $\displaystyle \sigma>0$ 是未知参数, A 是常数, $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 X 的简单随机样本. (1)求 A 的值; (2)求 $\displaystyle \sigma^2$ 的最大似然估计量.

17. 【2020-13-11 分】 设某元件使用寿命 T 的分布函数

$$F(t)= \begin{cases} 1-e^{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^m}, & t \geq 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

$\displaystyle \theta$, m 为参数且大于零. (1) 求概率 $\displaystyle P\{T>t\}$ 与 $\displaystyle P\{T>s+t|T>s\}$, 其中 $\displaystyle s>0, t>0$; (2) 设取 n 个这样的元件做寿命实验, 测得寿命 $\displaystyle t_1, t_2, \cdots, t_n$, 其中 m 已知, 求 $\displaystyle \theta$ 的最大似然估计值.

18. 【2022-13-12 分】 设 $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自期望为 $\displaystyle \theta$ 的指数分布的简单随机样本, $\displaystyle Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$ 是来自期望为 $\displaystyle 2\theta$ 的指数分布总体的简单随机样本, $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n, Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$ 相互独立, 其中 $\displaystyle \theta(\theta>0)$ 是未知参数, 求 $\displaystyle \theta$ 的极大似然估计量 $\displaystyle \hat{\theta}$, 并求 $\displaystyle D(\hat{\theta})$ .