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7.3 一维正态总体下统计量的特殊性质

小题​

  1. 【1994-4-3 分】 设 X1,X2,⋯ ,Xn\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n 是来自正态总体 N(μ,σ2)\displaystyle N(\mu, \sigma^2) 的简单随机样本, Xˉ\displaystyle \bar{X} 是样本均值, 记
S12=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2,S22=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2,S_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2, \quad S_2^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2, S32=1n−1∑i=1n(Xi−μ)2,S42=1n∑i=1n(Xi−μ)2,S_3^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2, \quad S_4^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2,

则服从自由度为 n−1\displaystyle n-1 的 t 分布的随机变量是( ) A. t=Xˉ−μS1/n−1\displaystyle t=\dfrac{\bar{X}-\mu}{S_1/\sqrt{n-1}} B. t=Xˉ−μS2/n−1\displaystyle t=\dfrac{\bar{X}-\mu}{S_2/\sqrt{n-1}} C. t=Xˉ−μS3/n\displaystyle t=\dfrac{\bar{X}-\mu}{S_3/\sqrt{n}} D. t=Xˉ−μS4/n\displaystyle t=\dfrac{\bar{X}-\mu}{S_4/\sqrt{n}}

  1. 【2005-1-4 分】 设 X1,X2,⋯ ,Xn(n≥2)\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geq 2) 为来自总体 N(0,1)\displaystyle N(0, 1) 的简单随机样本, Xˉ\displaystyle \bar{X} 为样本均值, S2\displaystyle S^2 为样本方差, 则( ) A. nXˉ∼N(0,1)\displaystyle n\bar{X} \sim N(0,1) B. nS2∼χ2(n)\displaystyle nS^2 \sim \chi^2(n) C. (n−1)XˉS∼t(n−1)\displaystyle \dfrac{(n-1)\bar{X}}{S} \sim t(n-1) D. (n−1)X12∑i=2nXi2∼F(1,n−1)\displaystyle \dfrac{(n-1)X_1^2}{\sum_{i=2}^{n}X_i^2} \sim F(1,n-1)

  2. 【2018-3-4 分】 设 X1,X2,⋯ ,Xn(n≥2)\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geq 2) 为来自总体 N(μ,σ2)(σ>0)\displaystyle N(\mu, \sigma^2)(\sigma>0) 的简单随机样本.令 Xˉ=1n∑i=1nXi\displaystyle \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i, S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\displaystyle S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2, S∗=1n∑i=1n(Xi−μ)2\displaystyle S^*=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}, 则( ) A. n(Xˉ−μ)S∼t(n)\displaystyle \dfrac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n) B. n(Xˉ−μ)S∼t(n−1)\displaystyle \dfrac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1) C. n(Xˉ−μ)S∗∼t(n)\displaystyle \dfrac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^*} \sim t(n) D. n(Xˉ−μ)S∗∼t(n−1)\displaystyle \dfrac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^*} \sim t(n-1)

  3. 【2023-13-5 分】 设 X1,X2,⋯ ,Xn\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n 是来自总体 N(μ,σ2)\displaystyle N(\mu, \sigma^2) 的简单随机样本, Y1,Y2,⋯ ,Ym\displaystyle Y_1, Y_2, \cdots, Y_m 来自总体 N(μ,2σ2)\displaystyle N(\mu, 2\sigma^2) 的简单随机样本, 其两样本之间相互独立, 记 Xˉ=1n∑i=1nXi\displaystyle \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i, Yˉ=1m∑i=1mYi\displaystyle \bar{Y}=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}Y_i, S12=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\displaystyle S_1^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2, S22=1m−1∑i=1m(Yi−Yˉ)2\displaystyle S_2^2=\dfrac{1}{m-1}\sum_{i=1}^{m}(Y_i-\bar{Y})^2, 则( ) A. S12S22∼F(n,m)\displaystyle \dfrac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n,m) B. S12S22∼F(n−1,m−1)\displaystyle \dfrac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1,m-1) C. 2S12S22∼F(n,m)\displaystyle \dfrac{2S_1^2}{S_2^2} \sim F(n,m) D. 2S12S22∼F(n−1,m−1)\displaystyle \dfrac{2S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1,m-1)

大题​

  1. 【1999-3-7 分】 设 X1,X2,⋯ ,X9\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_9 是来自正态总体 X 的简单随机样本,
Y1=16(X1+⋯+X6),Y2=13(X7+X8+X9),Y_1=\frac{1}{6}(X_1+\cdots+X_6), \quad Y_2=\frac{1}{3}(X_7+X_8+X_9), S2=12∑i=79(Xi−Y2)2,Z=2(Y1−Y2)S,S^2=\frac{1}{2}\sum_{i=7}^{9}(X_i-Y_2)^2, \quad Z=\frac{\sqrt{2}(Y_1-Y_2)}{S},

证明统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布.

  1. 【2008-13-11 分】 设 X1,X2,⋯ ,Xn\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n 是总体 N(μ,σ2)\displaystyle N(\mu, \sigma^2) 的简单随机样本.记 Xˉ=1n∑i=1nXi\displaystyle \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i, S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\displaystyle S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2, T=Xˉ2−1nS2\displaystyle T=\bar{X}^2-\dfrac{1}{n}S^2 . (1)证明 T 是 μ2\displaystyle \mu^2 的无偏估计量; (2)当 μ=0\displaystyle \mu=0, σ=1\displaystyle \sigma=1 时, 求 DT\displaystyle DT .