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7.1 常见统计量的基本性质

小题​

  1. 【1999-3-3 分】 在天平上重复称量一重为 a 的物品, 假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 N(a,0.22)\displaystyle N(a, 0.2^2) .若以 Xˉn\displaystyle \bar{X}_n 表示 n 次称量结果的算术平均值, 则为使 P{∣Xˉn−a∣<0.1}≥0.95\displaystyle P\{|\bar{X}_n-a|<0.1\} \geq 0.95, n 的最小值应不小于自然数

  2. 【2004-3-4 分】 设总体 X 服从正态分布 N(μ1,σ2)\displaystyle N(\mu_1, \sigma^2), 总体 Y 服从正态分布 N(μ2,σ2)\displaystyle N(\mu_2, \sigma^2), X1,X2,⋯ ,Xn1\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_{n_1} 和 Y1,Y2,⋯ ,Yn2\displaystyle Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2} 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本, 则

E[∑i=1n1(Xi−Xˉ)2+∑j=1n2(Yj−Yˉ)2n1+n2−2]=E\left[\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\bar{X})^2+\sum_{j=1}^{n_2}(Y_j-\bar{Y})^2}{n_1+n_2-2}\right]=

  1. 【2006-3-4 分】 设总体X 的概率密度为 f(x)=12e−∣x∣(−∞<x<+∞)\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{2}e^{-|x|}(-\infty<x<+\infty), X1,X2,⋯ ,Xn\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n 为总体 X 的简单随机样本, 其样本方差为 S2\displaystyle S^2, 则 E(S2)=\displaystyle E(S^2)=

  2. 【2009-3-4 分】 设 X1,X2,⋯ ,Xm\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_m 是来自二项分布总体 B(n,p)\displaystyle B(n, p) 的简单随机样本, Xˉ\displaystyle \bar{X} 和 S2\displaystyle S^2 分别为样本均值和样本方差, 记统计量 T=Xˉ−S2\displaystyle T=\bar{X}-S^2, 则 E(T)=\displaystyle E(T)=

  3. 【2010-3-4 分】 设 X1,X2,⋯ ,Xn\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n 是来自总体 N(μ,σ2)(σ>0)\displaystyle N(\mu, \sigma^2)(\sigma>0) 的简单随机样本.记统计量 T=1n∑i=1nXi2\displaystyle T=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2 则 E(T)=\displaystyle E(T)=

  4. 【2011-3-4 分】 设总体 X 服从参数为 λ(λ>0)\displaystyle \lambda(\lambda>0) 的泊松分布, X1,X2,⋯ ,Xn(n≥2)\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geq 2) 为来自该总体的简单随机样本, 则对于统计量 T1=1n∑i=1nXi\displaystyle T_1=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i 和 T2=1n−1∑i=1n−1Xi+1nXn\displaystyle T_2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}X_i+\dfrac{1}{n}X_n 有( )

A. E(T1)>E(T2),D(T1)>D(T2)\displaystyle E(T_1)>E(T_2), D(T_1)>D(T_2) B. E(T1)>E(T2),D(T1)<D(T2)\displaystyle E(T_1)>E(T_2), D(T_1)<D(T_2) C. E(T1)<E(T2),D(T1)>D(T2)\displaystyle E(T_1)<E(T_2), D(T_1)>D(T_2) D. E(T1)<E(T2),D(T1)<D(T2)\displaystyle E(T_1)<E(T_2), D(T_1)<D(T_2)

  1. 【2015-3-4 分】 设总体 X∼B(m,θ),X1,⋯ ,Xn\displaystyle X \sim B(m, \theta), X_1, \cdots, X_n 为来自该总体的简单随机样本, Xˉ\displaystyle \bar{X} 为样本均值, 则 E[∑i=1n(Xi−Xˉ)2]=\displaystyle E\left[\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2\right]=( ) A. (m−1)nθ(1−θ)\displaystyle (m-1)n\theta(1-\theta) B. m(n−1)θ(1−θ)\displaystyle m(n-1)\theta(1-\theta) C. (m−1)(n−1)θ(1−θ)\displaystyle (m-1)(n-1)\theta(1-\theta) D. mnθ(1−θ)\displaystyle mn\theta(1-\theta)

  2. 【2021-3-5 分】 设 (X1,Y1),(X2,Y2),⋯ ,(Xn,Yn)\displaystyle (X_1, Y_1), (X_2, Y_2), \cdots, (X_n, Y_n) 为来自总体 N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)\displaystyle N(\mu_1, \mu_2;\sigma_1^2, \sigma_2^2;\rho) 的简单随机样本, 令 θ=μ1−μ2\displaystyle \theta=\mu_1-\mu_2, Xˉ=1n∑i=1nXi\displaystyle \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i, Yˉ=1n∑i=1nYi\displaystyle \bar{Y}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i, θ^=Xˉ−Yˉ\displaystyle \hat{\theta}=\bar{X}-\bar{Y}, 则( )

A. E(θ^)=θ,D(θ^)=σ12+σ22n\displaystyle E(\hat{\theta})=\theta, D(\hat{\theta})=\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{n} B. E(θ^)=θ,D(θ^)=σ12+σ22−2ρσ1σ2n\displaystyle E(\hat{\theta})=\theta, D(\hat{\theta})=\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}{n} C. E(θ^)≠θ,D(θ^)=σ12+σ22n\displaystyle E(\hat{\theta}) \neq \theta, D(\hat{\theta})=\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{n} D. E(θ^)≠θ,D(θ^)=σ12+σ22−2ρσ1σ2n\displaystyle E(\hat{\theta}) \neq \theta, D(\hat{\theta})=\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}{n}

  1. 【2021-1-5 分】 设 (X1,Y1),(X2,Y2),⋯ ,(Xn,Yn)\displaystyle (X_1, Y_1), (X_2, Y_2), \cdots, (X_n, Y_n) 为来自总体 N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)\displaystyle N(\mu_1, \mu_2;\sigma_1^2, \sigma_2^2;\rho) 的简单随机样本, 令 θ=μ1−μ2\displaystyle \theta=\mu_1-\mu_2, Xˉ=1n∑i=1nXi\displaystyle \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i, Yˉ=1n∑i=1nYi\displaystyle \bar{Y}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i, θ^=Xˉ−Yˉ\displaystyle \hat{\theta}=\bar{X}-\bar{Y}, 则() A. θ^\displaystyle \hat{\theta} 是 θ\displaystyle \theta 的无偏估计, D(θ^)=σ12+σ22n\displaystyle D(\hat{\theta})=\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{n} B. θ^\displaystyle \hat{\theta} 不是 θ\displaystyle \theta 的无偏估计, D(θ^)=σ12+σ22n\displaystyle D(\hat{\theta})=\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{n} C. θ^\displaystyle \hat{\theta} 是 θ\displaystyle \theta 的无偏估计, D(θ^)=σ12+σ22−2ρσ1σ2n\displaystyle D(\hat{\theta})=\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}{n} D. θ^\displaystyle \hat{\theta} 不是 θ\displaystyle \theta 的无偏估计, D(θ^)=σ12+σ22−2ρσ1σ2n\displaystyle D(\hat{\theta})=\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}{n}

  2. 【2025-3-5 分】 设总体 X 的分布函数为 F(x),X1,X2,⋯ ,Xn\displaystyle F(x), X_1, X_2, \cdots, X_n 为来自总体 X 的简单随机样本, 样本的经验分布函数为 Fn(x)\displaystyle F_n(x), 对于给定的 x(0<F(x)<1)\displaystyle x(0<F(x)<1), D(Fn(x))=\displaystyle D(F_n(x))=( ) A. F(x)(1−F(x))\displaystyle F(x)(1-F(x)) B. (F(x))2\displaystyle (F(x))^2 C. 1nF(x)(1−F(x))\displaystyle \dfrac{1}{n}F(x)(1-F(x)) D. 1n(F(x))2\displaystyle \dfrac{1}{n}(F(x))^2

大题​

  1. 【2001-1-7 分】 设总体 X 服从正态分布 N(μ,σ2)(σ>0)\displaystyle N(\mu, \sigma^2)(\sigma>0), 从该总体中抽取简单随机样本 X1,X2,⋯ ,X2n(n≥2)\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_{2n}(n \geq 2), 其样本均值为 Xˉ=12n∑i=12nXi\displaystyle \bar{X}=\dfrac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n}X_i, 求统计量 Y=∑i=1n(Xi+Xn+i−2Xˉ)2\displaystyle Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i+X_{n+i}-2\bar{X})^2 的数学期望 E(Y)\displaystyle E(Y) .