5.4 应用问题

大题

1. 【1994-45-8 分】 假设由自动生产线加工的某种零件的内径 X (毫米) 服从正态分布 $\displaystyle N(\mu, 1)$, 内径小于10 或大于12 的为不合格品, 其余为合格品, 销售每件合格品获利, 销售每件不合格品亏损, 已知销售利润T(单位: 元) 与销售零件的内径 X 有如下关系:

$$T= \begin{cases} -1, & X<10, \\ 20, & 10 \leq X \leq 12, \\ -5, & X>12, \end{cases}$$

问平均内径 $\displaystyle \mu$ 取何值时, 销售一个零件的平均利润最大?

2. 【1996-45-7 分】 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 一周五个工作日, 若无故障, 可获利润10 万元;发生一次故障仍可获利润5 万元;若发生两次故障, 所获利润0 元;若发生三次或三次以上故障就要亏损2 万元.求一周内利润的期望?

3. 【1997-3-6 分】 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光, 电梯于每个整点的第5 分钟、25 分钟和55 分钟从底层起行. 假设一游客在早晨八点的第 X 分钟到达底层候梯处, 且 X 在[0, 60]上均匀分布, 求该游客等候时间的数学期望.

4. 【1997-3-6 分】 两台同样自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5 的指数分布.首先开动其中一台, 当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 $\displaystyle f(t)$ 、数学期望和方差.

5. 【1998-4-8 分】 求某种商品每周的需求量X 是服从区间[10, 30]上均匀分布的随机变量, 而经销商进货数量为区间[10, 30]中的某一整数, 商店每销售一单位商品可获利500 元;若供大于求则削价处理, 每处理1 单位商品亏损100 元;若供不应求, 则可从外部调剂供应, 此时每1 单位商品仅获利300 元, 为使商品所获利润期望值不小于9280 元, 试确定最少进货量.

6. 【1998-3-8 分】 一商店经销某种商品, 每周进货的数量X 与顾客对该种商品的需求量 Y 是相互独立的随机变量, 且都服从区间[10, 20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000 元;若需求量超过了进货量, 商店可从其他商店调剂供应, 这时每单位商品获利润为500 元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.

7. 【2008-4-11 分】 设某企业线上产品的合格率为0.96, 不合格品种只有 $\displaystyle \dfrac{3}{4}$ 的产品可进行再加工, 且再加工的合格率为0.8, 其余均为废品.已知每件合格产品可获利80 元, 每件废品亏损20 元, 为保证该企业每天平均利润不低于2 万元, 问该企业每天至少应生产多少件产品.