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5.3 相关系数的特殊性质

小题​

  1. 【2001-34-3 分】 将一枚硬币重复掷 n 次, 以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 的相关系数等于( ). A. −1\displaystyle -1    B. 0\displaystyle 0    C. 12\displaystyle \dfrac{1}{2}    D. 1\displaystyle 1

  2. 【2003-3-4 分】 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为0.9, 若 Z=X−0.4\displaystyle Z=X-0.4, 则 Y 与 Z 的相关系数为

  3. 【2008-134-4 分】 设随机变量 X∼N(0,1)\displaystyle X \sim N(0, 1), Y∼N(1,4)\displaystyle Y \sim N(1, 4), 且相关系数 ρXY=1\displaystyle \rho_{XY}=1, 则( ) A. P{Y=−2X−1}=1\displaystyle P\{Y=-2X-1\}=1 B. P{Y=2X−1}=1\displaystyle P\{Y=2X-1\}=1 C. P{Y=−2X+1}=1\displaystyle P\{Y=-2X+1\}=1 D. P{Y=2X+1}=1\displaystyle P\{Y=2X+1\}=1

  4. 【2012-1-4 分】 将长度为1 m 的木棒随机地截成两段, 则两段长度的相关系数为( ) A. 1\displaystyle 1    B. 12\displaystyle \dfrac{1}{2} C. −12\displaystyle -\dfrac{1}{2}    D. −1\displaystyle -1

  5. 【2025-3-5 分】 设随机变量 X 服从正态分布 N(−1,1)\displaystyle N(-1, 1), Y 服从正态分布 N(1,2)\displaystyle N(1, 2), 若 X 与 X+2Y\displaystyle X+2Y 不相关, 则 X 与 X−Y\displaystyle X-Y 的相关系数为( ) A. 13\displaystyle \dfrac{1}{3}    B. 12\displaystyle \dfrac{1}{2} C. 23\displaystyle \dfrac{2}{3}    D. 34\displaystyle \dfrac{3}{4}

  6. 【2000-1-3 分】 设二维随机变量 (X,Y)\displaystyle (X, Y) 服从二维正态分布, 则随机变量 ξ=X+Y\displaystyle \xi=X+Y 与 η=X−Y\displaystyle \eta=X-Y 不相关的充分必要条件为( ). A. E(X)=E(Y)\displaystyle E(X)=E(Y) B. E(X2)−[E(X)]2=E(Y2)−[E(Y)]2\displaystyle E(X^2)-[E(X)]^2=E(Y^2)-[E(Y)]^2 C. E(X2)=E(Y2)\displaystyle E(X^2)=E(Y^2) D. E(X2)−[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2\displaystyle E(X^2)-[E(X)]^2=E(Y^2)+[E(Y)]^2

  7. 【2003-4-4 分】 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布, 且它们不相关, 则( ). A. X 与 Y 一定独立    B. (X,Y)\displaystyle (X, Y) 服从二维正态分布 C. X 与 Y 未必独立    D. X+Y\displaystyle X+Y 服从一维正态分布

大题​

  1. 【1993-1-6 分】 设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)=12e−∣x∣\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{2}e^{-|x|}, −∞<x<+∞\displaystyle -\infty<x<+\infty (1)求 X 的数学期望 E(X)\displaystyle E(X) 和方差 D(X)\displaystyle D(X); (2)求 X 与 ∣X∣\displaystyle |X| 的协方差;并问 X 与 ∣X∣\displaystyle |X| 是否不相关? (3)问 X 与 ∣X∣\displaystyle |X| 是否相互独立?为什么?

  2. 【2000-34-8 分】 设 A, B 是二随机事件; 随机变量

X={1,若A出现,−1,若A不出现,Y={1,若B出现,−1,若B不出现X= \begin{cases} 1, & \text{若A出现}, \\ -1, & \text{若A不出现}, \end{cases} \quad Y= \begin{cases} 1, & \text{若B出现}, \\ -1, & \text{若B不出现} \end{cases}

试证明随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A, B 相互独立.

  1. 【2003-4-13 分】 对于任意二事件 A 和 B, 0<P(A)<1,0<P(B)<1\displaystyle 0<P(A)<1, 0<P(B)<1,
ρ=P(AB)−P(A)P(B)P(A)P(B)P(Aˉ)P(Bˉ)\rho=\frac{P(AB)-P(A)P(B)}{\sqrt{P(A)P(B)P(\bar{A})P(\bar{B})}}

称为事件 A 和 B 的相关系数. (1) 证明事件 A 和 B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零; (2) 利用随机变量相关系数的基本性质, 证明 ∣ρ∣≤1\displaystyle |\rho| \leq 1 .

  1. 【2019-13-11 分】 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 服从参数为1 的指数分布, Y 的概率分布为 P{Y=−1}=p,P{Y=1}=1−p(0<p<1)\displaystyle P\{Y=-1\}=p, P\{Y=1\}=1-p(0<p<1), 令 Z=XY\displaystyle Z=XY . (1)求 Z 的概率密度; (2)p 为何值时, X 与 Z 不相关? (3) X 与 Z 是否相互独立?