5.1 运用基本概念计算数字特征

小题

1. 【2000-34-3 分】 设随机变量 X 在区间[-1, 2]上服从均匀分布, 随机变量

$$Y= \begin{cases} 1, & X>0, \\ 0, & X=0, \\ -1, & X<0, \end{cases}$$

则方差 $\displaystyle D(Y)=$

2. 【2017-3-4 分】 设随机变量 X 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=-2\}=\dfrac{1}{2}$, $\displaystyle P\{X=1\}=a$, $\displaystyle P\{X=3\}=b$, 若 $\displaystyle EX=0$, 则 $\displaystyle DX=$

3. 【2020-3-4 分】 随机变量 X 的概率分布 $\displaystyle P\{X=k\}=\dfrac{1}{2^k}$, $\displaystyle k=1, 2, 3, \cdots$, Y 表示 X 被3 整除的余数, 则 $\displaystyle E(Y)=$

4. 【1987-1-2 分】 已知连续随机变量 X 的密度为 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2+2x-1}$, 则 X 的数学期望为_____; X 的方差为

5. 【1987-4-4 分】 已知随机变量 Y 的概率密度为

$$f(y)= \begin{cases} \frac{y}{a^2}e^{-\frac{y^2}{2a^2}}, & y \geq 0, \\ 0, & y<0, \end{cases}$$

随机变量 $\displaystyle Z=\dfrac{1}{Y}$ 的数学期望 $\displaystyle EZ$

6. 【1992-1-3 分】 设随机变量 X 服从参数为1 的指数分布, 则数学期望 $\displaystyle E\{X+e^{-2X}\}=$

7. 【1995-5-3 分】 设 X 是一个随机变量, 其概率密度为

$$f(x)= \begin{cases} 1+x, & -1 \leq x \leq 0, \\ 1-x, & 0<x \leq 1, \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

则方差 $\displaystyle D(X)=$

8. 【2009-1-4 分】 设随机变量 X 的分布函数为 $\displaystyle F(x)=0.3\Phi(x)+0.7\Phi\left(\dfrac{x-1}{2}\right)$, 其中 $\displaystyle \Phi(x)$ 是标准正态分布的分布函数, 则 $\displaystyle E(X)=$( ) A. $\displaystyle 0$    B. $\displaystyle 0.3$    C. $\displaystyle 0.7$    D. $\displaystyle 1$

9. 【2002-4-3 分】 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为

$\displaystyle X\backslash Y$	0	1	2
0	0.07	0.18	0.15
1	0.08	0.32	0.20

则 X 和 Y 的相关系数 $\displaystyle \rho=$

10. 【2002-3-3 分】 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为

$\displaystyle X\backslash Y$	-1	0	1
0	0.07	0.18	0.15
1	0.08	0.32	0.20

则 $\displaystyle X^2$ 和 $\displaystyle Y^2$ 的协方差 $\displaystyle Cov(X^2, Y^2)=$

11. 【2024-1-5 分】 设随机变量 X 的概率密度为

$$f(x)= \begin{cases} 2(1-x), & 0<x<1 \\ 0, & \text{else} \end{cases}$$

在 $\displaystyle X=x(0<x<1)$ 的条件下, 随机变量 Y 服从区间 $\displaystyle (x, 1)$ 上的均匀分布, 则 $\displaystyle Cov(X, Y)=$( ) A. $\displaystyle -\dfrac{1}{36}$ B. $\displaystyle -\dfrac{1}{72}$ C. $\displaystyle \dfrac{1}{72}$ D. $\displaystyle \dfrac{1}{36}$

12. 【2016-1-4 分】 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 $\displaystyle A_1$, $\displaystyle A_2$, $\displaystyle A_3$, 且三种结果发生的概率均为 $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ .将试验 E 独立重复做2 次, X 表示2 次试验中结果 $\displaystyle A_1$ 发生的次数, Y 表示2 次试验中结果 $\displaystyle A_2$ 发生的次数, 则 X 与 Y 的相关系数为( ) A. $\displaystyle -\dfrac{1}{2}$    B. $\displaystyle -\dfrac{1}{3}$ C. $\displaystyle \dfrac{1}{3}$    D. $\displaystyle \dfrac{1}{2}$

13. 【2021-13-5 分】 甲乙两个盒子中各装有2 个红球和2 个白球, 先从甲盒中任取一球, 观察颜色后放入乙盒中, 再从乙盒中任取一球.令 X, Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数, 则 X 与 Y 的相关系数为

14. 【2019-13-4 分】 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 且都服从正态分布 $\displaystyle N(\mu, \sigma^2)$, 则 $\displaystyle P\{|X-Y|<1\}$( ) A. 与 $\displaystyle \mu$ 无关, 而与 $\displaystyle \sigma^2$ 有关 B. 与 $\displaystyle \mu$ 有关, 而与 $\displaystyle \sigma^2$ 无关 C. 与 $\displaystyle \mu, \sigma^2$ 都有关 D. 与 $\displaystyle \mu, \sigma^2$ 都无关

15. 【2020-1-4 分】 设随机变量 X 服从区间 $\displaystyle \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上的均匀分布, $\displaystyle Y=\sin X$, 则 $\displaystyle Cov(X, Y)=$

大题

1. 【1987-5-8 分】 已知随机变量 X 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=1\}=0.2$, $\displaystyle P\{X=2\}=0.3$, $\displaystyle P\{X=3\}=0.5$ .试写出 X 的分布函数 $\displaystyle F(x)$, 并求 X 的数学期望与方差.

2. 【1988-5-7 分】 假设有十只同种电器元件, 其中有两只废品, 装配仪器时从这批元件中任取一只, 如是废品, 则扔掉重新任取一只; 若仍是废品, 则扔掉再取一只.试求在取到正品之前, 已取出的废品只数的分布, 数学期望和方差.

3. 【1991-5-7 分】 一汽车沿一街道行驶, 需要经过三个均设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等, 以 X 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数. (1)求 X 的概率分布; (2) 求 $\displaystyle E\left(\dfrac{1}{1+X}\right)$.

4. 【1996-1-6 分】 设 $\displaystyle \xi$ 和 $\displaystyle \eta$ 是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量, 已知$\displaystyle \xi$ 的分布为 $\displaystyle P\{\xi=i\}=\dfrac{1}{3}, i=1, 2, 3$, 又设 $\displaystyle X=\max\{\xi, \eta\}$, $\displaystyle Y=\min\{\xi, \eta\}$ . (1) 写出二维随机变量的分布律; (2) 求随机变量X 的数学期望 $\displaystyle E(X)$ .

5. 【2000-1-8 分】 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 $\displaystyle p(0<p<1)$, 各产品合格与否相互独立, 当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 X, 求 X 的数学期望 $\displaystyle E(X)$ 和方差 $\displaystyle D(X)$ .

6. 【2003-1-10 分】 已知甲、乙两箱中装有同种产品, 其中甲箱中装有3 件合格品和3 件次品, 乙箱中仅装有3 件合格品.从甲箱中任取3 件产品放入乙箱后, 求: (1) 乙箱中次品件数 X 的数学期望; (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

7. 【2015-13-11 分】 设随机变量 X 的概率密度为

$$f(x)= \begin{cases} 2^{-x}\ln 2, & x>0, \\ 0, & x \leq 0. \end{cases}$$

对 X 进行独立重复地观测, 直到第2 个大于3 的观测值出现时停止, 记 Y 为观测次数.求: (1)Y 的概率分布; (2)E(Y).

8. 【1990-1-6 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 在区域 $\displaystyle D: 0<x<1$, $\displaystyle |y|<x$ 内服从均匀分布, 求关于 X 的边缘概率密度函数及随机变量 $\displaystyle Z=2X+1$ 的方差 $\displaystyle D(Z)$ .

9. 【1993-5-8 分】 设随机变量 X 和 Y 独立, 都在区间[1, 3]上服从均匀分布;引进事件 $\displaystyle A=\{X \leq a\}$, $\displaystyle B=\{Y>a\}$ (1)已知 $\displaystyle P(A \cup B)=\dfrac{7}{9}$, 求常数 a; (2)求 $\displaystyle \dfrac{1}{X}$ 的数学期望.

10. 【1993-4-8 分】 设随机变量 X 和 Y 同分布, X 的概率密度为

$$f(x)= \begin{cases} \frac{3}{8}x^2, & 0<x<2 \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

(1) 已知事件 $\displaystyle A=\{X>a\}$ 和 $\displaystyle B=\{Y>a\}$ 独立, 且 $\displaystyle P(A \cup B)=\dfrac{3}{4}$, 求常数 a; (2)求 $\displaystyle \dfrac{1}{X^2}$ 的数学期望.

11. 【1989-5-8 分】 已知随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为:

(X,Y)	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)	(2,0)	(2,1)
P	0.10	0.15	0.25	0.20	0.15	0.15

求: (1)X 的概率分布; (2) $\displaystyle X+Y$ 的概率分布; (3) $\displaystyle Z=\sin\dfrac{\pi(X+Y)}{2}$ 的数学期望.

12. 【1997-4-8 分】 假设随机变量 Y 服从参数为 $\displaystyle \lambda=1$ 的指数分布, 随机变量

$$X_k= \begin{cases} 0, & Y \leq k, \\ 1, & Y>k, \end{cases} k=1,2$$

(1)求 $\displaystyle X_1$ 和 $\displaystyle X_2$ 的联合概率分布; (2) 求 $\displaystyle E(X_1+X_2)$ .

13. 【1998-4-8 分】 某箱装有100 件产品, 其中一、二、三等品分别为80 件、10 件和10 件, 现在从中随机抽取一件, 记

$$X_i= \begin{cases} 1, & \text{若抽到i等品} \\ 0, & \text{其他} \end{cases} (i=1,2,3)$$

试求: (1) 随机变量 $\displaystyle X_1$ 与 $\displaystyle X_2$ 的联合分布; (2) 随机变量 $\displaystyle X_1$ 与 $\displaystyle X_2$ 的相关系数 $\displaystyle \rho$.

14. 【1999-3-9 分】 假设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 在矩形 $\displaystyle G=\{(x, y)|0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1\}$ 上服从均匀分布.记

$$U= \begin{cases} 0, & X \leq Y \\ 1, & X>Y \end{cases} \quad V= \begin{cases} 0, & X \leq 2Y \\ 1, & X>2Y \end{cases}$$

(1)求 U 和 V 的联合分布; (2)求 U 和 V 的相关系数 $\displaystyle \rho$ .

15. 【2002-3-8 分】 假设随机变量 U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量

$$X= \begin{cases} -1, & \text{若} U \leq -1 \\ 1, & \text{若} U>-1 \end{cases} \quad Y= \begin{cases} -1, & \text{若} U \leq 1 \\ 1, & \text{若} U>1 \end{cases}$$

试求: (1) X 和 Y 的联合概率分布; (2) $\displaystyle D(X+Y)$ .

16. 【2004-134-9 分】 设 A, B 为两个随机事件, 且 $\displaystyle P(A)=\dfrac{1}{4}$, $\displaystyle P(B|A)=\dfrac{1}{3}$, $\displaystyle P(A|B)=\dfrac{1}{2}$, 令

$$X= \begin{cases} 1, & A \text{发生}, \\ 0, & A \text{不发生} \end{cases} \quad Y= \begin{cases} 1, & B \text{发生}, \\ 0, & B \text{不发生} \end{cases}$$

求: (1) 二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布; (2) X 与 Y 的相关系数 $\displaystyle \rho_{XY}$; (3) $\displaystyle Z=X^2+Y^2$ 的概率分布.

17. 【2007-4-11 分】 设随机变量 X 与 Y 独立同分布, 且 X 的概率分布为

X	1	2
P	2/3	1/3

记 $\displaystyle U=\max\{X, Y\}$, $\displaystyle V=\min\{X, Y\}$ .求: (1) $\displaystyle (U, V)$ 的概率分布; (2)U 与V 的协方差 $\displaystyle Cov(U, V)$ .

18. 【2010-3-11 分】 箱中装有6 个球, 其中红、白、黑球个数分别为1, 2, 3 个, 现从箱中随机地取出2 个球, 记 X 为取出的红球个数, Y 为取出的白球个数. (1) 求随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的分布律; (2)求 $\displaystyle Cov(X, Y)$ .

19. 【2011-13-11 分】 设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为

X	0	1
P	1/3	2/3
Y	-1	0	1
P	1/3	1/3	1/3

且 $\displaystyle P\{X^2=Y^2\}=1$ (1) 求二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布; (2)求 $\displaystyle Z=XY$ 的概率分布; (3)求 X 与 Y 的相关系数 $\displaystyle \rho_{XY}$ .

20. 【2020-3-11 分】 二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 在区域 $\displaystyle D=\{(x, y)|0<y<\sqrt{1-x^2}\}$ 上服从均匀分布, 令

$$Z_1= \begin{cases} 1, & X-Y>0 \\ 0, & X-Y \leq 0 \end{cases} , \quad Z_2= \begin{cases} 1, & X+Y>0 \\ 0, & X+Y \leq 0 \end{cases}$$

求: (1) $\displaystyle (Z_1, Z_2)$ 概率分布; (2)求 $\displaystyle Z_1$, $\displaystyle Z_2$ 相关系数.

21. 【1989-4-7 分】 已知随机变量 X 与 Y 的联合概率密度为

$$f(x,y)= \begin{cases} e^{-(x+y)}, & 0<x<+\infty, 0<y<+\infty, \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

试求: (1) $\displaystyle P\{X<Y\}$; (2) $\displaystyle E(XY)$.

22. 【1991-4-6 分】 假设随机变量 X 和 Y 在圆域 $\displaystyle x^2+y^2 \leq r^2$ 上服从二维均匀分布: (1)求 X 和 Y 的相关系数 $\displaystyle \rho$; (2)问 X 和 Y 是否独立?

23. 【1998-1-6 分】 设两个随机变量 X, Y 相互独立, 且都服从均值为0、方差为 $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ 的正态分布, 求随机变量 $\displaystyle |X-Y|$ 的方差.

24. 【2000-4-8 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的密度函数为 $\displaystyle f(x, y)=\dfrac{1}{2}[\varphi_1(x, y)+\varphi_2(x, y)]$, 其中 $\displaystyle \varphi_1(x, y)$ 和 $\displaystyle \varphi_2(x, y)$ 都是二维正态密度函数, 且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ 和 $\displaystyle -\dfrac{1}{3}$, 它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零, 方差都是1. (1) 求随机变量 X 和 Y 的密度函数 $\displaystyle f_1(x)$ 和 $\displaystyle f_2(y)$ 及 X 和 Y 的相关系数 $\displaystyle \rho$(可以直接利用二维正态密度的性质); (2) 问 X 和 Y 是否独立?为什么?

25. 【2001-4-8 分】 设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点(0, 1), (1, 0), (1, 1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 试求随机变量 $\displaystyle U=X+Y$ 的方差.

26. 【2006-3-13 分】 设随机变量 X 的概率密度为

$$f_X(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}, & -1<x<0 \\ \frac{1}{4}, & 0 \leq x<2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

令 $\displaystyle Y=X^2$, $\displaystyle F(x, y)$ 为二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的分布函数.求 (1) Y 的概率密度 $\displaystyle f_Y(y)$; (2) $\displaystyle Cov(X, Y)$; (3) $\displaystyle F\left(-\dfrac{1}{2}, 4\right)$.