3.4 独立性

小题

1. 【1990-4-5 分】 一电子仪器由两个部件构成, 以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位: 千小时), 已知 X 和 Y 的联合分布函数为:

$$F(x,y)= \begin{cases} 1-e^{-0.5x}-e^{-0.5y}+e^{-0.5(x+y)}, & x \geq 0, y \geq 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

(1)问 X 和 Y 是否独立? (2) 求两个部件的寿命都超过100 小时的概率 $\displaystyle \alpha$.

2. 【1990-4-3 分】 设随机变量 X 和 Y 相互独立, 其概率分布为

X	-1	1
P	1/2	1/2
Y	-1	1
P	1/2	1/2

则下列式子正确的是( ). A. $\displaystyle X=Y$    B. $\displaystyle P\{X=Y\}=0$ C. $\displaystyle P\{X=Y\}=\dfrac{1}{2}$    D. $\displaystyle P\{X=Y\}=1$

3. 【1997-3-3 分】 设随机变量 X 和 Y 相互独立且同分布: $\displaystyle P\{X=-1\}=P\{Y=-1\}=\dfrac{1}{2}$, $\displaystyle P\{X=1\}=P\{Y=1\}=\dfrac{1}{2}$, 则下列各式成立的是( ). A. $\displaystyle P\{X=Y\}=\dfrac{1}{2}$ B. $\displaystyle P\{X=Y\}=1$ C. $\displaystyle P\{X+Y=0\}=\dfrac{1}{4}$ D. $\displaystyle P\{XY=1\}=\dfrac{1}{4}$

4. 【2006-13-4 分】 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 且均服从区间[0, 3]上的均匀分布, 则 $\displaystyle P\{\max\{X, Y\} \leq 1\}=$

5. 【2012-1-4 分】 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 且分别服从参数为1 与参数为4 的指数分布, 则 $\displaystyle P\{X<Y\}=$( ) A. $\displaystyle \dfrac{1}{5}$    B. $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ C. $\displaystyle \dfrac{2}{3}$    D. $\displaystyle \dfrac{4}{5}$

6. 【2013-3-4 分】 设随机变量 X 和 Y 相互独立, 则 X 和 Y 的概率分布分别为

X	0	1	2
P	1/4	1/8	1/8
Y	-1	0	1
---	----	---	---
P	1/3	1/3	1/3

则 $\displaystyle P\{X+Y=2\}=$( ) A. $\displaystyle \dfrac{1}{12}$    B. $\displaystyle \dfrac{1}{8}$ C. $\displaystyle \dfrac{1}{6}$    D. $\displaystyle \dfrac{1}{2}$

7. 【2023-1-5 分】 设随机变量 X, Y 相互独立, 且 $\displaystyle X \sim B(1, \dfrac{1}{3})$, $\displaystyle Y \sim B(2, \dfrac{1}{2})$, 则 $\displaystyle P(X=Y)=$

8. 【2024-13-5 分】 设随机变量 X, Y 相互独立, 且均服从参数为 $\displaystyle \lambda$ 的指数分布, 令 $\displaystyle Z=|X-Y|$, 则下列随机变量与 Z 同分布的是( ) A. $\displaystyle X+Y$    B. $\displaystyle \dfrac{X+Y}{2}$    C. $\displaystyle 2X$    D. $\displaystyle X$

大题

1. 【1999-4-8 分】 已知随机变量 $\displaystyle X_1$ 和 $\displaystyle X_2$ 的概率分布

$$X_1 \sim \begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{pmatrix}, \quad X_2 \sim \begin{pmatrix}0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix},$$

而且 $\displaystyle P\{X_1X_2=0\}=1$ . (1)求 $\displaystyle X_1$ 和 $\displaystyle X_2$ 的联合分布; (2)问 $\displaystyle X_1$ 和 $\displaystyle X_2$ 是否独立?为什么?

2. 【1999-1-8 分】 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 下表列出了二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.

	$\displaystyle y_1$	$\displaystyle y_2$	$\displaystyle y_3$	$\displaystyle P\{X=x_i\}=p_i$
$\displaystyle x_1$		1/8
$\displaystyle x_2$	1/8
$\displaystyle P\{Y=y_j\}=p_j$	1/6