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3.1 联合分布的计算

大题​

  1. 【1990-5-6 分】 甲乙两人独立地各进行两次射击, 假设甲的命中率为0.2, 乙的命中率为0.5, 以 X 和 Y 分别表示甲和乙的命中次数, 试求 X 和 Y 联合概率分布.

  2. 【2009-13-11 分】 袋中有1 个红球、2 个黑球与3 个白球.现有放回地从袋中取两次, 每次取一个球, 以 X, Y, Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. (1)求 P{X=1∣Z=0}\displaystyle P\{X=1|Z=0\}; (2) 求二维随机变量 (X,Y)\displaystyle (X, Y) 的概率分布.

  3. 【2014-3-11 分】 设随机变量 X, Y 的概率分布相同, X 的概率分布为 P{X=0}=13\displaystyle P\{X=0\}=\dfrac{1}{3}, P{X=1}=23\displaystyle P\{X=1\}=\dfrac{2}{3}, 且 X, Y 的相关系数 ρXY=12\displaystyle \rho_{XY}=\dfrac{1}{2} . (1)求 (X,Y)\displaystyle (X, Y) 的概率分布; (2)求 P{X+Y≤1}\displaystyle P\{X+Y \leq 1\}.

  4. 【1995-4-8 分】 已知随机变量 X 和 Y 的联合概率密度函数为

φ(x,y)={4xy,0≤x≤1,0≤y≤1,0,其他,\varphi(x,y)= \begin{cases} 4xy, & 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}

求 X 和 Y 的联合分布函数 F(x,y)\displaystyle F(x, y) .

  1. 【2020-1-11 分】 设随机变量 X1\displaystyle X_1, X2\displaystyle X_2, X3\displaystyle X_3 相互独立, X1\displaystyle X_1 和 X2\displaystyle X_2 均服从标准正态分布, X3\displaystyle X_3 的概率分布为 P{X3=0}=P{X3=1}=12\displaystyle P\{X_3=0\}=P\{X_3=1\}=\dfrac{1}{2}, Y=X3X1+(1−X3)X2\displaystyle Y=X_3X_1+(1-X_3)X_2 . (1) 求二维随机变量 (X1,Y)\displaystyle (X_1, Y) 的分布函数, 结果用标准正态分布函数 Φ(x)\displaystyle \Phi(x) 表示; (2) 证明随机变量 Y 服从标准正态分布.