2.2 分布的性质

小题

1. 【1998-34-3 分】 设 $\displaystyle F_1(x)$ 与 $\displaystyle F_2(x)$ 分别为随机变量 $\displaystyle X_1$ 与 $\displaystyle X_2$ 的分布函数, 为使 $\displaystyle F(x)=aF_1(x)-bF_2(x)$ 是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取( ). A. $\displaystyle a=\dfrac{3}{5}, b=-\dfrac{2}{5}$ B. $\displaystyle a=\dfrac{2}{3}, b=\dfrac{2}{3}$ C. $\displaystyle a=-\dfrac{1}{2}, b=\dfrac{3}{2}$ D. $\displaystyle a=\dfrac{1}{2}, b=-\dfrac{3}{2}$

2. 【2002-14-3 分】 设 $\displaystyle X_1$ 和 $\displaystyle X_2$ 是任意两个相互独立的连续型随机变量, 它们的概率密度分别为 $\displaystyle f_1(x)$ 和 $\displaystyle f_2(x)$, 分布函数分别为 $\displaystyle F_1(x)$ 和 $\displaystyle F_2(x)$, 则以上命题中正确的是( ). A. $\displaystyle f_1(x)+f_2(x)$ 必为某一随机变量的概率密度 B. $\displaystyle f_1(x)f_2(x)$ 必为某一随机变量的概率密度 C. $\displaystyle F_1(x)+F_2(x)$ 必为某一随机变量的分布函数 D. $\displaystyle F_1(x)F_2(x)$ 必为某一随机变量的分布函数

3. 【2005-3-4 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布为

$\displaystyle X\backslash Y$	0	1
0	0.4	a
1	b	0.1

若随机事件 $\displaystyle \{X=0\}$ 与 $\displaystyle \{X+Y=1\}$ 相互独立, 则 $\displaystyle a=$, $\displaystyle b=$

4. 【2005-14-4 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布为

$\displaystyle X\backslash Y$	0	1
0	0.4	a
1	b	0.1

已知随机事件 $\displaystyle \{X=0\}$ 与 $\displaystyle \{X+Y=1\}$ 相互独立, 则( ) A. $\displaystyle a=0.2, b=0.3$    B. $\displaystyle a=0.4, b=0.1$ C. $\displaystyle a=0.3, b=0.2$    D. $\displaystyle a=0.1, b=0.4$

5. 【2010-13-4 分】 设 $\displaystyle f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度, $\displaystyle f_2(x)$ 为[-1, 3]上的均匀分布的概率密度, 若 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}af_1(x), & x \leq 0 \\ bf_2(x), & x>0\end{cases}(a>0, b>0)$ 为概率密度, 则 $\displaystyle a, b$ 应满足( ) A. $\displaystyle 2a+3b=4$    B. $\displaystyle 3a+2b=4$ C. $\displaystyle a+b=1$    D. $\displaystyle a+b=2$

6. 【2011-13-4 分】 设 $\displaystyle F_1(x)$ 与 $\displaystyle F_2(x)$ 为两个分布函数, 其相应的概率密度 $\displaystyle f_1(x)$ 与 $\displaystyle f_2(x)$ 是连续函数, 则必为概率密度的是( ) A. $\displaystyle f_1(x)f_2(x)$ B. $\displaystyle 2f_2(x)F_1(x)$ C. $\displaystyle f_1(x)F_2(x)$ D. $\displaystyle f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x)$

7. 【1989-45-3 分】 设随机变量 X 的分布函数为

$$F(x)= \begin{cases} 0, & x<0 \\ A\sin x, & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 1, & x>\frac{\pi}{2} \end{cases}$$

则 $\displaystyle A=$ ; $\displaystyle P\{|X|<\dfrac{\pi}{6}\}=$ .

8. 【1999-3-3 分】 设随机变量 $\displaystyle X_i \sim \begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 \\ \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4}\end{pmatrix}(i=1, 2)$, 且满足 $\displaystyle P\{X_1X_2=0\}=1$, 则 $\displaystyle P\{X_1=X_2\}$ 等于( ). A. $\displaystyle 0$    B. $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ C. $\displaystyle \dfrac{1}{2}$    D. $\displaystyle 1$

9. 【2000-3-3 分】 设随机变量 X 的概率分布为

$$f(x)= \begin{cases} \frac{1}{3}, & x \in [0,1] \\ \frac{2}{9}, & x \in [3,6] \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

若 k 使得 $\displaystyle P\{X \geq k\}=\dfrac{2}{3}$, 则 k 的取值范围是

10. 【2010-13-4 分】 设随机变量 X 的分布函数

$$F(x)= \begin{cases} 0, & x<0 \\ \frac{1}{2}, & 0 \leq x<1 \\ 1-e^{-x}, & x \geq 1 \end{cases}$$

则 $\displaystyle P\{X=1\}=$( ) A. $\displaystyle 0$    B. $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ C. $\displaystyle \dfrac{1}{2}-e^{-1}$    D. $\displaystyle 1-e^{-1}$

11. 【2013-1-4 分】 设随机变量 Y 服从参数为1 的指数分布, a 为常数且大于零, 则 $\displaystyle P\{Y \leq a+1|Y>a\}=$

12. 【2019-13-4 分】 设随机变量 X 的概率密度为

$$f(x)= \begin{cases} \frac{x}{2}, & 0<x<2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

$\displaystyle F(x)$ 为 X 的分布函数, $\displaystyle EX$ 为 X 的数学期望, 则 $\displaystyle P\{F(X)>EX-1\}=$

13. 【1987-45-2 分】 判断正误: 连续型随机变量取任意给定实数值的概率为0.()

14. 【1999-4-3 分】 假设随机变量 X 服从指数分布, 则随机变量 $\displaystyle Y=\min\{X, 2\}$ 的分布函数( ). A. 是连续函数    B. 至少有两个间断点    C. 是阶梯函数    D. 恰好有一个间断点

15. 【2009-13-4 分】 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 且 X 服从标准正态分布 $\displaystyle N(0, 1)$, Y 的概率分布为 $\displaystyle P\{Y=0\}=P\{Y=1\}=\dfrac{1}{2}$, 记 $\displaystyle F_Z(z)$ 为随机变量 $\displaystyle Z=XY$ 的分布函数, 则函数 $\displaystyle F_Z(z)$ 的间断点个数为( ) A. $\displaystyle 0$    B. $\displaystyle 1$    C. $\displaystyle 2$    D. $\displaystyle 3$

大题

1. 【1989-5-8 分】 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件, 其寿命(单位: 小时) 都服从同一指数分布, 分布密度为

$$f(x)= \begin{cases} \frac{1}{600}e^{-\frac{x}{600}}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$$

试求: 在仪器使用的最初200 小时内, 至少有一只电子元件损坏的概率 $\displaystyle \alpha$.