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1.4 概率的性质与公式

小题​

  1. 【1987-4-2 分】 若两事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)=0\displaystyle P(AB)=0, 则( ) A. A 和 B 互不相容(互斥)    B. AB\displaystyle AB 是不可能事件 C. AB\displaystyle AB 未必是不可能事件    D. P(A)=0\displaystyle P(A)=0 或 P(B)=0\displaystyle P(B)=0

  2. 【1992-45-3 分】 设当事件 A 与 B 同时发生时, 事件 C 必发生, 则( ) A. P(C)≤P(A)+P(B)−1\displaystyle P(C) \leq P(A)+P(B)-1 B. P(C)≥P(A)+P(B)−1\displaystyle P(C) \geq P(A)+P(B)-1 C. P(C)=P(AB)\displaystyle P(C)=P(AB) D. P(C)=P(A∪B)\displaystyle P(C)=P(A \cup B)

  3. 【2015-13-4 分】 A, B 为任意两个事件, 则( ) A. P(AB)≤P(A)P(B)\displaystyle P(AB) \leq P(A)P(B) B. P(AB)≥P(A)P(B)\displaystyle P(AB) \geq P(A)P(B) C. P(AB)≤P(A)+P(B)2\displaystyle P(AB) \leq \dfrac{P(A)+P(B)}{2} D. P(AB)≥P(A)+P(B)2\displaystyle P(AB) \geq \dfrac{P(A)+P(B)}{2}

  4. 【1987-1-2 分】 三个箱子, 第一个箱子有4 个黑球1 个白球, 第二个箱子中有3 个白球3 个黑球, 第三个箱子中有3 个黑球5 个白球, 现随机取一个箱子, 再从这个箱子中取一个球, 这个球为白球的概率为_____;已知取出的是白球, 此球属于第二箱的概率为

  5. 【1987-5-2 分】 对于任意两事件 A 和 B 有 P(A−B)=\displaystyle P(A-B)=( ). A. P(A)−P(B)\displaystyle P(A)-P(B) B. P(A)−P(B)+P(AB)\displaystyle P(A)-P(B)+P(AB) C. P(A)−P(AB)\displaystyle P(A)-P(AB) D. P(A)−P(Bˉ)−P(ABˉ)\displaystyle P(A)-P(\bar{B})-P(A\bar{B})

  6. 【1988-45-2 分】 假设 P(A)=0.4\displaystyle P(A)=0.4, P(A∪B)=0.7\displaystyle P(A \cup B)=0.7, 那么 (1)若 A 与 B 互不相容, 则 P(B)=\displaystyle P(B)= (2)若 A 与 B 相互独立, 则 P(B)=\displaystyle P(B)=

  7. 【1989-1-2 分】 已知随机事件 A 的概率 P(A)=0.5\displaystyle P(A)=0.5, 随机事件 B 的概率 P(B)=0.6\displaystyle P(B)=0.6 及条件概率 P(B∣A)=0.8\displaystyle P(B|A)=0.8, 则和事件 A∪B\displaystyle A \cup B 的概率 P(A∪B)=\displaystyle P(A \cup B)=

  8. 【1990-1-2 分】 设随机事件 A, B 及其和事件 A∪B\displaystyle A \cup B 的概率分别为0.4, 0.3 和0.6, 若 Bˉ\displaystyle \bar{B} 表示 B 的对立事件, 那么积事件 ABˉ\displaystyle A\bar{B} 的概率 P(ABˉ)=\displaystyle P(A\bar{B})=

  9. 【1990-4-3 分】 设 A, B 为两个随机事件, 且 B⊂A\displaystyle B \subset A, 则下列式子正确的是( ) A. P(A+B)=P(A)\displaystyle P(A+B)=P(A)    B. P(AB)=P(A)\displaystyle P(AB)=P(A) C. P(B∣A)=P(B)\displaystyle P(B|A)=P(B)    D. P(B−A)=P(B)−P(A)\displaystyle P(B-A)=P(B)-P(A)

  10. 【1991-5-3 分】 设 A, B 为随机事件, P(A)=0.7\displaystyle P(A)=0.7, P(A−B)=0.3\displaystyle P(A-B)=0.3, 则 P(AB‾)=\displaystyle P(\overline{AB})=

  11. 【1992-1-3 分】 已知 P(A)=P(B)=P(C)=14\displaystyle P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{4}, P(AB)=0\displaystyle P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=16\displaystyle P(AC)=P(BC)=\dfrac{1}{6}, 则事件 A, B, C 全不发生的概率为

  12. 【1992-5-3 分】 设对于事件 A, B, C, 有 P(A)=P(B)=P(C)=14\displaystyle P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{4}, P(AB)=P(BC)=0\displaystyle P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=18\displaystyle P(AC)=\dfrac{1}{8}, 则 A, B, C 三个事件中至少出现一个的概率为

  13. 【1994-1-3 分】 已知 P(AB)=P(AˉBˉ)\displaystyle P(AB)=P(\bar{A}\bar{B}), P(A)=p\displaystyle P(A)=p, 则 P(B)=\displaystyle P(B)=

  14. 【1995-1-3 分】 设 X 和 Y 为两个随机变量, 且 P{X≥0,Y≥0}=37\displaystyle P\{X \geq 0, Y \geq 0\}=\dfrac{3}{7}, P{X≥0}=P{Y≥0}=47\displaystyle P\{X \geq 0\}=P\{Y \geq 0\}=\dfrac{4}{7}, 则 P{max⁡(X,Y)≥0}=\displaystyle P\{\max(X, Y) \geq 0\}=

  15. 【1996-1-3 分】 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为1% 和2%, 现从由 A 和 B 的产品分别占60% 和40% 的一批产品中随机抽取一件, 发现是次品, 则该次品是 A 厂生产的概率是

  16. 【1996-5-3 分】 一实习生用同一台机器接连独立地制造3 个同种零件, 第i 个零件是不合格品的概率 pi=1i+1(i=1,2,3)\displaystyle p_i=\dfrac{1}{i+1}(i=1, 2, 3), 以X 表示3 个零件中合格品的个数, 则 P{X=2}=\displaystyle P\{X=2\}=

  17. 【1997-1-3 分】 袋中有50 个乒乓球, 其中20 个是黄球, 30 个是白球. 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回, 则第二个人取得黄球的概率是

  18. 【1999-1-3 分】 设两两相互独立的三事件 A, B 和 C 满足条件: ABC=∅\displaystyle ABC=\varnothing, P(A)=P(B)=P(C)<12\displaystyle P(A)=P(B)=P(C)<\dfrac{1}{2}, 且已知 P(A∪B∪C)=916\displaystyle P(A \cup B \cup C)=\dfrac{9}{16}, 则 P(A)=\displaystyle P(A)=

  19. 【2000-1-3 分】 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 19\displaystyle \dfrac{1}{9}, A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等, 则 P(A)=\displaystyle P(A)=

  20. 【2005-134-4 分】 从数1, 2, 3, 4 中任取一个数, 记为 X, 再从 1,⋯ ,X\displaystyle 1, \cdots, X 中任取一个数, 记为 Y, 则 P{Y=2}=\displaystyle P\{Y=2\}=

  21. 【2006-14-4 分】 设 A, B 为随机事件, 且 P(B)>0\displaystyle P(B)>0, P(A∣B)=1\displaystyle P(A|B)=1, 则必有( ) A. P(A∪B)>P(A)\displaystyle P(A \cup B)>P(A) B. P(A∪B)>P(B)\displaystyle P(A \cup B)>P(B) C. P(A∪B)=P(A)\displaystyle P(A \cup B)=P(A) D. P(A∪B)=P(B)\displaystyle P(A \cup B)=P(B)

  22. 【2014-13-4 分】 设随机事件 A, B 相互独立, 且 P(B)=0.5\displaystyle P(B)=0.5, P(A−B)=0.3\displaystyle P(A-B)=0.3 则 P(B−A)=\displaystyle P(B-A)=( ) A. 0.1\displaystyle 0.1    B. 0.2\displaystyle 0.2    C. 0.3\displaystyle 0.3    D. 0.4\displaystyle 0.4

  23. 【2018-3-4 分】 随机事件 A, B, C 相互独立, 且 P(A)=P(B)=P(C)=12\displaystyle P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{2}, 则 P(AC∣A∪B)=\displaystyle P(AC|A \cup B)=

  24. 【2018-1-4 分】 设随机事件 A 与 B 相互独立, A 与 C 相互独立, BC=∅\displaystyle BC=\varnothing, 若 P(A)=P(B)=12\displaystyle P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2}, P(AC∣AB∪C)=14\displaystyle P(AC|AB \cup C)=\dfrac{1}{4}, 则 P(C)=\displaystyle P(C)=

  25. 【2019-13-4 分】 设 A, B 为随机事件, 则 P(A)=P(B)\displaystyle P(A)=P(B) 的充分必要条件是( ) A. P(A∪B)=P(A)+P(B)\displaystyle P(A \cup B)=P(A)+P(B) B. P(AB)=P(A)P(B)\displaystyle P(AB)=P(A)P(B) C. P(ABˉ)=P(BAˉ)\displaystyle P(A\bar{B})=P(B\bar{A}) D. P(AB)=P(AB‾)\displaystyle P(AB)=P(\overline{AB})

  26. 【2020-13-4 分】 设 A, B, C 为三个随机事件且 P(A)=P(B)=P(C)=14\displaystyle P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{4}, P(AC)=P(BC)=112\displaystyle P(AC)=P(BC)=\dfrac{1}{12}, P(AB)=0\displaystyle P(AB)=0, 则 A, B, C 中恰有一个事件发生的概率为( ). A. 34\displaystyle \dfrac{3}{4}    B. 23\displaystyle \dfrac{2}{3} C. 12\displaystyle \dfrac{1}{2}    D. 512\displaystyle \dfrac{5}{12}

  27. 【2022-13-5 分】 设 A, B, C 为三个随机事件, A 与 B 互不相容, A 与 C 互不相容, B 与 C 相互独立, 且 P(A)=P(B)=P(C)=13\displaystyle P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3} 则 P(B∪C∣A∪B∪C)=\displaystyle P(B \cup C|A \cup B \cup C)=

  28. 【2024-13-5 分】 设随机试验每次成功的概率为 p, 现进行三次独立重复试验, 在至少成功一次的条件下, 三次试验全部成功的概率为 413\displaystyle \dfrac{4}{13}, 则 p=\displaystyle p=

  29. 【2025-3-5 分】 设 A, B, C 为三个随机事件, 且 A 与 B 相互独立, B 与 C 相互独立, A 与 C 互不相容, 已知 P(A)=P(C)=14\displaystyle P(A)=P(C)=\dfrac{1}{4}, P(B)=12\displaystyle P(B)=\dfrac{1}{2}, 则在事件 A, B, C 至少有一个发生的情况下, A, B, C 中恰有一个发生的概率为

  30. 【2025-1-5 分】 设 A, B 为两个不同随机事件, 且相互独立, 已知 P(A)=2P(B)\displaystyle P(A)=2P(B), P(A∪B)=58\displaystyle P(A \cup B)=\dfrac{5}{8}, 则 A, B 中至少有一个发生的条件下, A, B 中恰好有一个发生的概率为

大题​

  1. 【1987-45-8 分】 设有两箱同种零件.第一箱内装50 件, 其中10 件一等品;第二箱内装有30 件, 其中18 件一等品. 现从两箱中随机挑出一箱, 然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回), 试求: (1) 先取出的零件是一等品的概率 p; (2) 在先取出的零件是一等品的条件下, 第二次取出的零件仍是一等品的条件概率 q.

  2. 【1988-45-7 分】 玻璃杯成箱出售, 每箱20 只, 假设各箱含0, 1, 2 只残次品的概率是0.8, 0.1 和0.1, 一顾客欲购买一箱玻璃杯, 在购买时, 售货员随意取一箱, 而顾客开箱随机观察4 只, 若无残次品, 则购买下该玻璃杯, 否则退回.试求: (1) 顾客买下该箱的概率 α\displaystyle \alpha; (2) 在顾客买下的一箱中, 确实没有残次品的概率 β\displaystyle \beta.

  3. 【1998-3-8 分】 设有来自三个地区的各10 名、15 名和25 名考生的报名表, 其中女生的报名表分别为3 份、7 份和5 份.随机地取一个地区的报名表, 从中先后抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p; (2) 已知后抽到的一份是男生表, 求先抽到的一份是女生表的概率 q.

  4. 【2000-4-8 分】 设二维随机变量 (X,Y)\displaystyle (X, Y) 的密度函数为 f(x,y)=12[φ1(x,y)+φ2(x,y)]\displaystyle f(x, y)=\dfrac{1}{2}[\varphi_1(x, y)+\varphi_2(x, y)], 其中 φ1(x,y)\displaystyle \varphi_1(x, y) 和 φ2(x,y)\displaystyle \varphi_2(x, y) 都是二维正态密度函数, 且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 13\displaystyle \dfrac{1}{3} 和 −13\displaystyle -\dfrac{1}{3}, 它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零, 方差都是1. (1) 求随机变量 X 和 Y 的密度函数 f1(x)\displaystyle f_1(x) 和 f2(y)\displaystyle f_2(y) 及 X 和 Y 的相关系数 ρ\displaystyle \rho(可以直接利用二维正态密度的性质); (2) 问 X 和 Y 是否独立?为什么?