二、抽象型矩阵特征值与特征向量的计算

小题

1. 【1990-5-5分】 设方阵 $\displaystyle A$ 满足条件 $\displaystyle A^TA=E$，其中 $\displaystyle A^T$ 是 $\displaystyle A$ 的转置矩阵，$\displaystyle E$ 为单位矩阵。试证明方阵 $\displaystyle A$ 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。

2. 【1991-4-3分】 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的一个特征值，则 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^*$ 的特征根之一是

A. $\displaystyle \lambda^{-1}|A|^n$ B. $\displaystyle \lambda^{-1}|A|$ C. $\displaystyle \lambda|A|$ D. $\displaystyle \lambda|A|^n$

3. 【1993-5-3分】 设 $\displaystyle \lambda=2$ 是可逆矩阵 $\displaystyle A$ 的一个特征值，则矩阵 $\displaystyle (\dfrac{1}{3}A^2)^{-1}$ 有一特征值等于

A. $\displaystyle \dfrac{4}{3}$    B. $\displaystyle \dfrac{3}{4}$ C. $\displaystyle \dfrac{1}{2}$    D. $\displaystyle \dfrac{1}{4}$

4. 【1998-1-3分】 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle |A| \neq 0$，$\displaystyle A^*$ 为 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵，$\displaystyle E$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵，若 $\displaystyle A$ 有特征值 $\displaystyle \lambda$，则 $\displaystyle (A^*)^2+E$ 必有特征值

5. 【2002-3-3分】 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle P$ 是 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵。已知 $\displaystyle n$ 维列向量 $\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量，则矩阵 $\displaystyle (P^{-1}AP)^T$ 属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量是

A. $\displaystyle P^{-1}\alpha$    B. $\displaystyle P^T\alpha$ C. $\displaystyle P\alpha$    D. $\displaystyle (P^{-1})^T\alpha$

6. 【2008-1-4分】 设 $\displaystyle A$ 为2阶矩阵，$\displaystyle \alpha_1,\alpha_2$ 为线性无关的2维列向量，$\displaystyle A\alpha_1=0$，$\displaystyle A\alpha_2=2\alpha_1+\alpha_2$，则 $\displaystyle A$ 的非零特征值为

7. 【2009-1-4分】 若3维列向量 $\displaystyle \alpha,\beta$ 满足 $\displaystyle \alpha^T\beta=2$，其中 $\displaystyle \alpha^T$ 是 $\displaystyle \alpha$ 的转置，则矩阵 $\displaystyle \beta\alpha^T$ 的非零特征值为

大题

1. 【1987-2-6分】 设 $\displaystyle \lambda_1,\lambda_2$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A$ 的特征值，$\displaystyle \lambda_1 \neq \lambda_2$，而 $\displaystyle x_1,x_2$ 分别为对应的特征向量，试证明：$\displaystyle x_1+x_2$ 不是 $\displaystyle A$ 的特征向量。

2. 【1989-12-8分】 假设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle A$ 的一个特征值，证明： (1) $\displaystyle \dfrac{1}{\lambda}$ 为 $\displaystyle A^{-1}$ 的特征值； (2) $\displaystyle \dfrac{|A|}{\lambda}$ 为 $\displaystyle A^*$ 的特征值。

3. 【1990-4-6分】 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle \lambda_1$ 和 $\displaystyle \lambda_2$ 是 $\displaystyle A$ 的两个不同的特征值，$\displaystyle x_1,x_2$ 是分别属于 $\displaystyle \lambda_1$ 和 $\displaystyle \lambda_2$ 的特征向量，试证明：$\displaystyle x_1+x_2$ 不是 $\displaystyle A$ 的特征向量。

4. 【1996-5-7分】 设 $\displaystyle A$ 为四阶矩阵，$\displaystyle A$ 满足条件 $\displaystyle |3E+A|=0$，$\displaystyle AA^T=2E$，$\displaystyle |A|<0$，其中 $\displaystyle E$ 是四阶单位矩阵。求方阵 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^*$ 的一个特征值。