一、数值型矩阵特征值与特征向量的计算

小题

1. 【1989-45-5分】 设 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1&2&2\\2&-1&-2\\2&-2&-1\end{pmatrix}$ (1)试求 $\displaystyle A$ 矩阵的特征值 (2)利用(1)的结果，求矩阵 $\displaystyle E+A^{-1}$ 的特征值。其中 $\displaystyle E$ 是三阶单位矩阵。

2. 【1991-5-5分】 已知向量 $\displaystyle \alpha=(1,k,1)^T$ 是矩阵 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$ 的逆矩阵 $\displaystyle A^{-1}$ 的特征向量，求常数 $\displaystyle k$ 的值。

3. 【1992-5-3分】 矩阵 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix}$ 的非零特征值是

4. 【1999-1-3分】 设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 的元素全为1，则 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n$ 个特征值是

5. 【2002-2-3分】 矩阵 $\displaystyle \begin{pmatrix}0&-2&-2\\2&2&-2\\-2&-2&2\end{pmatrix}$ 的非零特征值是

6. 【2017-2-4分】 设矩阵 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&1&-2\\1&2&a\\3&1&-1\end{pmatrix}$ 的一个特征向量为 $\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$，则 $\displaystyle a=$

大题

1. 【1987-45-6分】 求矩阵 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3&-1&2\\0&-1&4\\-1&0&1\end{pmatrix}$ 的实特征值及对应的特征向量。

2. 【1994-45-8分】 设 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&1\\x&1&y\\1&0&0\end{pmatrix}$ 有三个线性无关的特征向量，求 $\displaystyle x$ 和 $\displaystyle y$ 应满足的条件。

3. 【1998-34-9分】 设向量 $\displaystyle \alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T$，$\displaystyle \beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T$ 都是非零向量，且满足条件 $\displaystyle \alpha^T\beta=0$，记 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\alpha\beta^T$，求： (1) $\displaystyle A^2$； (2)矩阵 $\displaystyle A$ 的特征值和特征向量。

4. 【1999-13-9分】 设矩阵 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&-1&c\\5&b&3\\1-c&0&-a\end{pmatrix}$，且 $\displaystyle |A|=-1$，又设 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^*$ 有一个特征值 $\displaystyle \lambda_0$，属于 $\displaystyle \lambda_0$ 的特征向量为 $\displaystyle \alpha=(-1,-1,1)^T$，求 $\displaystyle a,b,c$ 及 $\displaystyle \lambda_0$ 的值。

5. 【2003-4-13分】 设矩阵 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&a\end{pmatrix}$ 可逆，向量 $\displaystyle \alpha=\begin{pmatrix}1\\b\\1\end{pmatrix}$ 是矩阵 $\displaystyle A^*$ 的一个特征向量，$\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle \alpha$ 对应的特征值，其中 $\displaystyle A^*$ 是矩阵 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵。试求 $\displaystyle a,b$ 和 $\displaystyle \lambda$ 的值。