Skip to main content

二、齐次线性方程组的通解

小题​

(一)数值型​

  1. 【1992-12-3分】 要使 ξ1=(102)\displaystyle \xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}，ξ2=(01−1)\displaystyle \xi_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} 都是线性方程组 Ax=0\displaystyle Ax=0 解，只要系数矩阵 A\displaystyle A 为

A. (−2,1,1)\displaystyle (-2,1,1) B. (20−1011)\displaystyle \begin{pmatrix}2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} C. (−10201−1)\displaystyle \begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix} D. (01−14−2−2011)\displaystyle \begin{pmatrix}0 & 1 & -1 \\ 4 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}

(二)抽象型​

  1. 【1993-12-3分】 设 n\displaystyle n 阶矩阵 A\displaystyle A 的各行元素之和均为零，且 A\displaystyle A 的秩为 n−1\displaystyle n-1，则线性方程组 Ax=0\displaystyle Ax=0 的通解为

  2. 【1998-1-5分】 已知线性方程组(Ⅰ)

{a11x1+a12x2+⋯+a1,2nx2n=0a21x1+a22x2+⋯+a2,2nx2n=0⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+an,2nx2n=0\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1,2n}x_{2n}=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2,2n}x_{2n}=0 \\ \cdots\cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{n,2n}x_{2n}=0 \end{cases}

的一个基础解系为 (b11,b12,⋯ ,b1,2n)T,(b21,b22,⋯ ,b2,2n)T,⋯ ,(bn1,bn2,⋯ ,bn,2n)T\displaystyle (b_{11},b_{12},\cdots,b_{1,2n})^T,(b_{21},b_{22},\cdots,b_{2,2n})^T,\cdots,(b_{n1},b_{n2},\cdots,b_{n,2n})^T。 试写出线性方程组(Ⅱ)

{b11y1+b12y2+⋯+b1,2ny2n=0b21y1+b22y2+⋯+b2,2ny2n=0⋯⋯bn1y1+bn2y2+⋯+bn,2ny2n=0\begin{cases} b_{11}y_1+b_{12}y_2+\cdots+b_{1,2n}y_{2n}=0 \\ b_{21}y_1+b_{22}y_2+\cdots+b_{2,2n}y_{2n}=0 \\ \cdots\cdots \\ b_{n1}y_1+b_{n2}y_2+\cdots+b_{n,2n}y_{2n}=0 \end{cases}

的通解，并说明理由。

  1. 【2004-3-4分】 设 n\displaystyle n 阶矩阵 A\displaystyle A 的伴随矩阵 A∗≠O\displaystyle A^* \neq O，若 ξ1,ξ2,ξ3,ξ4\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4 是非齐次线性方程组 Ax=b\displaystyle Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0\displaystyle Ax=0 的基础解系

A. 不存在\displaystyle \text{不存在} B. 仅含一个非零解向量\displaystyle \text{仅含一个非零解向量} C. 含有两个线性无关的解向量\displaystyle \text{含有两个线性无关的解向量} D. 含有三个线性无关的解向量\displaystyle \text{含有三个线性无关的解向量}

  1. 【2011-12-4分】 设 A=[α1,α2,α3,α4]\displaystyle A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4] 是4阶矩阵，A∗\displaystyle A^* 为 A\displaystyle A 的伴随矩阵，若 [1,0,1,0]T\displaystyle [1,0,1,0]^T 是方程组 Ax=0\displaystyle Ax=0 的一个基础解系，则 A∗x=0\displaystyle A^*x=0 的基础解系可为

A. α1,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_3 B. α1,α2\displaystyle \alpha_1,\alpha_2 C. α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 D. α2,α3,α4\displaystyle \alpha_2,\alpha_3,\alpha_4

  1. 【2019-1-4分】 设 A=(α1,α2,α3)\displaystyle A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) 为3阶矩阵，若 α1,α2\displaystyle \alpha_1,\alpha_2 线性无关，且 α3=−α1+2α2\displaystyle \alpha_3=-\alpha_1+2\alpha_2，则线性方程组 Ax=0\displaystyle Ax=0 的通解为

  2. 【2020-23-4分】 设四阶矩阵 A=(aij)\displaystyle A=(a_{ij}) 不可逆，a12\displaystyle a_{12} 的代数余子式 A12≠0\displaystyle A_{12} \neq 0，α1,α2,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 为矩阵 A\displaystyle A 的列向量组，A∗\displaystyle A^* 为 A\displaystyle A 的伴随矩阵，则 A∗x=0\displaystyle A^*x=0 的通解为

A. x=k1α1+k2α2+k3α3, k1,k2,k3 为任意常数\displaystyle x=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3,\ k_1,k_2,k_3 \text{ 为任意常数} B. x=k1α1+k2α2+k3α4, k1,k2,k3 为任意常数\displaystyle x=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_4,\ k_1,k_2,k_3 \text{ 为任意常数} C. x=k1α1+k2α3+k3α4, k1,k2,k3 为任意常数\displaystyle x=k_1\alpha_1+k_2\alpha_3+k_3\alpha_4,\ k_1,k_2,k_3 \text{ 为任意常数} D. x=k1α2+k2α3+k3α4, k1,k2,k3 为任意常数\displaystyle x=k_1\alpha_2+k_2\alpha_3+k_3\alpha_4,\ k_1,k_2,k_3 \text{ 为任意常数}

大题​

(一)数值型​

  1. 【1996-2-6分】 求齐次线性方程组
{x1+x2+x3+x4+x5=0x1+x2−x3+x4=0x3+x4+x5=0\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0 \\ x_1+x_2-x_3+x_4=0 \\ x_3+x_4+x_5=0 \end{cases}

的基础解系。

  1. 【1999-4-9分】 已知线性方程组
{x1+x2+x3=0,ax1+bx2+cx3=0,a2x1+b2x2+c2x3=0.\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0, \\ ax_1+bx_2+cx_3=0, \\ a^2x_1+b^2x_2+c^2x_3=0. \end{cases}

(1) a,b,c\displaystyle a,b,c 满足何种关系时，方程组仅有零解？ (2) a,b,c\displaystyle a,b,c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。

  1. 【2002-3-8分】 设齐次线性方程组
{ax1+bx2+bx3+⋯+bxn=0bx1+ax2+bx3+⋯+bxn=0⋯⋯bx1+bx2+bx3+⋯+axn=0\begin{cases} ax_1+bx_2+bx_3+\cdots+bx_n=0 \\ bx_1+ax_2+bx_3+\cdots+bx_n=0 \\ \cdots\cdots \\ bx_1+bx_2+bx_3+\cdots+ax_n=0 \end{cases}

其中 a≠0,b≠0,n≥2\displaystyle a \neq 0,b \neq 0,n \geq 2。试讨论 a,b\displaystyle a,b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。

  1. 【2003-3-13分】 已知齐次线性方程组
{(a1+b)x1+a2x2+a3x3+⋯+anxn=0,a1x1+(a2+b)x2+a3x3+⋯+anxn=0,a1x1+a2x2+(a3+b)x3+⋯+anxn=0,⋯a1x1+a2x2+a3x3+⋯+(an+b)xn=0,\begin{cases} (a_1+b)x_1+a_2x_2+a_3x_3+\cdots+a_nx_n=0, \\ a_1x_1+(a_2+b)x_2+a_3x_3+\cdots+a_nx_n=0, \\ a_1x_1+a_2x_2+(a_3+b)x_3+\cdots+a_nx_n=0, \\ \cdots \\ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+\cdots+(a_n+b)x_n=0, \end{cases}

其中 ∑i=1nai≠0\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n a_i \neq 0，讨论 a1,a2,a3,⋯ ,an\displaystyle a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n 和 b\displaystyle b 满足何种关系时， (1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。

  1. 【2004-12-9分】 设有齐次线性方程组
{(1+a)x1+x2+x3+x4=0,2x1+(2+a)x2+2x3+2x4=0,3x1+3x2+(3+a)x3+3x4=0,4x1+4x2+4x3+(4+a)x4=0\begin{cases} (1+a)x_1+x_2+x_3+x_4=0, \\ 2x_1+(2+a)x_2+2x_3+2x_4=0, \\ 3x_1+3x_2+(3+a)x_3+3x_4=0, \\ 4x_1+4x_2+4x_3+(4+a)x_4=0 \end{cases}

试问 a\displaystyle a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

(二)抽象型​

  1. 【1994-5-8分】 设 α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 是齐次线性方程组 Ax=0\displaystyle Ax=0 的一个基础解系，证明：α1+α2,α2+α3,α3+α1\displaystyle \alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1 也是该方程组的一个基础解系。

  2. 【2001-1-6分】 设 α1,α2,⋯ ,αs\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s 为线性方程组 Ax=0\displaystyle Ax=0 的一个基础解系， β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,⋯ ,βs=t1αs+t2α1\displaystyle \beta_1=t_1\alpha_1+t_2\alpha_2,\beta_2=t_1\alpha_2+t_2\alpha_3,\cdots,\beta_s=t_1\alpha_s+t_2\alpha_1， 其中 t1,t2\displaystyle t_1,t_2 为实常数。试问 t1,t2\displaystyle t_1,t_2 满足什么关系时，β1,β2,⋯ ,βs\displaystyle \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s 也为 Ax=0\displaystyle Ax=0 的一个基础解系。

  3. 【2001-2-6分】 已知 α1,α2,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 是线性方程组 Ax=0\displaystyle Ax=0 的一个基础解系， 若 β1=α1+tα2,β2=α2+tα3,β3=α3+tα4,β4=α4+tα1\displaystyle \beta_1=\alpha_1+t\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+t\alpha_3,\beta_3=\alpha_3+t\alpha_4,\beta_4=\alpha_4+t\alpha_1， 讨论实数 t\displaystyle t 满足什么关系时 β1,β2,β3,β4\displaystyle \beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4 也是 Ax=0\displaystyle Ax=0 的一个基础解系。

  4. 【2005-12-9分】 已知三阶矩阵 A\displaystyle A 的第一行是 (a,b,c)\displaystyle (a,b,c)，(a,b,c)\displaystyle (a,b,c) 不全为零，矩阵 B=(12324636k)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&k\end{pmatrix}（k\displaystyle k 为常数），且 AB=O\displaystyle AB=O，求线性方程组 Ax=0\displaystyle Ax=0 的通解。