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三、向量空间(数一)

小题​

  1. 【1987-12-3分】 已知三维线性空间的一组基α1=(1,1,0)\displaystyle \alpha_1=(1,1,0)，α2=(1,0,1)\displaystyle \alpha_2=(1,0,1)，α3=(0,1,1)\displaystyle \alpha_3=(0,1,1)，则向量β=(2,0,0)\displaystyle \beta=(2,0,0)在上述基下的坐标是

  2. 【1997-1-5分】 设B是秩为2的5×4矩阵，α1=(1,1,2,3)T\displaystyle \alpha_1=(1,1,2,3)^T，α2=(−1,1,4,−1)T\displaystyle \alpha_2=(-1,1,4,-1)^T，α3=(5,−1,−8,9)T\displaystyle \alpha_3=(5,-1,-8,9)^T是齐次线性方程组Bx=0\displaystyle Bx=0的解向量，求Bx=0\displaystyle Bx=0的解空间的一个标准正交基。

  3. 【2003-1-4分】 从R2\displaystyle R^2的基α1=(10)\displaystyle \alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}，α2=(1−1)\displaystyle \alpha_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}到基β1=(11)\displaystyle \beta_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}，β2=(12)\displaystyle \beta_2=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}的过渡矩阵为

  4. 【2009-1-4分】 设α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3是3维向量空间R3\displaystyle R^3的一组基，则由基α1,12α2,13α3\displaystyle \alpha_1,\dfrac{1}{2}\alpha_2,\dfrac{1}{3}\alpha_3到基α1+α2,α2+α3,α3+α1\displaystyle \alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1的过渡矩阵为（）

A. (101220033)\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&1\\2&2&0\\0&3&3\end{pmatrix} B. (120023103)\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&0\\0&2&3\\1&0&3\end{pmatrix} C. (1214−16−12141612−1416)\displaystyle \begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}&-\dfrac{1}{6}\\-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{6}\\\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{6}\end{pmatrix} D. (12−12121414−14−161616)\displaystyle \begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}&-\dfrac{1}{4}\\-\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}

  1. 【2010-1-4分】 设α1=[1,2,−1,0]T\displaystyle \alpha_1=[1,2,-1,0]^T，α2=[1,1,0,2]T\displaystyle \alpha_2=[1,1,0,2]^T，α3=[2,1,1,a]T\displaystyle \alpha_3=[2,1,1,a]^T，若由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3生成的向量空间的维数为2，则a=\displaystyle a=

大题​

  1. 【1993-2-6分】 已知R3\displaystyle R^3的两个基为α1=(111)\displaystyle \alpha_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}，α2=(10−1)\displaystyle \alpha_2=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}，α3=(101)\displaystyle \alpha_3=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}与β1=(121)\displaystyle \beta_1=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}，β2=(234)\displaystyle \beta_2=\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}，β3=(343)\displaystyle \beta_3=\begin{pmatrix}3\\4\\3\end{pmatrix}。求基α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3到β1,β2,β3\displaystyle \beta_1,\beta_2,\beta_3的过渡矩阵。

  2. 【2015-1-11分】 设向量组α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3为R3\displaystyle R^3的一个基，β1=2α1+2kα3\displaystyle \beta_1=2\alpha_1+2k\alpha_3，β2=2α2\displaystyle \beta_2=2\alpha_2，β3=α1+(k+1)α3\displaystyle \beta_3=\alpha_1+(k+1)\alpha_3。 (1)证明向量组β1,β2,β3\displaystyle \beta_1,\beta_2,\beta_3为R3\displaystyle R^3的一个基； (2)当k\displaystyle k为何值时，存在非零向量ξ\displaystyle \xi在基α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3与基β1,β2,β3\displaystyle \beta_1,\beta_2,\beta_3下的坐标相同，并求所有的ξ\displaystyle \xi。

  3. 【2019-1-11分】 设向量组α1=(1,2,1)T\displaystyle \alpha_1=(1,2,1)^T，α2=(1,3,2)T\displaystyle \alpha_2=(1,3,2)^T，α3=(1,a,3)T\displaystyle \alpha_3=(1,a,3)^T为R3\displaystyle R^3的一个基，β=(1,1,1)T\displaystyle \beta=(1,1,1)^T在这个基下的坐标为(b,c,1)T\displaystyle (b,c,1)^T。 (1)求a,b,c\displaystyle a,b,c； (2)证明α2,α3,β\displaystyle \alpha_2,\alpha_3,\beta为R3\displaystyle R^3的一个基，并求α2,α3,β\displaystyle \alpha_2,\alpha_3,\beta到α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3的过渡矩阵。