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二、线性相关与线性无关的判定与证明

小题​

(一)数值型向量组的线性相关性​

  1. 【1994-5-3分】 设有向量组α1=(1,−1,2,4)\displaystyle \alpha_1=(1,-1,2,4)，α2=(0,3,1,2)\displaystyle \alpha_2=(0,3,1,2)，α3=(3,0,7,14)\displaystyle \alpha_3=(3,0,7,14)，α4=(1,−2,2,4)\displaystyle \alpha_4=(1,-2,2,4)，α5=(2,1,5,10)\displaystyle \alpha_5=(2,1,5,10)，则该向量组的极大线性无关组是（）。

A. α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 B. α1,α2,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_4 C. α1,α2,α5\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_5 D. α1,α2,α3,α5\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_5

  1. 【2002-4-3分】 设向量组α1=(a,0,c)\displaystyle \alpha_1=(a,0,c)，α2=(b,c,0)\displaystyle \alpha_2=(b,c,0)，α3=(0,a,b)\displaystyle \alpha_3=(0,a,b)线性无关。则a,b,c\displaystyle a,b,c必满足的关系式

  2. 【2002-3-3分】 设三阶矩阵A=(12−2212304)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&-2\\2&1&2\\3&0&4\end{pmatrix}，三维列向量α=(a,1,1)T\displaystyle \alpha=(a,1,1)^T，已知Aα\displaystyle A\alpha与α\displaystyle \alpha线性相关。则a=\displaystyle a=

  3. 【2005-34-4分】 设行向量组[2,1,1,1]\displaystyle [2,1,1,1]，[2,1,a,a]\displaystyle [2,1,a,a]，[3,2,1,a]\displaystyle [3,2,1,a]，[4,3,2,1]\displaystyle [4,3,2,1]线性相关，且a≠1\displaystyle a\ne 1，则a=\displaystyle a=

  4. 【2012-123-4分】 设α1=(00c1)\displaystyle \alpha_1=\begin{pmatrix}0\\0\\c_1\end{pmatrix}，α2=(01c2)\displaystyle \alpha_2=\begin{pmatrix}0\\1\\c_2\end{pmatrix}，α3=(1−1c3)\displaystyle \alpha_3=\begin{pmatrix}1\\-1\\c_3\end{pmatrix}，α4=(−11c4)\displaystyle \alpha_4=\begin{pmatrix}-1\\1\\c_4\end{pmatrix}，其中c1,c2,c3,c4\displaystyle c_1,c_2,c_3,c_4为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）

A. α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 B. α1,α2,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_4 C. α1,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_3,\alpha_4 D. α2,α3,α4\displaystyle \alpha_2,\alpha_3,\alpha_4

(二)抽象型向量组的线性相关性​

  1. 【1988-123-3分】 n维向量组α1,α2,⋯ ,αs(3≤s≤n)\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(3\le s\le n)线性无关的充分必要条件是（）。

A. 有一组不全为0的数k1,k2,⋯ ,ks,使k1α1+k2α2+⋯+ksαs≠0\displaystyle \text{有一组不全为} 0 \text{的数} k_1,k_2,\cdots,k_s \text{,使} k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\ne 0 B. α1,α2,⋯ ,αs中任意两个向量都线性无关\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{中任意两个向量都线性无关} C. α1,α2,⋯ ,αs中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出} D. α1,α2,⋯ ,αs中任意一个向量都不能用其余向量线性表出\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{中任意一个向量都不能用其余向量线性表出}

  1. 【1990-45-3分】 向量组α1,α2,⋯ ,αs\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s线性无关的充分条件是（）。

A. α1,α2,⋯ ,αs均不为零向量\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{均不为零向量} B. α1,α2,⋯ ,αs中任意两个向量的分量不成比例\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{中任意两个向量的分量不成比例} C. α1,α2,⋯ ,αs中任意一个向量均不能由其余s−1个向量线性表示\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{中任意一个向量均不能由其余} s-1 \text{个向量线性表示} D. α1,α2,⋯ ,αs中有一部分向量线性无关\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{中有一部分向量线性无关}

  1. 【1992-5-3分】 设α1,α2,⋯ ,αm\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m均为n维向量，那么下列结论正确的是（）。

A. 若k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0,则α1,α2,⋯ ,αm线性相关\displaystyle \text{若} k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0 \text{,则} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m \text{线性相关} B. 若对任意一组不全为零的数k1,k2,⋯ ,km,都有k1α1+k2α2+⋯+kmαm≠0,则α1,α2,⋯ ,αm线性无关\displaystyle \text{若对任意一组不全为零的数} k_1,k_2,\cdots,k_m \text{,都有} k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m\ne 0 \text{,则} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m \text{线性无关} C. 若α1,α2,⋯ ,αm线性相关,则对任意一组不全为零的数k1,k2,⋯ ,km,都有k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0\displaystyle \text{若} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m \text{线性相关,则对任意一组不全为零的数} k_1,k_2,\cdots,k_m \text{,都有} k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0 D. 若0α1+0α2+⋯+0αm=0,则α1,α2,⋯ ,αm线性无关\displaystyle \text{若} 0\alpha_1+0\alpha_2+\cdots+0\alpha_m=0 \text{,则} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m \text{线性无关}

  1. 【1994-12-3分】 已知向量组α1,α2,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4线性无关，则向量组（）。

A. α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1线性无关\displaystyle \alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_4,\alpha_4+\alpha_1 \text{线性无关} B. α1−α2,α2−α3,α3−α4,α4−α1线性无关\displaystyle \alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_4,\alpha_4-\alpha_1 \text{线性无关} C. α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4−α1线性无关\displaystyle \alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_4,\alpha_4-\alpha_1 \text{线性无关} D. α1+α2,α2+α3,α3−α4,α4−α1线性无关\displaystyle \alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_4,\alpha_4-\alpha_1 \text{线性无关}

  1. 【1996-45-3分】 设有任意两个n维向量组α1,⋯ ,αm\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_m和β1,⋯ ,βm\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_m，若存在两组不全为零的数λ1,⋯ ,λm\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_m和k1,⋯ ,km\displaystyle k_1,\cdots,k_m，使(λ1+k1)α1+⋯+(λm+km)αm+(λ1−k1)β1+⋯+(λm−km)βm=0\displaystyle (\lambda_1+k_1)\alpha_1+\cdots+(\lambda_m+k_m)\alpha_m+(\lambda_1-k_1)\beta_1+\cdots+(\lambda_m-k_m)\beta_m=0，则（）。

A. α1,⋯ ,αm和β1,⋯ ,βm都线性相关\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_m \text{和} \beta_1,\cdots,\beta_m \text{都线性相关} B. α1,⋯ ,αm和β1,⋯ ,βm都线性无关\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_m \text{和} \beta_1,\cdots,\beta_m \text{都线性无关} C. α1+β1,⋯ ,αm+βm,α1−β1,⋯ ,αm−βm线性无关\displaystyle \alpha_1+\beta_1,\cdots,\alpha_m+\beta_m,\alpha_1-\beta_1,\cdots,\alpha_m-\beta_m \text{线性无关} D. α1+β1,⋯ ,αm+βm,α1−β1,⋯ ,αm−βm线性相关\displaystyle \alpha_1+\beta_1,\cdots,\alpha_m+\beta_m,\alpha_1-\beta_1,\cdots,\alpha_m-\beta_m \text{线性相关}

  1. 【1997-34-3分】 设向量组α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（）。

A. α1+α2,α2+α3,α3−α1\displaystyle \alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1 B. α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3\displaystyle \alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3 C. α1+2α2,2α2+3α3,3α3+α1\displaystyle \alpha_1+2\alpha_2,2\alpha_2+3\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1 D. α1+α2+α3,2α1−3α2+22α3,3α1+5α2−5α3\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,2\alpha_1-3\alpha_2+22\alpha_3,3\alpha_1+5\alpha_2-5\alpha_3

  1. 【2002-2-3分】 设向量α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关，向量β1\displaystyle \beta_1可由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示，而向量β2\displaystyle \beta_2不能由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示，则对于任意常数k\displaystyle k，必有（）。

A. α1,α2,α3,kβ1+β2线性无关\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,k\beta_1+\beta_2 \text{线性无关} B. α1,α2,α3,kβ1+β2线性相关\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,k\beta_1+\beta_2 \text{线性相关} C. α1,α2,α3,β1+kβ2线性无关\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1+k\beta_2 \text{线性无关} D. α1,α2,α3,β1+kβ2线性相关\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1+k\beta_2 \text{线性相关}

  1. 【2003-3-4分】 设α1,α2,⋯ ,αs\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s均为n维向量(s≥2)\displaystyle (s\ge 2)，下列结论不正确的是（）。

A. 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,⋯ ,ks,都有k1α1+k2α2+⋯+ksαs≠0,则α1,α2,⋯ ,αs线性无关。\displaystyle \text{若对于任意一组不全为零的数} k_1,k_2,\cdots,k_s \text{,都有} k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\ne 0 \text{,则} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{线性无关。} B. 若α1,α2,⋯ ,αs线性相关,则对于一组不全为零的数k1,k2,⋯ ,ks,有k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0\displaystyle \text{若} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{线性相关,则对于一组不全为零的数} k_1,k_2,\cdots,k_s \text{,有} k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0 C. α1,α2,⋯ ,αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为} s D. α1,α2,⋯ ,αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关}

  1. 【2003-12-4分】 设向量组Ⅰ：α1,α2,⋯ ,αr\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r可由向量组Ⅱ：β1,β2,⋯ ,βs\displaystyle \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s线性表示，则（）。

A. 当r<s时,向量组Ⅱ必线性相关\displaystyle \text{当} r<s \text{时,向量组Ⅱ必线性相关} B. 当r>s时,向量组Ⅱ必线性相关\displaystyle \text{当} r>s \text{时,向量组Ⅱ必线性相关} C. 当r<s时,向量组Ⅰ必线性相关\displaystyle \text{当} r<s \text{时,向量组Ⅰ必线性相关} D. 当r>s时,向量组Ⅰ必线性相关\displaystyle \text{当} r>s \text{时,向量组Ⅰ必线性相关}

  1. 【2004-12-4分】 设A，B为满足AB=O\displaystyle AB=O的任意两个非零矩阵，则必有（）。

A. A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关\displaystyle A \text{的列向量组线性相关,} B \text{的行向量组线性相关} B. A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关\displaystyle A \text{的列向量组线性相关,} B \text{的列向量组线性相关} C. A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关\displaystyle A \text{的行向量组线性相关,} B \text{的行向量组线性相关} D. A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关\displaystyle A \text{的行向量组线性相关,} B \text{的列向量组线性相关}

  1. 【2005-123-4分】 设λ1,λ2\displaystyle \lambda_1,\lambda_2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1,α2\displaystyle \alpha_1,\alpha_2，则α1,A(α1+α2)\displaystyle \alpha_1,A(\alpha_1+\alpha_2)线性无关的充分必要条件是（）

A. λ1≠0\displaystyle \lambda_1\ne 0    B. λ2≠0\displaystyle \lambda_2\ne 0 C. λ1=0\displaystyle \lambda_1=0    D. λ2=0\displaystyle \lambda_2=0

  1. 【2006-123-4分】 设α1,α2,⋯ ,αs\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s均为n维列向量，A是m×n\displaystyle m\times n矩阵，下列选项正确的是（）

A. 若α1,α2,⋯ ,αs线性相关,则Aα1,Aα2,⋯ ,Aαs线性相关\displaystyle \text{若} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{线性相关,则} A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s \text{线性相关} B. 若α1,α2,⋯ ,αs线性相关,则Aα1,Aα2,⋯ ,Aαs线性无关\displaystyle \text{若} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{线性相关,则} A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s \text{线性无关} C. 若α1,α2,⋯ ,αs线性无关,则Aα1,Aα2,⋯ ,Aαs线性相关\displaystyle \text{若} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{线性无关,则} A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s \text{线性相关} D. 若α1,α2,⋯ ,αs线性无关,则Aα1,Aα2,⋯ ,Aαs线性无关\displaystyle \text{若} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s \text{线性无关,则} A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s \text{线性无关}

  1. 【2007-1234-4分】 设向量组α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）

A. α1−α2,α2−α3,α3−α1\displaystyle \alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1 B. α1+α2,α2+α3,α3+α1\displaystyle \alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1 C. α1−2α2,α2−2α3,α3−2α1\displaystyle \alpha_1-2\alpha_2,\alpha_2-2\alpha_3,\alpha_3-2\alpha_1 D. α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1\displaystyle \alpha_1+2\alpha_2,\alpha_2+2\alpha_3,\alpha_3+2\alpha_1

  1. 【2010-23-4分】 设向量组Ⅰ：α1,α2,⋯ ,αr\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r可由向量组Ⅱ：β1,β2,⋯ ,βs\displaystyle \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s线性表示，下列命题正确的是（）

A. 若向量组Ⅰ线性无关,则r≤s\displaystyle \text{若向量组Ⅰ线性无关,则} r\le s B. 若向量组Ⅰ线性相关,则r>s\displaystyle \text{若向量组Ⅰ线性相关,则} r>s C. 若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s\displaystyle \text{若向量组Ⅱ线性无关,则} r\le s D. 若向量组Ⅱ线性相关,则r>s\displaystyle \text{若向量组Ⅱ线性相关,则} r>s

  1. 【2014-123-4分】 设α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3均为3维向量，则对任意的常数k,l\displaystyle k,l，向量组α1+kα3,α2+lα3\displaystyle \alpha_1+k\alpha_3,\alpha_2+l\alpha_3线性无关是向量组α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关的（）

A. 必要非充分条件\displaystyle \text{必要非充分条件} B. 充分非必要条件\displaystyle \text{充分非必要条件} C. 充分必要条件\displaystyle \text{充分必要条件} D. 既非充分也非必要条件\displaystyle \text{既非充分也非必要条件}

(三)证明向量组线性无关​

  1. 【1998-1-4分】 设A是n阶矩阵，若存在正整数k\displaystyle k，使线性方程组Akx=0\displaystyle A^kx=0有解向量α\displaystyle \alpha，且Ak−1α≠0\displaystyle A^{k-1}\alpha\ne 0。证明：向量组α,Aα,⋯ ,Ak−1α\displaystyle \alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha是线性无关的。

  2. 【2024-2-5分】 设向量α1=(a1−11)\displaystyle \alpha_1=\begin{pmatrix}a\\1\\-1\\1\end{pmatrix}，α2=(11b0)\displaystyle \alpha_2=\begin{pmatrix}1\\1\\b\\0\end{pmatrix}，α3=(1a−11)\displaystyle \alpha_3=\begin{pmatrix}1\\a\\-1\\1\end{pmatrix}，若α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关，则ab=\displaystyle ab=

  3. 【2024-1-5分】 设α1=(a1−11)\displaystyle \alpha_1=\begin{pmatrix}a\\1\\-1\\1\end{pmatrix}，α2=(11b1)\displaystyle \alpha_2=\begin{pmatrix}1\\1\\b\\1\end{pmatrix}，α3=(1a−11)\displaystyle \alpha_3=\begin{pmatrix}1\\a\\-1\\1\end{pmatrix}，若α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab=\displaystyle ab=（）

A. a=1,b≠−1\displaystyle a=1,b\ne -1    B. a=1,b=−1\displaystyle a=1,b=-1 C. a≠−2,b=2\displaystyle a\ne -2,b=2    D. a=−2,b=2\displaystyle a=-2,b=2

大题​

(一)数值型向量组的线性相关性​

  1. 【1989-45-6分】 设α1=(1,1,1)T\displaystyle \alpha_1=(1,1,1)^T，α2=(1,2,3)T\displaystyle \alpha_2=(1,2,3)^T，α3=(1,3,t)T\displaystyle \alpha_3=(1,3,t)^T， (1)问当t\displaystyle t为何值时，向量组α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关。 (2)问当t\displaystyle t为何值时，向量组α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性相关。 (3)当向量组α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性相关时，将α3\displaystyle \alpha_3表示为α1\displaystyle \alpha_1和α2\displaystyle \alpha_2的线性组合。

  2. 【1999-2-8分】 设向量组α1=(1,1,1,3)T\displaystyle \alpha_1=(1,1,1,3)^T，α2=(−1,−3,5,1)T\displaystyle \alpha_2=(-1,-3,5,1)^T，α3=(3,2,−1,p+2)T\displaystyle \alpha_3=(3,2,-1,p+2)^T，α4=(−2,−6,10,p)T\displaystyle \alpha_4=(-2,-6,10,p)^T。 (1)p\displaystyle p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量α=(4,1,6,10)T\displaystyle \alpha=(4,1,6,10)^T用α1,α2,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4线性表出； (2)p\displaystyle p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组。

(二)抽象型向量组的线性相关性​

  1. 【1988-45-8分】 已知向量组α1,α2,⋯ ,αs(s≥2)\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\ge 2)线性无关，设β1=α1+α2\displaystyle \beta_1=\alpha_1+\alpha_2，β2=α2+α3\displaystyle \beta_2=\alpha_2+\alpha_3，⋯\displaystyle \cdots，βs−1=αs−1+αs\displaystyle \beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+\alpha_s，βs=αs+α1\displaystyle \beta_s=\alpha_s+\alpha_1，讨论向量组β1,β2,⋯ ,βs\displaystyle \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s的线性相关性。

  2. 【1993-5-8分】 设A是m×n\displaystyle m\times n矩阵，B是n×m\displaystyle n\times m矩阵，E是n阶单位矩阵(m>n)\displaystyle (m>n)。已知BA=E\displaystyle BA=E，试判断A的列向量组是否线性相关？为什么？

  3. 【1995-4-9分】 已知向量组(Ⅰ)：α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3；(Ⅱ)：α1,α2,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4；(Ⅲ)：α1,α2,α3,α5\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_5，如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3\displaystyle r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4\displaystyle r(Ⅲ)=4。证明：向量组α1,α2,α3,α5−α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_5-\alpha_4的秩为4。

  4. 【2001-4-8分】 设αi=(ai1,ai2,⋯ ,ain)T(i=1,2,⋯ ,r;r<n)\displaystyle \alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})^T(i=1,2,\cdots,r;r<n)是n维实向量，且α1,α2,⋯ ,αr\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r线性无关，已知β=(b1,b2,⋯ ,bn)T\displaystyle \beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T是线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋯ar1x1+ar2x2+⋯+arnxn=0\displaystyle \begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\\cdots\\a_{r1}x_1+a_{r2}x_2+\cdots+a_{rn}x_n=0\end{cases}的非零解向量。试判断向量组α1,α2,⋯ ,αr,β\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,\beta的线性相关性。

(三)证明向量组线性无关​

  1. 【1991-4-6分】 试证明n维列向量组α1,α2,⋯ ,αn\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n线性无关的充分必要条件是D=∣α1Tα1α1Tα2⋯α1Tαnα1Tα2α2Tα2⋯α2Tαn⋮⋮⋮αnTα1αnTα2⋯αnTαn∣≠0\displaystyle D=\begin{vmatrix}\alpha_1^T\alpha_1&\alpha_1^T\alpha_2&\cdots&\alpha_1^T\alpha_n\\\alpha_1^T\alpha_2&\alpha_2^T\alpha_2&\cdots&\alpha_2^T\alpha_n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\\alpha_n^T\alpha_1&\alpha_n^T\alpha_2&\cdots&\alpha_n^T\alpha_n\end{vmatrix}\ne 0，其中αiT\displaystyle \alpha_i^T表示列向量αi\displaystyle \alpha_i的转置(i=1,2,⋯ ,n)\displaystyle (i=1,2,\cdots,n)。

  2. 【1993-12-6分】 设A是n×m\displaystyle n\times m矩阵，B是m×n\displaystyle m\times n矩阵，其中n<m\displaystyle n<m，E是n阶单位矩阵。若AB=E\displaystyle AB=E，证明B的列向量组线性无关。

  3. 【1996-4-8分】 设向量组α1,α2,⋯ ,αt\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t是齐次线性方程组Ax=0\displaystyle Ax=0的一个基础解系，向量β\displaystyle \beta不是方程组Ax=0\displaystyle Ax=0的解，即Aβ≠0\displaystyle A\beta\ne 0。试证明：向量组β,β+α1,β+α2,⋯ ,β+αt\displaystyle \beta,\beta+\alpha_1,\beta+\alpha_2,\cdots,\beta+\alpha_t线性无关。

  4. 【2008-234-10分】 设A为3阶矩阵，α1,α2\displaystyle \alpha_1,\alpha_2为A的分别属于特征值-1,1特征向量，向量α3\displaystyle \alpha_3满足Aα3=α2+α3\displaystyle A\alpha_3=\alpha_2+\alpha_3， (1)证明α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关； (2)令P=(α1,α2,α3)\displaystyle P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)，求P−1AP\displaystyle P^{-1}AP。