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二、秩的常用公式

小题​

  1. 【1994-4-3分】 设A是m×n\displaystyle m\times n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC\displaystyle B=AC的秩为r1\displaystyle r_1，则（）。

A. r>r1\displaystyle r>r_1    B. r<r1\displaystyle r<r_1 C. r=r1\displaystyle r=r_1    D. r与r1的关系依C而定\displaystyle r \text{与} r_1 \text{的关系依} C \text{而定}

  1. 【1996-12-3分】 设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2\displaystyle r(A)=2，而B=(102020−103)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&0\\-1&0&3\end{pmatrix}，则r(AB)=\displaystyle r(AB)=

  2. 【1999-1-3分】 设A是m×n\displaystyle m\times n矩阵，B是n×m\displaystyle n\times m矩阵，则（）。

A. 当m>n时,必有行列式∣AB∣≠0\displaystyle \text{当} m>n \text{时,必有行列式}|AB|\ne 0 B. 当m>n时,必有行列式∣AB∣=0\displaystyle \text{当} m>n \text{时,必有行列式}|AB|=0 C. 当n>m时,必有行列式∣AB∣≠0\displaystyle \text{当} n>m \text{时,必有行列式}|AB|\ne 0 D. 当n>m时,必有行列式∣AB∣=0\displaystyle \text{当} n>m \text{时,必有行列式}|AB|=0

  1. 【2010-1-4分】 设A为m×n\displaystyle m\times n矩阵，B为n×m\displaystyle n\times m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E\displaystyle AB=E，则（）

A. 秩r(A)=m,秩r(B)=m\displaystyle \text{秩} r(A)=m \text{,秩} r(B)=m B. 秩r(A)=m,秩r(B)=n\displaystyle \text{秩} r(A)=m \text{,秩} r(B)=n C. 秩r(A)=n,秩r(B)=m\displaystyle \text{秩} r(A)=n \text{,秩} r(B)=m D. 秩r(A)=n,秩r(B)=n\displaystyle \text{秩} r(A)=n \text{,秩} r(B)=n

  1. 【2016-2-4分】 设矩阵(a−1−1−1a−1−1−1a)\displaystyle \begin{pmatrix}a&-1&-1\\-1&a&-1\\-1&-1&a\end{pmatrix}与(1100−11101)\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&0\\0&-1&1\\1&0&1\end{pmatrix}等价，则a=\displaystyle a=

  2. 【2017-13-4分】 设矩阵A=(101112011)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}，α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3为线性无关的3维向量组，则向量组Aα1,Aα2,Aα3\displaystyle A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3的秩为

  3. 【2018-123-4分】 设A，B为n阶矩阵，记r(X)\displaystyle r(X)为矩阵X的秩，(X Y)\displaystyle (X\ Y)表示分块矩阵，则（）

A. r(A B)=r(AT BT)\displaystyle r(A\ B)=r(A^T\ B^T) B. r(A B)=r((AOOB))\displaystyle r(A\ B)=r\left(\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}\right) C. r(A B)=max⁡{r(A),r(B)}\displaystyle r(A\ B)=\max\{r(A),r(B)\} D. r(A B)=r((AAOB))\displaystyle r(A\ B)=r\left(\begin{pmatrix}A&A\\O&B\end{pmatrix}\right)

  1. 【1988-45-2分】 判断正误：若A和B都是n阶非零方阵，且AB=O\displaystyle AB=O，则A的秩必小于n。

  2. 【1993-12-3分】 已知Q=(12324t369)\displaystyle Q=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&t\\3&6&9\end{pmatrix}，P为三阶非零矩阵，且满足PQ=O\displaystyle PQ=O，则（）。

A. t=6时P的秩必为1\displaystyle t=6 \text{时} P \text{的秩必为} 1 B. t=6时P的秩必为2\displaystyle t=6 \text{时} P \text{的秩必为} 2 C. t≠6时P的秩必为1\displaystyle t\ne 6 \text{时} P \text{的秩必为} 1 D. t≠6时P的秩必为2\displaystyle t\ne 6 \text{时} P \text{的秩必为} 2

  1. 【1994-5-3分】 设A，B都是n阶非零矩阵，且AB=O\displaystyle AB=O，则A和B的秩（）

A. 必有一个等于零\displaystyle \text{必有一个等于零} B. 都小于n\displaystyle \text{都小于} n C. 一个小于n,一个等于n\displaystyle \text{一个小于} n \text{,一个等于} n D. 都等于n\displaystyle \text{都等于} n

  1. 【1997-1-3分】 设A=(12−24t33−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&-2\\4&t&3\\3&-1&1\end{pmatrix}，B为三阶非零矩阵，且AB=O\displaystyle AB=O，则t=\displaystyle t=

  2. 【1993-45-3分】 设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A∗\displaystyle A^*的秩为

  3. 【2003-3-4分】 设三阶矩阵A=(abbbabbba)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b&b\\b&a&b\\b&b&a\end{pmatrix}，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有（）。

A. a=b或a+2b=0\displaystyle a=b \text{或} a+2b=0 B. a=b或a+2b≠0\displaystyle a=b \text{或} a+2b\ne 0 C. a≠b且a+2b=0\displaystyle a\ne b \text{且} a+2b=0 D. a≠b且a+2b≠0\displaystyle a\ne b \text{且} a+2b\ne 0

  1. 【2019-23-4分】 设A为4阶矩阵，A∗\displaystyle A^*为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0\displaystyle Ax=0的基础解系中只有2个向量，则r(A∗)=\displaystyle r(A^*)=（）

A. 0\displaystyle 0    B. 1\displaystyle 1    C. 2\displaystyle 2    D. 3\displaystyle 3

  1. 【2021-1-5分】 设A，B为n阶实矩阵，下列不成立的是（）

A. r(AOOAT)=2r(A)\displaystyle r\begin{pmatrix}A&O\\O&A^T\end{pmatrix}=2r(A) B. r(AABOAT)=2r(A)\displaystyle r\begin{pmatrix}A&AB\\O&A^T\end{pmatrix}=2r(A) C. r(ABAOAAT)=2r(A)\displaystyle r\begin{pmatrix}A&BA\\O&AA^T\end{pmatrix}=2r(A) D. r(AOBAAT)=2r(A)\displaystyle r\begin{pmatrix}A&O\\BA&A^T\end{pmatrix}=2r(A)

  1. 【2023-1-5分】 已知n阶矩阵A，B，C满足ABC=O\displaystyle ABC=O，E为n阶单位矩阵。记矩阵(OABCE),(ABCOE),(EABABO)\displaystyle \begin{pmatrix}O&A\\BC&E\end{pmatrix},\begin{pmatrix}AB&C\\O&E\end{pmatrix},\begin{pmatrix}E&AB\\AB&O\end{pmatrix}的秩分别r1,r2,r3\displaystyle r_1,r_2,r_3，则（）

A. r1≤r2≤r3\displaystyle r_1\le r_2\le r_3 B. r1≤r3≤r2\displaystyle r_1\le r_3\le r_2 C. r3≤r1≤r2\displaystyle r_3\le r_1\le r_2 D. r2≤r1≤r3\displaystyle r_2\le r_1\le r_3

  1. 【2024-2-5分】 设A为四阶矩阵，A∗\displaystyle A^*为A的伴随矩阵。若A(A−A∗)=O\displaystyle A(A-A^*)=O且A≠A∗\displaystyle A\ne A^*，则r(A)\displaystyle r(A)的取值为（）。

A. 0或1\displaystyle 0 \text{或} 1    B. 1或3\displaystyle 1 \text{或} 3 C. 2或3\displaystyle 2 \text{或} 3    D. 1或2\displaystyle 1 \text{或} 2

  1. 【2024-3-5分】 设A为三阶矩阵，A∗\displaystyle A^*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。若r(2E−A)=1\displaystyle r(2E-A)=1，r(E+A)=2\displaystyle r(E+A)=2，则∣A∗∣=\displaystyle |A^*|=

  2. 【2025-1-5分】 设n阶矩阵A，B，C满足r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n\displaystyle r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n，给出下列四个结论： (1)r(ABC)+n=r(AB)+r(C)\displaystyle r(ABC)+n=r(AB)+r(C)；(2)r(AB)+n=r(A)+r(B)\displaystyle r(AB)+n=r(A)+r(B)； (3)r(A)=r(B)=r(C)=n\displaystyle r(A)=r(B)=r(C)=n；(4)r(AB)=r(BC)=n\displaystyle r(AB)=r(BC)=n，其中正确的选项是（）

A. (1)(2)\displaystyle (1)(2)    B. (1)(3)\displaystyle (1)(3) C. (2)(4)\displaystyle (2)(4)    D. (3)(4)\displaystyle (3)(4)

大题​

  1. 【2008-1-10分】 设α,β\displaystyle \alpha,\beta是三维列向量，矩阵A=ααT+ββT\displaystyle A=\alpha\alpha^T+\beta\beta^T，其中αT,βT\displaystyle \alpha^T,\beta^T分别为α,β\displaystyle \alpha,\beta的转置。证明 (1) 秩r(A)≤2\displaystyle r(A)\le 2； (2) 若α,β\displaystyle \alpha,\beta线性相关，则秩r(A)<2\displaystyle r(A)<2。