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一、秩的基本概念及基本运算

小题​

  1. 【1987-4-2分】 判断正误：设D是矩阵A的r阶子式，且D≠0，但含D的一切r+1阶子式都等于0，那么矩阵A的一切r+1阶子式都等于0。

  2. 【1987-45-2分】 设A为n阶方阵，其秩r<n，那么在A的n个行向量中（）。

A. 必有r个行向量线性无关\displaystyle \text{必有} r \text{个行向量线性无关} B. 任意r个行向量线性无关\displaystyle \text{任意} r \text{个行向量线性无关} C. 任意r个行向量都构成极大线性无关向量组\displaystyle \text{任意} r \text{个行向量都构成极大线性无关向量组} D. 任意一个行向量都可以由其他r个行向量线性表示\displaystyle \text{任意一个行向量都可以由其他} r \text{个行向量线性表示}

  1. 【1990-12-3分】 已知向量组α1=(1,2,3,4)\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,3,4)，α2=(2,3,4,5)\displaystyle \alpha_{2}=(2,3,4,5)，α3=(3,4,5,6)\displaystyle \alpha_{3}=(3,4,5,6)，α4=(4,5,6,7)\displaystyle \alpha_{4}=(4,5,6,7)，则该向量组的秩是

  2. 【1992-12-3分】 设A=(a1b1a2b2⋯anbna1b1a2b2⋯anbn⋮⋮⋮anbnanb2⋯anbn)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots&a_{n}b_{n}\\a_{1}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots&a_{n}b_{n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n}b_{n}&a_{n}b_{2}&\cdots&a_{n}b_{n}\end{pmatrix}，其中ai≠0\displaystyle a_{i}\ne 0，bi≠0(i=1,2,⋯ ,n)\displaystyle b_{i}\ne 0(i=1,2,\cdots,n)，则矩阵A的秩r(A)=\displaystyle r(A)=

  3. 【1995-5-3分】 设矩阵Am×n\displaystyle A_{m\times n}的秩为r(A)=m<n\displaystyle r(A)=m<n，Em\displaystyle E_{m}为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是（）。

A. A的任意m个列向量必线性无关\displaystyle A \text{的任意} m \text{个列向量必线性无关} B. A的任意一个m阶子式不等于零\displaystyle A \text{的任意一个} m \text{阶子式不等于零} C. 非齐次线性方程组Ax=b一定有无穷多解\displaystyle \text{非齐次线性方程组} Ax=b \text{一定有无穷多解} D. A通过初等行变换,必可以化为(Em,O)的形式\displaystyle A \text{通过初等行变换,必可以化为}(E_{m},O) \text{的形式}

  1. 【1995-4-3分】 设矩阵Am×n\displaystyle A_{m\times n}的秩为r(A)=m<n\displaystyle r(A)=m<n，Em\displaystyle E_{m}为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是（）。

A. A的任意m个列向量必线性无关\displaystyle A \text{的任意} m \text{个列向量必线性无关} B. A的任意一个m阶子式不等于零\displaystyle A \text{的任意一个} m \text{阶子式不等于零} C. 若矩阵B满足BA=O,则B=O\displaystyle \text{若矩阵} B \text{满足} BA=O \text{,则} B=O D. A通过初等行变换,必可以化为(Em,O)的形式\displaystyle A \text{通过初等行变换,必可以化为}(E_{m},O) \text{的形式}

  1. 【1997-2-3分】 已知向量组α1=(1,2,−1,1)\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,-1,1)，α2=(2,0,t,0)\displaystyle \alpha_{2}=(2,0,t,0)，α3=(0,−4,5,−2)\displaystyle \alpha_{3}=(0,-4,5,-2)的秩为2，则t=\displaystyle t=

  2. 【1998-3-3分】 设n(n≥3)\displaystyle n(n\ge 3)阶矩阵A=(1aa⋯aa1a⋯aaa1⋯a⋮⋮⋮⋮aaa⋯1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&a&a&\cdots&a\\a&1&a&\cdots&a\\a&a&1&\cdots&a\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\a&a&a&\cdots&1\end{pmatrix}的秩为n−1\displaystyle n-1，则a\displaystyle a必为（）。

A. 1\displaystyle 1    B. 11−n\displaystyle \dfrac{1}{1-n} C. −1\displaystyle -1    D. 1n−1\displaystyle \dfrac{1}{n-1}

  1. 【2001-34-3分】 设矩阵A=(k1111k1111k1111k)\displaystyle A=\begin{pmatrix}k&1&1&1\\1&k&1&1\\1&1&k&1\\1&1&1&k\end{pmatrix}，且r(A)=3\displaystyle r(A)=3，则k=\displaystyle k=

  2. 【2007-1234-4分】 设矩阵A=(0100001000010000)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}，则A3\displaystyle A^3的秩为