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五、矩阵可逆性的讨论

小题​

  1. 【2005-4-5分】 设A,B,C\displaystyle A,B,C均为n\displaystyle n阶矩阵，E\displaystyle E为n\displaystyle n阶单位矩阵，若B=E+AB\displaystyle B=E+AB，C=A+CA\displaystyle C=A+CA，则B−C\displaystyle B-C为

A. E\displaystyle E    B. −E\displaystyle -E    C. A\displaystyle A    D. −A\displaystyle -A

  1. 【2022-1-5分】 已知矩阵A\displaystyle A和E−A\displaystyle E-A可逆，其中E\displaystyle E为单位矩阵，若矩阵B\displaystyle B满足[E−(E−A)−1]B=A\displaystyle [E-(E-A)^{-1}]B=A，则B−A=\displaystyle B-A=

  2. 【2006-4-4分】 设矩阵A=(21−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}，E\displaystyle E为二阶单位矩阵，矩阵B\displaystyle B满足BA=B+2E\displaystyle BA=B+2E，则B=\displaystyle B=

  3. 【2008-1234-4分】 设A\displaystyle A为n\displaystyle n阶非零矩阵，E\displaystyle E为n\displaystyle n阶单位矩阵，若A3=O\displaystyle A^3=O，则( )

A. E−A\displaystyle E-A 不可逆，E+A\displaystyle E+A 不可逆 B. E−A\displaystyle E-A 不可逆，E+A\displaystyle E+A 可逆 C. E−A\displaystyle E-A 可逆，E+A\displaystyle E+A 可逆 D. E−A\displaystyle E-A 可逆，E+A\displaystyle E+A 不可逆

  1. 【2017-13-4分】 设α\displaystyle \alpha为n\displaystyle n维单位列向量，E\displaystyle E为n\displaystyle n阶单位矩阵，则( )

A. E−ααT\displaystyle E-\alpha\alpha^T 不可逆 B. E+ααT\displaystyle E+\alpha\alpha^T 不可逆 C. E+2ααT\displaystyle E+2\alpha\alpha^T 不可逆 D. E−2ααT\displaystyle E-2\alpha\alpha^T 不可逆

大题​

  1. 【2002-2-6分】 已知A,B\displaystyle A,B为3阶矩阵，且满足2A−1B=B−4E\displaystyle 2A^{-1}B=B-4E，其中E\displaystyle E是3阶单位矩阵. (1)证明：矩阵A−2E\displaystyle A-2E可逆； (2)若B=(1−20120002)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}，求矩阵A\displaystyle A.

  2. 【2015-23-11分】 设矩阵A=(a101a−101a)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a & 1 & 0 \\ 1 & a & -1 \\ 0 & 1 & a\end{pmatrix}且A3=O\displaystyle A^3=O (1)求a\displaystyle a的值； (2)若矩阵X\displaystyle X满足X−XA2−AX+AXA2=E\displaystyle X-XA^2-AX+AX A^2=E，其中E\displaystyle E为3阶单位矩阵，求X\displaystyle X.

  3. 【1996-12-6分】 设A=E−ξξT\displaystyle A=E-\xi\xi^T，其中E\displaystyle E是n\displaystyle n阶单位矩阵，ξ\displaystyle \xi是n\displaystyle n维非零列向量，ξT\displaystyle \xi^T是ξ\displaystyle \xi的转置，证明： (1)A2=A\displaystyle A^2=A的充要条件是ξTξ=1\displaystyle \xi^T\xi=1； (2)当ξTξ=1\displaystyle \xi^T\xi=1时，A\displaystyle A是不可逆矩阵.

  4. 【1997-34-6分】 设A\displaystyle A为n\displaystyle n阶可逆矩阵，α\displaystyle \alpha为n\displaystyle n维列向量，b\displaystyle b为常数，记分块矩阵P=(E0−αTA∗∣A∣)\displaystyle P=\begin{pmatrix}E & 0 \\ -\alpha^TA^* & |A|\end{pmatrix}，Q=(AααTb)\displaystyle Q=\begin{pmatrix}A & \alpha \\ \alpha^T & b\end{pmatrix}，其中A∗\displaystyle A^*是矩阵A\displaystyle A的伴随矩阵，E\displaystyle E为n\displaystyle n阶单位矩阵. (1)计算并化简PQ\displaystyle PQ； (2)证明：矩阵Q\displaystyle Q可逆的充分必要条件是αTA−1α≠b\displaystyle \alpha^TA^{-1}\alpha\neq b.