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四、矩阵方程

小题​

  1. 【1987-1-4分】 设矩阵A\displaystyle A和B\displaystyle B满足AX=B\displaystyle AX=B，其中A=(010−111−10−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1\end{pmatrix}，B=(1−1205−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 5 & -3\end{pmatrix}，求矩阵X\displaystyle X.

  2. 【1989-45-5分】 已知X=AX+B\displaystyle X=AX+B，其中A=(010−111−10−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1\end{pmatrix}，B=(1−1205−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 5 & -3\end{pmatrix}，求矩阵X\displaystyle X.

  3. 【1991-5-5分】 设n\displaystyle n阶矩阵A\displaystyle A和B\displaystyle B满足条件A+B=AB\displaystyle A+B=AB： (1)证明A−E\displaystyle A-E为可逆矩阵，其中E\displaystyle E为n\displaystyle n阶单位矩阵； (2)已知B=(1−30210002)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}，求矩阵A\displaystyle A.

  4. 【1995-12-3分】 设三阶方阵A,B\displaystyle A,B满足关系式A−1BA=6A+BA\displaystyle A^{-1}BA=6A+BA，且A=(130001400017)\displaystyle A=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{7}\end{pmatrix}，求B\displaystyle B.

  5. 【1997-2-5分】 已知A=(11−101100−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}，且A2−AB=E\displaystyle A^2-AB=E，E\displaystyle E为单位矩阵，求B\displaystyle B.

  6. 【1998-34-3分】 设矩阵A,B\displaystyle A,B满足A∗BA=2BA−8E\displaystyle A^*BA=2BA-8E，其中A=(1000−20001)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}，A∗\displaystyle A^*为A\displaystyle A的伴随矩阵，则B=\displaystyle B=.

  7. 【1998-2-5分】 设(2E−C−1B)AT=C−1\displaystyle (2E-C^{-1}B)A^T=C^{-1}，其中E\displaystyle E是4阶单位矩阵，AT\displaystyle A^T是A\displaystyle A的转置矩阵，B=(12−3−2012−300120001)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}，C=(1201012000120001)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}，求A\displaystyle A.

  8. 【1999-4-3分】 已知AB−B=A\displaystyle AB-B=A，其中B=(1−20210002)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}，则A=\displaystyle A=.

大题​

  1. 【1987-45-7分】 设矩阵A,B\displaystyle A,B满足AB=A+2B\displaystyle AB=A+2B，求矩阵B\displaystyle B，其中A=(301110014)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4\end{pmatrix}

  2. 【1990-12-6分】 设四阶矩阵B=(1−10001−10001−10001)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}，C=(2134021300210002)\displaystyle C=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}，且矩阵A\displaystyle A满足A(E−C−1B)TCT=E\displaystyle A(E-C^{-1}B)^TC^T=E，其中E\displaystyle E为四阶单位矩阵，C−1\displaystyle C^{-1}表示C\displaystyle C的逆矩阵，CT\displaystyle C^T表示C\displaystyle C的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵A\displaystyle A.

  3. 【1999-2-6分】 设矩阵A=(11−1−1111−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix}，矩阵X\displaystyle X满足A∗X=A−1+2X\displaystyle A^*X=A^{-1}+2X，其中A∗\displaystyle A^*是A\displaystyle A的伴随矩阵，求矩阵X\displaystyle X.

  4. 【2000-1-6分】 设矩阵A\displaystyle A的伴随矩阵A∗=(1000010010100−308)\displaystyle A^*=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8\end{pmatrix}，且ABA−1=BA−1+3E\displaystyle ABA^{-1}=BA^{-1}+3E，其中E\displaystyle E为4阶单位矩阵，求矩阵B\displaystyle B.

  5. 【2001-2-6分】 已知矩阵A=(100110111)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}，B=(011101110)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}，且矩阵X\displaystyle X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E\displaystyle AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E\displaystyle E是3阶单位阵，求X\displaystyle X.