三、抽象型行列式的计算

小题

(一)按列分块的矩阵行列式

1. 【1988-12-3分】 设$\displaystyle 4\times4$矩阵$\displaystyle A=(\alpha,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4)$，$\displaystyle B=(\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4)$，其中$\displaystyle \alpha,\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4$均为4维列向量，且已知行列式$\displaystyle |A|=4$，$\displaystyle |B|=1$，则行列式$\displaystyle |A+B|=$

2. 【1993-5-3分】 若$\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2$都是四维列向量，且四阶行列式$\displaystyle |\alpha_1\alpha_2\alpha_3\beta_1|=m$，$\displaystyle |\alpha_1\alpha_2\beta_2\alpha_3|=n$，则四阶行列式$\displaystyle |\alpha_3\alpha_2\alpha_1(\beta_1+\beta_2)|$等于( )

A. $\displaystyle m+n$    B. $\displaystyle -(m+n)$    C. $\displaystyle n-m$    D. $\displaystyle m-n$

3. 【2005-124-4分】 设$\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$均为三维列向量，记矩阵$\displaystyle A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]$，$\displaystyle B=[\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+4\alpha_3,\alpha_1+3\alpha_2+9\alpha_3]$，如果$\displaystyle |A|=1$，那么$\displaystyle |B|=$

4. 【2006-4-4分】 已知$\displaystyle \alpha_1,\alpha_2$为二维列向量，矩阵$\displaystyle A=(2\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1-\alpha_2)$，$\displaystyle B=(\alpha_1,\alpha_2)$，若行列式$\displaystyle |A|=6$，则$\displaystyle |B|=$

5. 【2018-3-4分】 设$\displaystyle A$为3阶矩阵，$\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$为线性无关的向量组，若$\displaystyle A\alpha_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\displaystyle A\alpha_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\displaystyle A\alpha_3=\alpha_1+\alpha_3$，则$\displaystyle |A|=$_________.

(二)抽象方阵的行列式

1. 【1987-5-2分】 判断正误：设$\displaystyle A$为$\displaystyle n$阶方阵，$\displaystyle k$为常数，$\displaystyle |A|$，$\displaystyle |kA|$为$\displaystyle A$与$\displaystyle kA$的行列式，则$\displaystyle |kA|=k|A|$

2. 【1989-4-3分】 设$\displaystyle A$和$\displaystyle B$均为$\displaystyle n\times n$阶矩阵，则必有( )

A. $\displaystyle |A+B|=|A|+|B|$    B. $\displaystyle AB=BA$ C. $\displaystyle |AB|=|BA|$    D. $\displaystyle (A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$

3. 【1991-5-3分】 设$\displaystyle A$与$\displaystyle B$为$\displaystyle n$阶方阵，且$\displaystyle AB=O$，则必有( ).

A. $\displaystyle A=O\text{ 或 }B=O$    B. $\displaystyle AB=BA$ C. $\displaystyle |A|=0\text{ 或 }|B|=0$    D. $\displaystyle |A|+|B|=0$

4. 【1992-4-3分】 设$\displaystyle A$为$\displaystyle m$阶方阵，$\displaystyle B$为$\displaystyle n$阶方阵，且$\displaystyle |A|=a$，$\displaystyle |B|=b$，$\displaystyle C=\begin{pmatrix}O & A \\ B & O\end{pmatrix}$，则$\displaystyle |C|=$

5. 【1998-4-3分】 设$\displaystyle A,B$均为$\displaystyle n$阶矩阵，$\displaystyle |A|=2$，$\displaystyle |B|=-3$，则$\displaystyle |2A^*B^{-1}|=$

6. 【2003-2-4分】 设三阶方阵$\displaystyle A,B$满足$\displaystyle A^2B-A-B=E$，其中$\displaystyle E$为三阶单位矩阵，若$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{pmatrix}$，则$\displaystyle |B|=$

7. 【2004-12-4分】 设矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$，矩阵$\displaystyle B$满足$\displaystyle ABA^*=2BA^*+E$，其中$\displaystyle A^*$为$\displaystyle A$的伴随矩阵，$\displaystyle E$是单位矩阵，则$\displaystyle |B|=$

8. 【2006-123-4分】 设矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}$，$\displaystyle E$为二阶单位矩阵，矩阵$\displaystyle B$满足$\displaystyle BA=B+2E$，则$\displaystyle |B|=$

9. 【2010-23-4分】 设$\displaystyle A,B$为3阶矩阵，且$\displaystyle |A|=3$，$\displaystyle |B|=2$，$\displaystyle |A^{-1}+B|=2$，则$\displaystyle |A+B^{-1}|=$_________.

10. 【2012-23-4分】 设$\displaystyle A$为3阶矩阵，$\displaystyle |A|=3$，$\displaystyle A^*$为$\displaystyle A$的伴随矩阵，若交换$\displaystyle A$的第1行与第2行得矩阵$\displaystyle B$，则$\displaystyle |BA^*|=$

(三)结合特征值求行列式

1. 【2000-3-3分】 若四阶矩阵$\displaystyle A$与$\displaystyle B$相似，矩阵$\displaystyle A$的特征值为$\displaystyle \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{5}$，则行列式$\displaystyle |B^{-1}-E|=$

2. 【2000-4-3分】 设$\displaystyle \alpha=(1,0,-1)^T$，矩阵$\displaystyle A=\alpha\alpha^T$，$\displaystyle n$为正整数，则$\displaystyle |aE-A^n|=$

3. 【2008-3-4分】 设3阶矩阵$\displaystyle A$的特征值为$\displaystyle 1,2,2$，$\displaystyle E$为3阶单位矩阵，则$\displaystyle |4A^{-1}-E|=$

4. 【2008-2-4分】 设3阶矩阵$\displaystyle A$的特征值为$\displaystyle 2,3,\lambda$，若行列式$\displaystyle |2A|=-48$，则$\displaystyle \lambda=$

5. 【2015-23-4分】 设3阶矩阵$\displaystyle A$的特征值为$\displaystyle 2,2,-1$，$\displaystyle B=A^2-A+E$，其中$\displaystyle E$为3阶单位矩阵，则行列式$\displaystyle |B|=$

6. 【2018-1-4分】 设2阶矩阵$\displaystyle A$有两个不同特征值，$\displaystyle \alpha_1,\alpha_2$是$\displaystyle A$的线性无关的特征向量，且满足$\displaystyle A^2(\alpha_1+\alpha_2)=\alpha_1+\alpha_2$，则$\displaystyle |A|=$

大题

(二)抽象方阵的行列式

1. 【1988-4-7分】 设$\displaystyle A$是三阶方阵，$\displaystyle A^*$是$\displaystyle A$的伴随矩阵，$\displaystyle A$的行列式$\displaystyle |A|=\dfrac{1}{2}$，求行列式$\displaystyle |(3A)^{-1}-2A^*|$的值.

2. 【1995-12-6分】 设$\displaystyle A$是$\displaystyle n$阶矩阵，满足$\displaystyle AA^T=E$（$\displaystyle E$是$\displaystyle n$阶单位阵，$\displaystyle A^T$是$\displaystyle A$的转置矩阵），$\displaystyle |A|<0$，求$\displaystyle |A+E|$

(三)结合特征值求行列式

1. 【1994-2-6分】 设$\displaystyle A$是$\displaystyle n$阶矩阵，$\displaystyle 2,4,6,\cdots,2n$是$\displaystyle A$的$\displaystyle n$个特征值，$\displaystyle E$是$\displaystyle n$阶单位阵，计算行列式$\displaystyle |A-3E|$的值.