6.3 中心极限定理

小题

1. 【2002-4-3 分】 设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$，则根据列维—林德伯格中心极限定理，当 $n$ 充分大时，$S_n$ 近似服从正态分布，只要 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$（ ）。

A. 有相同的数学期望    B. 有相同的方差

C. 服从同一指数分布    D. 服从同一离散型分布

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答案： C。

解析： 列维—林德伯格中心极限定理要求随机变量列独立同分布，并且具有有限的数学期望和有限的正方差。选项 C 中各随机变量服从同一指数分布，因此它们同分布，且指数分布的数学期望和方差均有限；结合题干给出的“相互独立”，满足定理条件。

A、B 只分别保证均值相同或方差相同，不能保证同分布；D 虽说明同为某一离散型分布，但一般离散分布未必具有有限方差，因此条件不够充分。

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2. 【2005-4-5 分】 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为 $\lambda (\lambda >1)$ 的指数分布，记 $\Phi (x)$ 为标准正态分布函数，则（ ）。

A. $\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\lambda }{\lambda \sqrt{n}}\le x\right\}=\Phi (x)$

B. $\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\lambda }{\sqrt{n\lambda }}\le x\right\}=\Phi (x)$

C. $\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{\lambda {\sum }_{i=1}^n{X}_i-n}{\sqrt{n}}\le x\right\}=\Phi (x)$

D. $\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-\lambda }{\sqrt{n\lambda }}\le x\right\}=\Phi (x)$

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答案： C。

解析： 若 $X_i$ 服从率参数为 $\lambda$ 的指数分布，则

$$E{X}_i=\frac{1}{\lambda },D{X}_i=\frac{1}{{\lambda }^2}.$$

由独立同分布中心极限定理，

$$\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-nE{X}_i}{\sqrt{nD{X}_i}}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-\frac{n}{\lambda }}{\frac{\sqrt{n}}{\lambda }}=\frac{\lambda {\sum }_{i=1}^n{X}_i-n}{\sqrt{n}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

因此相应分布函数收敛于 $\Phi (x)$，应选 C。A、B、D 均错误地使用了指数分布的均值或标准差。

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3. 【2020-1-4 分】 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_{100}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，其中

$$P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2},$$

$\Phi (x)$ 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得

$$P\left\{\sum _{i=1}^{100}{X}_i\le 55\right\}$$

的近似值为（ ）。

A. $1-\Phi (1)$    B. $\Phi (1)$    C. $1-\Phi (2)$    D. $\Phi (2)$

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答案： B。

解析： 每个 $X_i$ 都服从参数为 $p=\frac{1}{2}$ 的伯努利分布，因此

$$E{X}_i=\frac{1}{2},D{X}_i=\frac{1}{4}.$$

令 $S_{100}=\sum _{i=1}^{100}{X}_i$，则

$$E{S}_{100}=100\times \frac{1}{2}=50,$$$$D{S}_{100}=100\times \frac{1}{4}=25,$$

故标准差为 $5$。由中心极限定理，

$$\frac{S_{100}-50}{5}\approx N(0,1).$$

因而

$$P\{S_{100}\le 55\}\approx P\left\{\frac{S_{100}-50}{5}\le \frac{55-50}{5}\right\}=P\{Z\le 1\}=\Phi (1).$$

故选择 B。若使用连续性修正会得到 $\Phi (1.1)$，但选项显然要求按未经连续性修正的中心极限定理近似计算。

大题

1. 【1988-4-6 分】 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 $20\%$，以 $X$ 表示在随意抽查的 $100$ 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。

（1）写出 $X$ 的概率分布；

（2）利用棣莫佛—拉普拉斯定理，求出索赔户不少于 $14$ 户且不多于 $30$ 户的概率的近似值。

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答案： （1）$X\sim B(100,0.2)$，即

$$P\{X=k\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{k}\right)(0.2{)}^k(0.8{)}^{100-k},k=0,1,\cdots ,100.$$

（2）

$$P\{14\le X\le 30\}\approx \Phi (2.5)-\Phi (-1.5)=\Phi (2.5)+\Phi (1.5)-1\approx \mathrm{0.927.}$$

解析： 每个索赔户是否属于被盗索赔户可看作一次伯努利试验，其成功概率为 $0.2$。随机抽查 $100$ 户，可认为各次试验相互独立，所以被盗索赔户数服从二项分布

$$X\sim B(100,0.2).$$

其数学期望和方差分别为

$$EX=np=100\times 0.2=20,$$$$DX=np(1-p)=100\times 0.2\times 0.8=16,$$

因而标准差为 $\sqrt{DX}=4$。由棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理，标准化变量

$$\frac{X-20}{4}$$

近似服从标准正态分布。因此

$$\begin{array}{rl}P\{14\le X\le 30\}& \approx P\left\{\frac{14-20}{4}\le Z\le \frac{30-20}{4}\right\}\\ & =P\{-1.5\le Z\le 2.5\}\\ & =\Phi (2.5)-\Phi (-1.5)\\ & =\Phi (2.5)+\Phi (1.5)-1\\ & \approx 0.9938+0.9332-1\\ & \approx \mathrm{0.927.}\end{array}$$

若采用连续性修正，则可用区间 $[13.5,30.5]$，所得近似值约为 $0.944$；本题按棣莫佛—拉普拉斯定理的常见直接标准化结果取 $0.927$。

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2. 【1996-4-6 分】 假设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，已知 $E(X^k)=a_k(k=1,2,3,4)$。证明：当 $n$ 充分大时，随机变量

$$Z_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$$

近似服从正态分布，并指出其分布参数。

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答案： 当 $n$ 充分大时，

$$Z_n\stackrel{\cdot }{\sim }N\left(a_2,\frac{a_4-a_2^2}{n}\right).$$

解析： 令

$$Y_i=X_i^2,i=1,2,\cdots ,n.$$

因为 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，所以 $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n$ 也相互独立且同分布。由已知条件，

$$E{Y}_i=E(X_i^2)=a_2,$$

且

$$D{Y}_i=E(Y_i^2)-(E{Y}_i{)}^2=E(X_i^4)-[E(X_i^2){]}^2=a_4-a_2^2.$$

又有

$$Z_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i.$$

当 $a_4-a_2^2>0$ 时，由列维—林德伯格中心极限定理，

$$\frac{{\sum }_{i=1}^n{Y}_i-n{a}_2}{\sqrt{n(a_4-a_2^2)}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

等价地，

$$\frac{Z_n-a_2}{\sqrt{\frac{a_4-a_2^2}{n}}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

因此，当 $n$ 充分大时，$Z_n$ 近似服从正态分布，其均值和方差分别为

$$E{Z}_n=a_2,D{Z}_n=\frac{a_4-a_2^2}{n}.$$

故

$$Z_n\stackrel{\cdot }{\sim }N\left(a_2,\frac{a_4-a_2^2}{n}\right).$$

若 $a_4-a_2^2=0$，则 $X^2$ 几乎处处为常数，$Z_n$ 退化为常量 $a_2$。

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3. 【2001-34-8 分】 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重 $50$ 千克，标准差为 $5$ 千克。若用最大载重量为 $5$ 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 $0.977$。（$\Phi (2)=0.977$，其中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布函数）

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答案： 每辆车最多可以装 $98$ 箱。

解析： 设第 $i$ 箱产品的重量为 $X_i$，并假设各箱重量相互独立、同分布。由题意，

$$E{X}_i=50,D{X}_i=5^2=25.$$

装载 $n$ 箱时，总重量为

$$S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i.$$

则

$$E{S}_n=50n,D{S}_n=25n,$$

总重量的标准差为 $5\sqrt{n}$。汽车的最大载重量为

$$5\text{ 吨}=5000\text{ 千克}.$$

由中心极限定理，当 $n$ 较大时，

$$\frac{S_n-50n}{5\sqrt{n}}\stackrel{\cdot }{\sim }N(0,1).$$

因而不超载的概率近似为

$$P\{S_n\le 5000\}\approx \Phi \left(\frac{5000-50n}{5\sqrt{n}}\right).$$

要使该概率大于 $0.977=\Phi (2)$，由于 $\Phi (x)$ 单调增加，应有

$$\frac{5000-50n}{5\sqrt{n}}>2.$$

化简得

$$5000-50n>10\sqrt{n},$$

即

$$5n+\sqrt{n}<500.$$

令 $t=\sqrt{n}>0$，则

$$5t^2+t-500<0.$$

对应方程 $5t^2+t-500=0$ 的正根为

$$t_0=\frac{-1+\sqrt{10001}}{10}\approx 9.9005,$$

故

$$n<t_0^2\approx \mathrm{98.02.}$$

因为 $n$ 为正整数，所以最大可能值为 $98$。验证：

$$\frac{5000-50\times 98}{5\sqrt{98}}=\frac{100}{5\sqrt{98}}\approx 2.020>2,$$

因而装 $98$ 箱时不超载概率大于 $0.977$；而装 $99$ 箱时，

$$\frac{5000-50\times 99}{5\sqrt{99}}\approx 1.005<2,$$

不能达到要求。因此每辆车最多装 $98$ 箱。