6.2 大数定律

小题

1. 【2003-3-4 分】 设总体 $X$ 服从参数为 $2$ 的指数分布，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则当 $n\to \infty$ 时

$$Y_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$$

依概率收敛于_____。

查看答案与解析

答案： $\frac{1}{2}$。

解析： 指数分布采用参数为率参数的记法，即 $X\sim E(2)$。其各阶原点矩为

$$E(X^k)=\frac{k!}{2^k}.$$

因而

$$E(X^2)=\frac{2!}{2^2}=\frac{1}{2}.$$

随机变量 $X_1^2,X_2^2,\cdots ,X_n^2$ 独立同分布且数学期望存在。由辛钦大数定律，

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2\stackrel{P}{\to }E(X^2)=\frac{1}{2}.$$

---

2. 【2022-3-5 分】 设随机变量序列 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 独立同分布，且 $X_i$ 的概率密度为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|,& |x|<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

则当 $n\to \infty$ 时，$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$ 依概率收敛于（ ）。

A. $\frac{1}{8}$    B. $\frac{1}{6}$    C. $\frac{1}{3}$    D. $\frac{1}{2}$

查看答案与解析

答案： B。

解析： 由辛钦大数定律，

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2\stackrel{P}{\to }E(X_1^2).$$

概率密度 $f(x)=1-|x|$ 关于原点对称，因此

$$E(X_1^2)={\int }_{-1}^1{x}^2(1-|x|)dx=2{\int }_0^1{x}^2(1-x)dx.$$

计算得

$$E(X_1^2)=2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{6}.$$

故依概率收敛于 $\frac{1}{6}$。其余选项均不是该总体的二阶原点矩。