6.1 切比雪夫不等式的运用

小题

1. 【1989-4-3 分】 设随机变量 $X$ 的数学期望 $EX=\mu$，方差 $DX={\sigma }^2$，则由切比雪夫不等式，有 $P\{|X-\mu |\ge 3\sigma \}\le$

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答案： $\frac{1}{9}$。

解析： 切比雪夫不等式为

$$P\{|X-EX|\ge \epsilon \}\le \frac{DX}{{\epsilon }^2}.$$

取 $\epsilon =3\sigma$，则

$$P\{|X-\mu |\ge 3\sigma \}\le \frac{{\sigma }^2}{(3\sigma {)}^2}=\frac{1}{9}.$$

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2. 【2001-1-3 分】 设随机变量 $X$ 的方差为 $2$，则根据切比雪夫不等式有估计 $P\{|X-E(X)|\ge 2\}\le$

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答案： $\frac{1}{2}$。

解析： 由切比雪夫不等式，取 $\epsilon =2$，有

$$P\{|X-E(X)|\ge 2\}\le \frac{DX}{2^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

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3. 【2001-4-3 分】 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的数学期望都是 $2$，方差分别为 $1$ 和 $4$，而相关系数为 $0.5$，则根据切比雪夫不等式 $P\{|X-Y|\ge 6\}\le$

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答案： $\frac{1}{12}$。

解析： 因为

$$E(X-Y)=EX-EY=2-2=0,$$

且

$$\mathrm{Cov}(X,Y)={\rho }_{XY}\sqrt{DX}\sqrt{DY}=0.5\times 1\times 2=1,$$

所以

$$D(X-Y)=DX+DY-2\mathrm{Cov}(X,Y)=1+4-2=3.$$

因此由切比雪夫不等式，

$$P\{|X-Y|\ge 6\}=P\{|(X-Y)-E(X-Y)|\ge 6\}\le \frac{3}{6^2}=\frac{1}{12}.$$

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4. 【2001-3-3 分】 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的数学期望分别为 $-2$ 和 $2$，方差分别为 $1$ 和 $4$，而相关系数为 $-0.5$，则根据切比雪夫不等式 $P\{|X+Y|\ge 6\}\le$

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答案： $\frac{1}{12}$。

解析： 先计算均值与方差。因为

$$E(X+Y)=EX+EY=-2+2=0,$$

又

$$\mathrm{Cov}(X,Y)={\rho }_{XY}\sqrt{DX}\sqrt{DY}=-0.5\times 1\times 2=-1,$$

所以

$$D(X+Y)=DX+DY+2\mathrm{Cov}(X,Y)=1+4-2=3.$$

故

$$P\{|X+Y|\ge 6\}\le \frac{D(X+Y)}{6^2}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.$$

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5. 【2022-1-5 分】 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，$E(X_i^k)={\mu }_k$，对任意的 $\epsilon >0$，用切比雪夫不等式估计

$$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\mu }_2\right|\ge \epsilon \right\}\le ()$$

A. $\frac{{\mu }_4-{\mu }_2^2}{n{\epsilon }^2}$    B. $\frac{{\mu }_4-{\mu }_2^2}{\sqrt{n}\epsilon }$

C. $\frac{{\mu }_2-{\mu }_1^2}{n{\epsilon }^2}$    D. $\frac{{\mu }_2-{\mu }_1^2}{\sqrt{n}{\epsilon }^2}$

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答案： A。

解析： 令

$$Y_i=X_i^2,$$

则 $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n$ 独立同分布，并且

$$E{Y}_i=E(X_i^2)={\mu }_2,$$$$D{Y}_i=E(X_i^4)-[E(X_i^2){]}^2={\mu }_4-{\mu }_2^2.$$

因此

$$E\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2\right)={\mu }_2,$$$$D\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2\right)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D{X}_i^2=\frac{{\mu }_4-{\mu }_2^2}{n}.$$

应用切比雪夫不等式得

$$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\mu }_2\right|\ge \epsilon \right\}\le \frac{{\mu }_4-{\mu }_2^2}{n{\epsilon }^2}.$$

B 的分母阶数错误；C、D 使用的是 $X_i$ 的方差 ${\mu }_2-{\mu }_1^2$，而本题研究的是 $X_i^2$ 的样本均值。