5.3 相关系数的特殊性质

小题

1. 【2001-34-3 分】 将一枚硬币重复掷 $n$ 次，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 $X$ 和 $Y$ 的相关系数等于（ ）。

A. $-1$    B. $0$    C. $\frac{1}{2}$    D. $1$

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答案： A

解析： 每次投掷必为正面或反面，因此恒有

$$X+Y=n,$$

即

$$Y=n-X.$$

只要 $n\ge 1$，随机变量 $X$ 非退化，且 $Y$ 是 $X$ 的斜率为负的严格线性函数，所以

$${\rho }_{XY}=-1.$$

故选 A。

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2. 【2003-3-4 分】 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数为 $0.9$，若 $Z=X-0.4$，则 $Y$ 与 $Z$ 的相关系数为_____。

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答案： $0.9$

解析： 相关系数对随机变量的平移不变。因为

$$Cov(Y,Z)=Cov(Y,X-0.4)=Cov(Y,X),$$

且

$$D(Z)=D(X-0.4)=D(X),$$

所以

$${\rho }_{YZ}={\rho }_{YX}=\mathrm{0.9.}$$

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3. 【2008-134-4 分】 设随机变量 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(1,4)$，且相关系数 ${\rho }_{XY}=1$，则（ ）。

A. $P\{Y=-2X-1\}=1$    B. $P\{Y=2X-1\}=1$    C. $P\{Y=-2X+1\}=1$    D. $P\{Y=2X+1\}=1$

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答案： D

解析： 由 ${\rho }_{XY}=1$，知 $X,Y$ 几乎处处满足正斜率线性关系

$$Y-EY=\frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}(X-EX).$$

这里

$$EX=0,EY=1,{\sigma }_X=1,{\sigma }_Y=2.$$

故

$$Y-1=2X,$$

即

$$P\{Y=2X+1\}=1.$$

故选 D。

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4. 【2012-1-4 分】 将长度为 $1\text{ m}$ 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（ ）。

A. $1$    B. $\frac{1}{2}$    C. $-\frac{1}{2}$    D. $-1$

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答案： D

解析： 设两段长度分别为 $X,Y$，则恒有

$$X+Y=1,$$

即

$$Y=1-X.$$

因此 $Y$ 是 $X$ 的斜率为负的严格线性函数，故

$${\rho }_{XY}=-1.$$

故选 D。

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5. 【2025-3-5 分】 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(-1,1)$，$Y$ 服从正态分布 $N(1,2)$，若 $X$ 与 $X+2Y$ 不相关，则 $X$ 与 $X-Y$ 的相关系数为（ ）。

A. $\frac{1}{3}$    B. $\frac{1}{2}$    C. $\frac{2}{3}$    D. $\frac{3}{4}$

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答案： D

解析： 由题意

$$DX=1,DY=2.$$

又因 $X$ 与 $X+2Y$ 不相关，故

$$\begin{array}{rl}0& =Cov(X,X+2Y)\\ & =DX+2Cov(X,Y)\\ & =1+2Cov(X,Y).\end{array}$$

所以

$$Cov(X,Y)=-\frac{1}{2}.$$

于是

$$\begin{array}{rl}Cov(X,X-Y)& =DX-Cov(X,Y)\\ & =1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2},\end{array}$$

并且

$$\begin{array}{rl}D(X-Y)& =DX+DY-2Cov(X,Y)\\ & =1+2-2\left(-\frac{1}{2}\right)\\ & =4.\end{array}$$

因此

$${\rho }_{X,X-Y}=\frac{Cov(X,X-Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{D(X-Y)}}=\frac{\frac{3}{2}}{1\times 2}=\frac{3}{4}.$$

故选 D。

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6. 【2000-1-3 分】 设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，则随机变量 $\xi =X+Y$ 与 $\eta =X-Y$ 不相关的充分必要条件为（ ）。

A. $E(X)=E(Y)$    B. $E(X^2)-[E(X){]}^2=E(Y^2)-[E(Y){]}^2$

C. $E(X^2)=E(Y^2)$    D. $E(X^2)-[E(X){]}^2=E(Y^2)+[E(Y){]}^2$

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答案： B

解析： 计算协方差：

$$\begin{array}{rl}Cov(\xi ,\eta )& =Cov(X+Y,X-Y)\\ & =DX-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-DY\\ & =DX-DY.\end{array}$$

因此 $\xi$ 与 $\eta$ 不相关的充分必要条件为

$$DX=DY.$$

写成期望形式即

$$E(X^2)-[E(X){]}^2=E(Y^2)-[E(Y){]}^2.$$

故选 B。二维正态条件还可进一步保证不相关的 $\xi ,\eta$ 相互独立，但本题只问不相关的条件。

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7. 【2003-4-4 分】 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从正态分布，且它们不相关，则（ ）。

A. $X$ 与 $Y$ 一定独立    B. $(X,Y)$ 服从二维正态分布

C. $X$ 与 $Y$ 未必独立    D. $X+Y$ 服从一维正态分布

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答案： C

解析： “$X$ 与 $Y$ 分别服从正态分布”并不能推出二维随机变量 $(X,Y)$ 服从二维正态分布。只有在 $(X,Y)$ 联合服从二维正态分布时，不相关才等价于独立。

因此，仅由边缘正态和不相关不能断定 $X,Y$ 独立，也不能断定其和仍服从正态分布。故正确结论为“$X$ 与 $Y$ 未必独立”，选 C。

大题

1. 【1993-1-6 分】 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为

$$f(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|},-\infty <x<+\infty .$$

（1）求 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$；

（2）求 $X$ 与 $|X|$ 的协方差，并问 $X$ 与 $|X|$ 是否不相关；

（3）问 $X$ 与 $|X|$ 是否相互独立，并说明理由。

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答案：

$$E(X)=0,D(X)=2;$$

$$Cov(X,|X|)=0,$$

故 $X$ 与 $|X|$ 不相关，但不相互独立。

解析： （1）概率密度 $f(x)$ 是偶函数，而 $xf(x)$ 是奇函数，因此

$$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx=0.$$

又

$$\begin{array}{rl}E(X^2)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^2\frac{1}{2}{e}^{-|x|}dx\\ & ={\int }_0^{+\infty }{x}^2{e}^{-x}dx\\ & =\Gamma (3)=2.\end{array}$$

所以

$$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=2.$$

（2）因为 $x|x|f(x)$ 是奇函数，故

$$E(X|X|)=0.$$

于是

$$\begin{array}{rl}Cov(X,|X|)& =E(X|X|)-EX\cdot E|X|\\ & =0.\end{array}$$

因此 $X$ 与 $|X|$ 不相关。

（3）$|X|$ 是 $X$ 的函数，二者并不独立。严格地，取事件

$$A=\{0<X<1\},B=\{|X|<1\}.$$

显然 $A\subset B$，且

$$P(A)=\frac{1-e^{-1}}{2},P(B)=1-e^{-1}.$$

因此

$$P(A\cap B)=P(A)=\frac{1-e^{-1}}{2},$$

而

$$P(A)P(B)=\frac{(1-e^{-1}{)}^2}{2}\ne P(A\cap B).$$

所以 $X$ 与 $|X|$ 不相互独立。这也说明不相关通常不能推出独立。

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2. 【2000-34-8 分】 设 $A,B$ 是两个随机事件，随机变量

$$X=\{\begin{array}{ll}1,& A\text{ 出现},\\ -1,& A\text{ 不出现},\end{array}Y=\{\begin{array}{ll}1,& B\text{ 出现},\\ -1,& B\text{ 不出现}.\end{array}$$

试证明随机变量 $X$ 和 $Y$ 不相关的充分必要条件是事件 $A,B$ 相互独立。

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答案： $X,Y$ 不相关 $⟺A,B$ 相互独立。

解析： 记

$$P(A)=p,P(B)=q,P(AB)=r.$$

由定义，

$$EX=1\cdot p+(-1)(1-p)=2p-1,$$

同理

$$EY=2q-1.$$

当 $A,B$ 同时出现或同时不出现时，$XY=1$；恰有一个出现时，$XY=-1$。故

$$\begin{array}{rl}E(XY)& =P(AB)+P(\overline{A}\overline{B})-P(A\overline{B})-P(\overline{A}B)\\ & =r+(1-p-q+r)-(p-r)-(q-r)\\ & =4r-2p-2q+1.\end{array}$$

于是

$$\begin{array}{rl}Cov(X,Y)& =E(XY)-EX\cdot EY\\ & =4r-2p-2q+1-(2p-1)(2q-1)\\ & =4(r-pq).\end{array}$$

因此

$$Cov(X,Y)=0⟺r=pq⟺P(AB)=P(A)P(B).$$

而 $P(AB)=P(A)P(B)$ 正是事件 $A,B$ 相互独立的充分必要条件，故命题得证。

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3. 【2003-4-13 分】 对于任意两个事件 $A$ 和 $B$，$0<P(A)<1$，$0<P(B)<1$，

$$\rho =\frac{P(AB)-P(A)P(B)}{\sqrt{P(A)P(B)P(\overline{A})P(\overline{B})}}$$

称为事件 $A$ 和 $B$ 的相关系数。

（1）证明事件 $A$ 和 $B$ 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；

（2）利用随机变量相关系数的基本性质，证明 $|\rho |\le 1$。

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答案：

$$A,B\text{ 独立}⟺\rho =0,|\rho |\le 1.$$

解析： （1）由于

$$0<P(A)<1,0<P(B)<1,$$

故分母

$$\sqrt{P(A)P(B)P(\overline{A})P(\overline{B})}>0.$$

从而

$$\begin{array}{rl}\rho =0& ⟺P(AB)-P(A)P(B)=0\\ & ⟺P(AB)=P(A)P(B)\\ & ⟺A,B\text{ 相互独立}.\end{array}$$

（2）定义事件的示性变量

$$X=I_A,Y=I_B.$$

则

$$EX=P(A),EY=P(B),$$$$DX=P(A)P(\overline{A}),DY=P(B)P(\overline{B}),$$

并且

$$Cov(X,Y)=P(AB)-P(A)P(B).$$

所以 $X,Y$ 的相关系数为

$$\begin{array}{rl}{\rho }_{XY}& =\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}\\ & =\frac{P(AB)-P(A)P(B)}{\sqrt{P(A)P(B)P(\overline{A})P(\overline{B})}}\\ & =\rho .\end{array}$$

由随机变量相关系数的基本性质

$$|{\rho }_{XY}|\le 1,$$

因此

$$|\rho |\le 1.$$

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4. 【2019-13-11 分】 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 服从参数为 $1$ 的指数分布，$Y$ 的概率分布为

$$P\{Y=-1\}=p,P\{Y=1\}=1-p,0<p<1.$$

令 $Z=XY$。

（1）求 $Z$ 的概率密度；

（2）$p$ 为何值时，$X$ 与 $Z$ 不相关；

（3）$X$ 与 $Z$ 是否相互独立？

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答案：

$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}p{e}^z,& z<0,\\ (1-p)e^{-z},& z>0,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$

$$p=\frac{1}{2}$$

时 $X$ 与 $Z$ 不相关；对任意 $0<p<1$，$X$ 与 $Z$ 均不相互独立。

解析： （1）当 $Y=1$ 时，$Z=X>0$，其条件密度为 $e^{-z}$；当 $Y=-1$ 时，$Z=-X<0$，其条件密度为 $e^z$。因此由全概率公式，

$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}p{e}^z,& z<0,\\ (1-p)e^{-z},& z>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（2）由于 $X\sim Exp(1)$，

$$EX=1,E(X^2)=2,DX=1.$$

又

$$EY=(-1)p+1(1-p)=1-2p.$$

利用 $X,Y$ 相互独立及 $Z=XY$，有

$$EZ=E(XY)=EX\cdot EY=1-2p,$$

并且

$$E(XZ)=E(X^{2}Y)=E(X^2)EY=2(1-2p).$$

所以

$$\begin{array}{rl}Cov(X,Z)& =E(XZ)-EX\cdot EZ\\ & =2(1-2p)-(1-2p)\\ & =1-2p.\end{array}$$

故 $X$ 与 $Z$ 不相关的充分必要条件为

$$1-2p=0,$$

即

$$p=\frac{1}{2}.$$

（3）因为 $X>0$ 且 $|Y|=1$，所以

$$|Z|=|XY|=X$$

几乎处处成立。取事件

$$A=\{X\le 1\},B=\{|Z|\le 1\},$$

则 $A=B$ 几乎处处，且

$$P(A)=1-e^{-1}\in (0,1).$$

若 $X$ 与 $Z$ 独立，则 $X$ 与 $|Z|$ 也应独立，从而应有

$$P(A\cap B)=P(A)P(B).$$

但实际上

$$P(A\cap B)=P(A)\ne [P(A){]}^2=P(A)P(B).$$

故 $X$ 与 $Z$ 不相互独立，包括 $p=\frac{1}{2}$ 的情形。