3.5 常见分布

小题

【2012-3-4 分】 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从区间 $(0, 1)$ 上的均匀分布，则 $P {X^{2} + Y^{2} \leq 1} =$ （　）

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{π}{8}

\frac{π}{4}

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答案： D，即 $\frac{π}{4}$ 。

解析： 因为 $X, Y$ 相互独立，且均服从 $(0, 1)$ 上的均匀分布，所以联合概率密度为

f (x, y) = {1, 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1, 其他 .

因此，概率等于单位正方形内区域

x^{2} + y^{2} \leq 1

的面积。该区域是半径为 $1$ 的圆在第一象限内的四分之一圆，故

P {X^{2} + Y^{2} \leq 1} = \frac{1}{4} π \cdot 1^{2} = \frac{π}{4} .

A、B、C 均不是该四分之一圆的面积。

(X, Y) \sim N (1, 0; 1, 1, 0),

则 $P {X Y - Y < 0} =$ ______。

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答案： $\frac{1}{2}$ 。

解析： 由二维正态分布的参数可知

E (X) = 1, E (Y) = 0, D (X) = D (Y) = 1, ρ_{X Y} = 0.

二维正态变量不相关即相互独立，所以 $X$ 与 $Y$ 独立。

将事件化简为

{X Y - Y < 0} = {Y (X - 1) < 0} .

令

U = X - 1,

则 $U \sim N (0, 1)$ ，且 $U$ 与 $Y$ 相互独立。于是事件 $U Y < 0$ 表示 $U$ 与 $Y$ 异号。

由于两个独立标准正态随机变量取正、负值的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，故

P {U Y < 0} = P {U > 0, Y < 0} + P {U < 0, Y > 0} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} .

连续型随机变量取零的概率为零，因此无需另行处理边界 $U Y = 0$ 。

N (0, 0; 1, 4; - \frac{1}{2}),

随机变量中服从标准正态分布且与 $X$ 独立的是（　）

\frac{5}{5} (X + Y)

\frac{5}{5} (X - Y)

\frac{3}{3} (X + Y)

\frac{3}{3} (X - Y)

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答案： C。

解析： 由题设

E (X) = E (Y) = 0, D (X) = 1, D (Y) = 4, ρ_{X Y} = - \frac{1}{2} .

因此

Cov (X, Y) = ρ_{X Y} D (X) D (Y) = - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = - 1.

设 $W = a X + bY$ 。因为 $(X, Y)$ 为二维正态变量， $X$ 与 $W$ 也联合正态，所以 $X$ 与 $W$ 独立的充要条件是二者协方差为零：

Cov (X, W) = a D (X) + b Cov (X, Y) = a - b .

故必须有 $a = b$ ，即应选取 $X + Y$ 型，排除 B、D。

再计算

D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2 Cov (X, Y) = 1 + 4 + 2 (- 1) = 3.

所以

\frac{X + Y}{3} = \frac{3}{3} (X + Y) \sim N (0, 1),

且它与 $X$ 独立，故选 C。A 中系数为 $\frac{1}{5}$ ，不能把方差 $3$ 标准化为 $1$ 。