3.3 边缘分布及条件分布的计算

小题

1. 【1992-4-4 分】 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-y},& 0<x<y,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（1）求随机变量 $X$ 的概率密度 $f_X(x)$；

（2）求概率 $P\{X+Y\le 1\}$。

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答案： （1）

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x},& x>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（2）

$$P\{X+Y\le 1\}={\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right)}^2.$$

解析： （1）固定 $x$。由联合密度的非零条件 $0<x<y$ 可知，当 $x>0$ 时，$y$ 的积分范围为 $(x,+\infty )$。因此

$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy\\ & ={\int }_x^{+\infty }{e}^{-y}dy\\ & =e^{-x},x>0.\end{array}$$

当 $x\le 0$ 时，联合密度恒为零，故 $f_X(x)=0$。

还可校验

$${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx=1,$$

所以所得边缘密度满足归一性。

（2）事件区域同时满足

$$0<x<y,x+y\le 1.$$

由 $y>x$ 与 $y\le 1-x$ 得

$$0<x<\frac{1}{2},x<y\le 1-x.$$

于是

$$\begin{array}{rl}P\{X+Y\le 1\}& ={\int }_0^{\frac{1}{2}}{\int }_x^{1-x}{e}^{-y}dydx\\ & ={\int }_0^{\frac{1}{2}}\left(e^{-x}-e^{-(1-x)}\right)dx\\ & =\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right)-e^{-1}\left(e^{\frac{1}{2}}-1\right)\\ & =1-2e^{-\frac{1}{2}}+e^{-1}\\ & ={\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right)}^2.\end{array}$$

积分区域的上、下边界分别是直线 $y=1-x$ 与 $y=x$，两者交于 $x=\frac{1}{2}$。

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2. 【1998-1-3 分】 设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\frac{1}{x}$ 及直线 $y=0$、$x=1$、$x=e^2$ 所围成，二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，则 $(X,Y)$ 关于 $X$ 的边缘概率密度在 $x=2$ 处的值为多少？

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答案：

$$f_X(2)=\frac{1}{4}.$$

解析： 区域 $D$ 可表示为

$$D=\left\{(x,y):1\le x\le e^2,0\le y\le \frac{1}{x}\right\}.$$

其面积为

$$S_D={\int }_1^{e^2}\frac{1}{x}dx=\ln e^2-\ln 1=2.$$

由于 $(X,Y)$ 在 $D$ 上服从均匀分布，其联合概率密度为

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{S_D}=\frac{1}{2},& (x,y)\in D,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

对固定的 $x\in [1,e^2]$，有 $0\le y\le \frac{1}{x}$，故

$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy\\ & ={\int }_0^{\frac{1}{x}}\frac{1}{2}dy\\ & =\frac{1}{2x}.\end{array}$$

由于 $2\in [1,e^2]$，所以

$$f_X(2)=\frac{1}{2\times 2}=\frac{1}{4}.$$

错误做法通常是把联合密度误写为 $1$。均匀分布的密度应为区域面积的倒数，而本题区域面积为 $2$。

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3. 【2007-134-4 分】 设随机变量 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，且 $X$ 与 $Y$ 不相关，$f_X(x),f_Y(y)$ 分别表示 $X,Y$ 的概率密度，则在 $Y=y$ 的条件下，$X$ 的条件概率密度 $f_{X\mid Y}(x\mid y)$ 为（　）

A. $f_X(x)$    B. $f_Y(y)$    C. $f_X(x)f_Y(y)$    D. $\frac{f_X(x)}{f_Y(y)}$

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答案： A。

解析： 二维正态随机变量具有特殊性质：不相关等价于相互独立。因此由题设

$${\rho }_{XY}=0$$

可知 $X$ 与 $Y$ 相互独立，从而联合概率密度可以分解为

$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y).$$

当 $f_Y(y)>0$ 时，条件概率密度为

$$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{f_X(x)f_Y(y)}{f_Y(y)}=f_X(x).$$

故选择 A。

B 选项是 $Y$ 的边缘密度，不是 $X$ 的条件密度；C 选项是联合密度；D 选项既未使用联合密度，也通常不能满足密度归一性。

需要注意，“不相关推出独立”对一般随机变量并不成立，本题能够这样判断的关键条件是 $(X,Y)$ 服从二维正态分布。

大题

1. 【2001-1-7 分】 设某班车起点站上客人数 $X$ 服从参数为 $\lambda (\lambda >0)$ 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 $p(0<p<1)$，且中途下车与否相互独立。以 $Y$ 表示在中途下车的人数，求：

（1）在发车时有 $n$ 个乘客的条件下，中途有 $m$ 人下车的概率；

（2）二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布。

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答案： （1）当 $m=0,1,\dots ,n$ 时，

$$P\{Y=m\mid X=n\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)p^m(1-p{)}^{n-m}.$$

其余情形概率为 $0$。

（2）

$$P\{X=n,Y=m\}=\{\begin{array}{ll}{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^n}{n!}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)p^m(1-p{)}^{n-m},& n=0,1,\dots ,0\le m\le n,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

也可写成

$$P\{X=n,Y=m\}=\{\begin{array}{ll}{e}^{-\lambda }\frac{(\lambda p{)}^m}{m!}\frac{[\lambda (1-p){]}^{n-m}}{(n-m)!},& n\ge m\ge 0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

解析： （1）在条件 $X=n$ 下，共有 $n$ 位乘客，每位乘客独立地以概率 $p$ 在中途下车。因此

$$Y\mid (X=n)\sim B(n,p),$$

故

$$P\{Y=m\mid X=n\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)p^m(1-p{)}^{n-m},m=0,1,\dots ,n.$$

（2）由乘法公式，

$$P\{X=n,Y=m\}=P\{X=n\}P\{Y=m\mid X=n\}.$$

由于 $X\sim P(\lambda )$，

$$P\{X=n\}=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^n}{n!},n=0,1,2,\dots .$$

因此当 $0\le m\le n$ 时，

$$\begin{array}{rl}P\{X=n,Y=m\}& =e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^n}{n!}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)p^m(1-p{)}^{n-m}\\ & =e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^n}{n!}\frac{n!}{m!(n-m)!}{p}^m(1-p{)}^{n-m}\\ & =e^{-\lambda }\frac{(\lambda p{)}^m}{m!}\frac{[\lambda (1-p){]}^{n-m}}{(n-m)!}.\end{array}$$

当 $m>n$ 时，中途下车人数不可能超过发车时的总乘客数，故联合概率为 $0$。

由该联合分布还可以看出，下车人数 $Y$ 服从参数为 $\lambda p$ 的泊松分布，这就是泊松分布的“稀疏化”性质，但这不是本题求联合分布所必需的前提。

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2. 【2004-4-13 分】 设随机变量 $X$ 在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布，在 $X=x(0<x<1)$ 的条件下随机变量 $Y$ 在区间 $(0,x)$ 上服从均匀分布，求：

（1）随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度；

（2）$Y$ 的概率密度；

（3）概率 $P\{X+Y>1\}$。

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答案： （1）

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 0<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（2）

$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}-\ln y,& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（3）

$$P\{X+Y>1\}=1-\ln 2.$$

解析： （1）因为 $X\sim U(0,1)$，所以

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

在给定 $X=x$ 的条件下，$Y\sim U(0,x)$，故

$$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 0<y<x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

由联合密度与条件密度的关系，

$$f(x,y)=f_X(x)f_{Y\mid X}(y\mid x),$$

所以

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 0<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（2）固定 $y$。由 $0<y<x<1$ 可知，当 $0<y<1$ 时，$x$ 的取值范围为 $y<x<1$。因此

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx\\ & ={\int }_y^1\frac{1}{x}dx\\ & =\ln 1-\ln y\\ & =-\ln y.\end{array}$$

当 $y\notin (0,1)$ 时，$f_Y(y)=0$。

（3）在联合密度的支撑区域 $0<y<x<1$ 内，事件 $X+Y>1$ 等价于

$$y>1-x.$$

若要使区间 $(1-x,x)$ 非空，应有

$$1-x<x,$$

即 $x>\frac{1}{2}$。因此

$$\begin{array}{rl}P\{X+Y>1\}& ={\int }_{\frac{1}{2}}^1{\int }_{1-x}^x\frac{1}{x}dydx\\ & ={\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{2x-1}{x}dx\\ & ={\int }_{\frac{1}{2}}^1\left(2-\frac{1}{x}\right)dx\\ & =\left(2x-\ln x\right){|}_{\frac{1}{2}}^1\\ & =2-\left(1+\ln 2\right)\\ & =1-\ln 2.\end{array}$$

本题中联合密度并非常数。虽然 $X$ 本身服从均匀分布，但 $Y$ 的条件区间长度随 $x$ 改变，因此联合密度中出现因子 $\frac{1}{x}$。

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3. 【2009-3-11 分】 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x},& 0<y<x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（1）求条件概率密度 $f_{Y\mid X}(y\mid x)$；

（2）求条件概率 $P\{X\le 1\mid Y\le 1\}$。

查看答案与解析

答案： （1）

$$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& x>0,0<y<x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（2）

$$P\{X\le 1\mid Y\le 1\}=\frac{e-2}{e-1}.$$

解析： （1）先求 $X$ 的边缘概率密度。对 $x>0$，由 $0<y<x$ 得

$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy\\ & ={\int }_0^x{e}^{-x}dy\\ & =x{e}^{-x}.\end{array}$$

因此，当 $x>0$ 且 $0<y<x$ 时，

$$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{e^{-x}}{x{e}^{-x}}=\frac{1}{x}.$$

这说明在给定 $X=x$ 的条件下，$Y$ 在区间 $(0,x)$ 上服从均匀分布。

（2）由条件概率公式，

$$P\{X\le 1\mid Y\le 1\}=\frac{P\{X\le 1,Y\le 1\}}{P\{Y\le 1\}}.$$

在联合密度的支撑区域内，若 $X\le 1$，则

$$0<Y<X\le 1,$$

所以事件 $\{X\le 1\}$ 已经蕴含 $\{Y\le 1\}$。因此分子为

$$\begin{array}{rl}P\{X\le 1,Y\le 1\}& =P\{X\le 1\}\\ & ={\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx\\ & ={\left[-(x+1)e^{-x}\right]}_0^1\\ & =1-\frac{2}{e}.\end{array}$$

再求 $Y$ 的边缘密度。对 $y>0$，由 $y<x<+\infty$ 得

$$f_Y(y)={\int }_y^{+\infty }{e}^{-x}dx=e^{-y}.$$

故

$$P\{Y\le 1\}={\int }_0^1{e}^{-y}dy=1-\frac{1}{e}.$$

于是

$$\begin{array}{rl}P\{X\le 1\mid Y\le 1\}& =\frac{1-\frac{2}{e}}{1-\frac{1}{e}}\\ & =\frac{e-2}{e-1}.\end{array}$$

分母不能误写为 $1$，因为 $Y$ 的取值范围为 $(0,+\infty )$，事件 $\{Y\le 1\}$ 并非必然事件。

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4. 【2010-13-11 分】 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为

$$f(x,y)=A{e}^{-2x^2+2xy-y^2},-\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty .$$

求常数 $A$ 及条件概率密度 $f_{Y\mid X}(y\mid x)$。

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答案：

$$A=\frac{1}{\pi }.$$

$$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-(y-x{)}^2},-\infty <y<+\infty .$$

解析： 先将指数部分配方：

$$-2x^2+2xy-y^2=-x^2-(y-x{)}^2.$$

由概率密度的归一性，

$$\begin{array}{rl}1& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }A{e}^{-x^2-(y-x{)}^2}dydx\\ & =A{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-(y-x{)}^2}dy.\end{array}$$

对固定的 $x$，令 $u=y-x$，则

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-(y-x{)}^2}dy={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-u^2}du=\sqrt{\pi }.$$

又

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi },$$

故

$$1=A\pi ,$$

从而

$$A=\frac{1}{\pi }.$$

再求 $X$ 的边缘概率密度：

$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy\\ & =\frac{1}{\pi }{e}^{-x^2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-(y-x{)}^2}dy\\ & =\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2},-\infty <x<+\infty .\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{rl}{f}_{Y\mid X}(y\mid x)& =\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\\ & =\frac{\frac{1}{\pi }{e}^{-x^2-(y-x{)}^2}}{\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-(y-x{)}^2}.\end{array}$$

该条件密度是正态分布 $N\left(x,\frac{1}{2}\right)$ 的概率密度。容易误把方差写成 $1$；应与标准形式

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left[-\frac{(y-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right]$$

比较，得到 $\mu =x$，${\sigma }^2=\frac{1}{2}$。

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5. 【2011-3-11 分】 设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从区域 $G$ 上的均匀分布，其中 $G$ 是由 $x-y=0$、$x+y=2$ 与 $y=0$ 所围成的三角形区域。

（1）求 $X$ 的概率密度 $f_X(x)$；

（2）求条件密度函数 $f_{X\mid Y}(x\mid y)$。

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答案： （1）

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0<x<1,\\ 2-x,& 1\le x<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（2）

$$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2(1-y)},& 0<y<1,y<x<2-y,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

解析： 三条边界直线分别为

$$y=x,y=2-x,y=0.$$

它们围成的三角形顶点为

$$(0,0),(1,1),(2,0).$$

该三角形的面积为

$$S_G=\frac{1}{2}\times 2\times 1=1.$$

由于 $(X,Y)$ 在 $G$ 上服从均匀分布，故联合密度为

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& (x,y)\in G,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（1）固定 $x$，分两段确定 $y$ 的取值范围。

当 $0<x<1$ 时，上边界为 $y=x$，所以

$$0<y<x.$$

故

$$f_X(x)={\int }_0^{x}1dy=x.$$

当 $1\le x<2$ 时，上边界为 $y=2-x$，所以

$$0<y<2-x.$$

故

$$f_X(x)={\int }_0^{2-x}1dy=2-x.$$

因此

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0<x<1,\\ 2-x,& 1\le x<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（2）固定 $y$。当 $0<y<1$ 时，由

$$y\le x,x+y\le 2$$

可得

$$y<x<2-y.$$

先求 $Y$ 的边缘密度：

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& ={\int }_y^{2-y}1dx\\ & =2-2y\\ & =2(1-y),0<y<1.\end{array}$$

于是

$$\begin{array}{rl}{f}_{X\mid Y}(x\mid y)& =\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\\ & =\frac{1}{2(1-y)},0<y<1,y<x<2-y.\end{array}$$

给定 $Y=y$ 后，$X$ 在区间 $(y,2-y)$ 上服从均匀分布。条件密度的分母应为该水平截线的长度 $2-2y$，不能误用三角形总面积。

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6. 【2013-3-11 分】 设 $(X,Y)$ 是二维随机变量，$X$ 的边缘概率密度

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

在给定 $X=x(0<x<1)$ 的条件下，$Y$ 的条件概率密度为

$$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3y^2}{x^3},& 0<y<x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（1）求 $(X,Y)$ 的概率密度 $f(x,y)$；

（2）求 $Y$ 的边缘概率密度 $f_Y(y)$；

（3）求 $P\{X>2Y\}$。

查看答案与解析

答案： （1）

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{9y^2}{x},& 0<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（2）

$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}-9y^2\ln y,& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（3）

$$P\{X>2Y\}=\frac{1}{8}.$$

解析： （1）由联合密度、边缘密度与条件密度之间的关系

$$f(x,y)=f_{Y\mid X}(y\mid x)f_X(x),$$

在 $0<y<x<1$ 上有

$$\begin{array}{rl}f(x,y)& =\frac{3y^2}{x^3}\cdot 3x^2\\ & =\frac{9y^2}{x}.\end{array}$$

故

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{9y^2}{x},& 0<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（2）固定 $y$。由联合密度的支撑区域 $0<y<x<1$ 可知，当 $0<y<1$ 时，

$$y<x<1.$$

于是

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& ={\int }_y^1\frac{9y^2}{x}dx\\ & =9y^2{\left[\ln x\right]}_y^1\\ & =-9y^2\ln y.\end{array}$$

由于 $0<y<1$ 时 $\ln y<0$，故 $-9y^2\ln y>0$，符合概率密度非负性的要求。

（3）事件 $\{X>2Y\}$ 与支撑区域 $0<Y<X<1$ 的交集可写为

$$0<x<1,0<y<\frac{x}{2}.$$

因此

$$\begin{array}{rl}P\{X>2Y\}& ={\int }_0^1{\int }_0^{x/2}\frac{9y^2}{x}dydx\\ & ={\int }_0^1\frac{9}{x}{\left[\frac{y^3}{3}\right]}_0^{x/2}dx\\ & ={\int }_0^1\frac{9}{x}\cdot \frac{x^3}{24}dx\\ & =\frac{3}{8}{\int }_0^1{x}^{2}dx\\ & =\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{3}\\ & =\frac{1}{8}.\end{array}$$

积分区域也可写成 $0<y<\frac{1}{2}$、$2y<x<1$。关键是同时满足原支撑条件 $0<y<x<1$ 与事件条件 $x>2y$。