3.1 联合分布的计算

大题

1. 【1990-5-6 分】 甲乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为 $0.2$，乙的命中率为 $0.5$，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示甲和乙的命中次数，试求 $X$ 和 $Y$ 的联合概率分布。

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答案：

$$\begin{array}{ccccc}X\backslash Y& 0& 1& 2& P\{X=x\}\\ 0& 0.16& 0.32& 0.16& 0.64\\ 1& 0.08& 0.16& 0.08& 0.32\\ 2& 0.01& 0.02& 0.01& 0.04\\ P\{Y=y\}& 0.25& 0.50& 0.25& 1\end{array}$$

解析： 甲、乙各射击两次，故

$$X\sim B(2,0.2),Y\sim B(2,0.5).$$

甲命中 $x$ 次的概率为

$$P\{X=x\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x}\right)(0.2{)}^x(0.8{)}^{2-x},x=0,1,2.$$

因此

$$P\{X=0\}=0.8^2=0.64,$$$$P\{X=1\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)(0.2)(0.8)=0.32,$$$$P\{X=2\}=0.2^2=\mathrm{0.04.}$$

同理，乙命中 $y$ 次的概率为

$$P\{Y=y\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{y}\right)(0.5{)}^y(0.5{)}^{2-y},y=0,1,2,$$

从而

$$P\{Y=0\}=0.25,P\{Y=1\}=0.50,P\{Y=2\}=\mathrm{0.25.}$$

由于甲、乙两人的射击相互独立，随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，所以

$$P\{X=x,Y=y\}=P\{X=x\}P\{Y=y\}.$$

将两个边缘分布中的概率逐项相乘，即得到上表。例如

$$P\{X=1,Y=2\}=0.32\times 0.25=\mathrm{0.08.}$$

本题关键是先分别确定两个二项分布，再利用独立性求联合分布；不能把“甲乙独立”误解为命中次数只能取相同或不同的某一类组合。

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2. 【2009-13-11 分】 袋中有 $1$ 个红球、$2$ 个黑球与 $3$ 个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以 $X,Y,Z$ 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。

（1）求 $P\{X=1\mid Z=0\}$；

（2）求二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布。

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答案： （1）

$$P\{X=1\mid Z=0\}=\frac{4}{9}.$$

（2）

$$\begin{array}{ccccc}X\backslash Y& 0& 1& 2& P\{X=x\}\\ 0& \frac{1}{4}& \frac{1}{3}& \frac{1}{9}& \frac{25}{36}\\ 1& \frac{1}{6}& \frac{1}{9}& 0& \frac{5}{18}\\ 2& \frac{1}{36}& 0& 0& \frac{1}{36}\\ P\{Y=y\}& \frac{4}{9}& \frac{4}{9}& \frac{1}{9}& 1\end{array}$$

解析： 每次取到红、黑、白球的概率分别为

$$p_R=\frac{1}{6},p_B=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},p_W=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$

由于是有放回抽取，两次取球相互独立。

（1）事件 $Z=0$ 表示两次均未取到白球。给定一次取球不是白球后，取到红球和黑球的条件概率分别为

$$P\{R\mid \overline{W}\}=\frac{P(R)}{P(\overline{W})}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3},$$$$P\{B\mid \overline{W}\}=\frac{2}{3}.$$

在 $Z=0$ 的条件下，$X$ 服从参数为 $n=2,p=\frac{1}{3}$ 的二项分布。因此

$$P\{X=1\mid Z=0\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)\frac{1}{3}\frac{2}{3}=\frac{4}{9}.$$

也可直接用条件概率公式验证：

$$P\{X=1,Z=0\}=2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9},$$$$P\{Z=0\}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4},$$

故

$$P\{X=1\mid Z=0\}=\frac{P\{X=1,Z=0\}}{P\{Z=0\}}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{4}}=\frac{4}{9}.$$

（2）由于每次取球只可能得到一种颜色，且共取两次，所以

$$X+Y+Z=2,$$

从而 $X,Y$ 只能取满足 $x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 2$ 的整数值。由多项分布公式，

$$P\{X=x,Y=y\}=\frac{2!}{x!y!(2-x-y)!}{\left(\frac{1}{6}\right)}^x{\left(\frac{1}{3}\right)}^y{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2-x-y}.$$

例如

$$P\{X=1,Y=1\}=\frac{2!}{1!1!0!}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9},$$$$P\{X=0,Y=1\}=\frac{2!}{0!1!1!}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}.$$

其余概率同理可得，且表中全部联合概率之和为 $1$。当 $x+y>2$ 时，由于两次取球不可能得到超过两个红、黑球，故相应联合概率为 $0$。

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3. 【2014-3-11 分】 设随机变量 $X,Y$ 的概率分布相同，$X$ 的概率分布为

$$P\{X=0\}=\frac{1}{3},P\{X=1\}=\frac{2}{3},$$

且 $X,Y$ 的相关系数 ${\rho }_{XY}=\frac{1}{2}$。

（1）求 $(X,Y)$ 的概率分布；

（2）求 $P\{X+Y\le 1\}$。

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答案： （1）

$$\begin{array}{cccc}X\backslash Y& 0& 1& P\{X=x\}\\ 0& \frac{2}{9}& \frac{1}{9}& \frac{1}{3}\\ 1& \frac{1}{9}& \frac{5}{9}& \frac{2}{3}\\ P\{Y=y\}& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}& 1\end{array}$$

（2）

$$P\{X+Y\le 1\}=\frac{4}{9}.$$

解析： 因为 $X,Y$ 同分布，所以

$$EX=EY=0\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}.$$

又因 $X^2=X$，故

$$E(X^2)=EX=\frac{2}{3},$$

于是

$$DX=DY=E(X^2)-(EX{)}^2=\frac{2}{3}-\frac{4}{9}=\frac{2}{9}.$$

由相关系数公式

$${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DXDY}}=\frac{1}{2},$$

可得

$$\mathrm{Cov}(X,Y)={\rho }_{XY}\sqrt{DXDY}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{9}=\frac{1}{9}.$$

而

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-EXEY,$$

所以

$$E(XY)=\mathrm{Cov}(X,Y)+EXEY=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.$$

由于 $X,Y$ 只取 $0,1$，仅当 $X=1,Y=1$ 时才有 $XY=1$，故

$$P\{X=1,Y=1\}=E(XY)=\frac{5}{9}.$$

再利用边缘概率，

$$P\{X=1,Y=0\}=P\{X=1\}-P\{X=1,Y=1\}=\frac{2}{3}-\frac{5}{9}=\frac{1}{9},$$$$P\{X=0,Y=1\}=P\{Y=1\}-P\{X=1,Y=1\}=\frac{1}{9},$$$$P\{X=0,Y=0\}=1-\frac{5}{9}-\frac{1}{9}-\frac{1}{9}=\frac{2}{9}.$$

因此得到上述联合分布。

（2）事件 $X+Y\le 1$ 包含 $(0,0),(0,1),(1,0)$ 三种情形，所以

$$\begin{array}{rl}P\{X+Y\le 1\}& =P\{X=0,Y=0\}+P\{X=0,Y=1\}+P\{X=1,Y=0\}\\ & =\frac{2}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\\ & =\frac{4}{9}.\end{array}$$

也可利用对立事件简算：

$$P\{X+Y\le 1\}=1-P\{X=1,Y=1\}=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}.$$

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4. 【1995-4-8 分】 已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度函数为

$$\phi (x,y)=\{\begin{array}{ll}4xy,& 0\le x\le 1,0\le y\le 1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

求 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数 $F(x,y)$。

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答案：

$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 0\text{ 或 }y\le 0,\\ x^2{y}^2,& 0<x\le 1,0<y\le 1,\\ y^2,& x>1,0<y\le 1,\\ x^2,& 0<x\le 1,y>1,\\ 1,& x>1,y>1.\end{array}$$

解析： 联合分布函数的定义为

$$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^y\phi (u,v)dvdu.$$

联合密度只在单位正方形

$$D=\{(u,v)\mid 0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$$

上非零，因此需要根据点 $(x,y)$ 与单位正方形的位置关系分段讨论。

当 $x\le 0$ 或 $y\le 0$ 时，积分区域与密度的非零区域没有正面积的交集，故

$$F(x,y)=0.$$

当 $0<x\le 1,0<y\le 1$ 时，

$$\begin{array}{rl}F(x,y)& ={\int }_0^x{\int }_0^{y}4uvdvdu\\ & ={\int }_0^{x}2u{y}^{2}du\\ & =x^2{y}^2.\end{array}$$

当 $x>1,0<y\le 1$ 时，横向已经覆盖密度非零区域的全部范围，故

$$\begin{array}{rl}F(x,y)& ={\int }_0^1{\int }_0^{y}4uvdvdu\\ & =y^2.\end{array}$$

当 $0<x\le 1,y>1$ 时，同理

$$F(x,y)={\int }_0^x{\int }_0^{1}4uvdvdu=x^2.$$

当 $x>1,y>1$ 时，积分区域覆盖全部概率密度的支撑区域，故

$$F(x,y)=1.$$

检验可知，在 $0<x<1,0<y<1$ 内有

$$\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=4xy=\phi (x,y),$$

且 $F(+\infty ,+\infty )=1$，所以所得联合分布函数正确。

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5. 【2020-1-11 分】 设随机变量 $X_1,X_2,X_3$ 相互独立，$X_1$ 和 $X_2$ 均服从标准正态分布，$X_3$ 的概率分布为

$$P\{X_3=0\}=P\{X_3=1\}=\frac{1}{2},$$

且

$$Y=X_3{X}_1+(1-X_3)X_2.$$

（1）求二维随机变量 $(X_1,Y)$ 的分布函数，结果用标准正态分布函数 $\Phi (x)$ 表示；

（2）证明随机变量 $Y$ 服从标准正态分布。

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答案： （1）

$$F_{X_1,Y}(x,y)=\frac{1}{2}\Phi (\min \{x,y\})+\frac{1}{2}\Phi (x)\Phi (y).$$

等价地，

$$F_{X_1,Y}(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\Phi (x)+\frac{1}{2}\Phi (x)\Phi (y),& x\le y,\\ \frac{1}{2}\Phi (y)+\frac{1}{2}\Phi (x)\Phi (y),& x>y.\end{array}$$

（2）

$$Y\sim N(0,1).$$

解析： 由 $X_3$ 的取值可知

$$Y=\{\begin{array}{ll}{X}_2,& X_3=0,\\ X_1,& X_3=1.\end{array}$$

（1）根据二维分布函数的定义，

$$F_{X_1,Y}(x,y)=P\{X_1\le x,Y\le y\}.$$

对事件 $\{X_3=0\}$ 与 $\{X_3=1\}$ 使用全概率公式，得

$$\begin{array}{rl}{F}_{X_1,Y}(x,y)=& P\{X_1\le x,Y\le y\mid X_3=0\}P\{X_3=0\}\\ & +P\{X_1\le x,Y\le y\mid X_3=1\}P\{X_3=1\}.\end{array}$$

当 $X_3=0$ 时，$Y=X_2$。由于 $X_1$ 与 $X_2$ 独立，

$$P\{X_1\le x,Y\le y\mid X_3=0\}=P\{X_1\le x,X_2\le y\}=\Phi (x)\Phi (y).$$

当 $X_3=1$ 时，$Y=X_1$，故

$$\begin{array}{rl}P\{X_1\le x,Y\le y\mid X_3=1\}& =P\{X_1\le x,X_1\le y\}\\ & =P\{X_1\le \min (x,y)\}\\ & =\Phi (\min \{x,y\}).\end{array}$$

因此

$$F_{X_1,Y}(x,y)=\frac{1}{2}\Phi (x)\Phi (y)+\frac{1}{2}\Phi (\min \{x,y\}).$$

当 $x\le y$ 时，$\min \{x,y\}=x$；当 $x>y$ 时，$\min \{x,y\}=y$，于是得到答案中的分段表达式。

需要注意：$X_1$ 与 $Y$ 一般不独立。事实上，在 $X_3=1$ 时有 $Y=X_1$，因此联合分布中含有落在直线 $y=x$ 上的概率成分，不能简单写成两个边缘分布函数的乘积。

（2）令 $x\to +\infty$，由二维分布函数得到 $Y$ 的边缘分布函数：

$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& =\underset{x\to +\infty }{\lim }{F}_{X_1,Y}(x,y)\\ & =\frac{1}{2}\Phi (y)+\frac{1}{2}\Phi (+\infty )\Phi (y)\\ & =\frac{1}{2}\Phi (y)+\frac{1}{2}\Phi (y)\\ & =\Phi (y).\end{array}$$

因此 $Y$ 的分布函数与标准正态分布函数相同，故

$$Y\sim N(0,1).$$

也可直接由全概率公式说明：对任意实数 $y$，

$$\begin{array}{rl}P\{Y\le y\}& =\frac{1}{2}P\{X_2\le y\}+\frac{1}{2}P\{X_1\le y\}\\ & =\frac{1}{2}\Phi (y)+\frac{1}{2}\Phi (y)\\ & =\Phi (y).\end{array}$$