二、积分与路径无关的讨论

小题

**【1993-12-3 分】**设曲线积分 $\displaystyle \int_{L}[f(x)-e^{x}]\sin y \mathrm{d}x-f(x)\cos y \mathrm{d}y$ 与路径无关，其中 $\displaystyle f(x)$ 具有一阶连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 等于（） A. $\displaystyle \dfrac{e^{-x}-e^{x}}{2}$ B. $\displaystyle \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ C. $\displaystyle \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}-1$ D. $\displaystyle 1-\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
**【2017-1-4 分】**若 $\displaystyle \int_{L} \dfrac{x \mathrm{d}x-a y \mathrm{d}y}{x^{2}+y^{2}-1}$ 在区域 $\displaystyle D:x^{2}+y^{2}<1$ 内与路径无关，则 $\displaystyle a=$
**【2019-1-4 分】**设函数 $\displaystyle Q(x,y)=\dfrac{x}{y^{2}}$ ，如果对上半平面 $\displaystyle (y>0)$ 内的任意有向光滑封闭曲线 $\displaystyle C$ 都有 $\displaystyle \oint_{C} P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0$ ，那么 $\displaystyle P(x,y)$ 可取为（） A. $\displaystyle y-\dfrac{x^{2}}{y^{3}}$ B. $\displaystyle \dfrac{1}{y}-\dfrac{x^{2}}{y^{3}}$ C. $\displaystyle \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}$ D. $\displaystyle x-\dfrac{1}{y}$

【1989-12-5 分】 $\displaystyle \varphi(x)$ 具有连续导数， $\displaystyle \varphi(0)=0$ ， $\displaystyle \int_{C} x y^{2}\mathrm{d}x+y \varphi(x)\mathrm{d}y$ 与路径无关，计算 $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(1,1)} x y^{2}\mathrm{d}x+y \varphi(x)\mathrm{d}y$ 。

**【1996-12-3 分】**已知 $\displaystyle \dfrac{(x+a y)\mathrm{d}x+y \mathrm{d}y}{(x+y)^{2}}$ 为某函数的全微分，则 $\displaystyle a$ 等于（） A. $\displaystyle -1$ B. $\displaystyle 0$ C. $\displaystyle 1$ D. $\displaystyle 2$

**【2005-1-12 分】**设函数 $\displaystyle \varphi(y)$ 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭合曲线 $\displaystyle L$ 上，曲线积分 $\oint_{L} \dfrac{\varphi(y) \mathrm{d}x+2 x y \mathrm{d}y}{2 x^{2}+y^{4}}$ 的值恒为同一常数。 (Ⅰ)证明：对右半平面 $\displaystyle x>0$ 内的任意分段光滑简单闭曲线 $\displaystyle C$ ，有 $\oint_{C} \dfrac{\varphi(y) \mathrm{d}x+2 x y \mathrm{d}y}{2 x^{2}+y^{4}}=0$ (Ⅱ)求函数 $\displaystyle \varphi(y)$ 的表达式。
**【2006-1-12 分】**设在上半平面 $\displaystyle D=\{(x,y)\mid y>0\}$ 内，函数 $\displaystyle f(x,y)$ 具有连续偏导数，且对任意 $\displaystyle t>0$ 都有 $\displaystyle f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)$ ，证明：对 $\displaystyle D$ 内任意分段光滑的有向简单闭合曲线 $\displaystyle L$ ，都有 $\oint_{L} y f(x,y)\mathrm{d}x-x f(x,y)\mathrm{d}y=0$

**【1995-12-8 分】**设函数 $\displaystyle Q(x,y)$ 在 $\displaystyle xOy$ 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 $\displaystyle \int_{L} 2 x y \mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$ 与路径无关，并且对任意 $\displaystyle t$ 恒有 $\int_{(0,0)}^{(t,1)} 2 x y \mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=\int_{(0,0)}^{(1,t)} 2 x y \mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$ 求 $\displaystyle Q(x,y)$ 。
**【2002-1-8 分】**设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数， $\displaystyle L$ 是上半平面 $\displaystyle (y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，起点为 $\displaystyle (a,b)$ ，终点为 $\displaystyle (c,d)$ 。记 $I=\int_{L} \dfrac{1}{y}\left[1+y^{2} f(x y)\right]\mathrm{d}x+\dfrac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right]\mathrm{d}y$ (1)证明曲线积分 $\displaystyle I$ 与路径 $\displaystyle L$ 无关； (2)当 $\displaystyle ab=cd$ 时，求 $\displaystyle I$ 的值。

**【1994-12-9 分】**设 $\displaystyle f(x)$ 具有二阶连续导数， $\displaystyle f(0)=0,f'(0)=1$ ，且 $[x y(x+y)-f(x) y]\mathrm{d}x+\left[f'(x)+x^{2} y\right]\mathrm{d}y=0$ 为一全微分方程，求 $\displaystyle f(x)$ 及此全微分方程的通解。
**【1998-1-6 分】**确定常数 $\displaystyle \lambda$ ，使在右半平面 $\displaystyle x>0$ 上的向量 $\vec{A}(x,y)=2 x y(x^{4}+y^{2})^{\lambda} \vec{i}-x^{2}(x^{4}+y^{2})^{\lambda} \vec{j}$ 为某二元函数 $\displaystyle u(x,y)$ 的梯度，并求 $\displaystyle u(x,y)$ 。
**【2016-1-10 分】**设函数 $\displaystyle f(x,y)$ 满足 $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}=(2x+1)e^{2x-y}$ 且 $\displaystyle f(0,y)=y+1$ ， $\displaystyle L_t$ 是从 $\displaystyle (0,0)$ 到 $\displaystyle (t,1)$ 的光滑曲线，计算 $I(t)=\int_{L_{t}} \dfrac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y$ 并求 $\displaystyle I(t)$ 的最小值。