一、第二类曲线积分的计算(二维)

小题

（一）化为定积分

1. **【1987-12-3 分】**设 $\displaystyle L$ 为取正向的圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=9$，则曲线积分 $\displaystyle \oint_{L}(2 x y-2 y) \mathrm{d}x+(x^{2}-4 x) \mathrm{d}y$ 的值是

2. **【2004-1-4 分】**设 $\displaystyle L$ 为正向圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2$ 在第一象限中的部分，则曲线积分 $\displaystyle \int_{L} x \mathrm{d}y-2 y \mathrm{d}x$ 的值为

3. **【2007-1-4 分】**设曲线 $\displaystyle L: f(x, y)=1$（$\displaystyle f(x,y)$ 具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点 $\displaystyle M$ 和第Ⅳ象限内的点 $\displaystyle N$，$\displaystyle \Gamma$ 为 $\displaystyle L$ 上从点 $\displaystyle M$ 到点 $\displaystyle N$ 的一段弧，则下列小于零的是（） A. $\displaystyle \int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d}x$ B. $\displaystyle \int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d}y$ C. $\displaystyle \int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d}s$ D. $\displaystyle \int_{\Gamma} f_{x}'(x, y) \mathrm{d}x+f_{y}'(x, y) \mathrm{d}y$

4. **【2010-1-4 分】**已知曲线 $\displaystyle L$ 的方程为 $\displaystyle y=1-|x|,\ x\in[-1,1]$，起点是$\displaystyle (-1,0)$，终点是$\displaystyle (1,0)$，则 $\displaystyle \int_{L} x y \mathrm{d}x+x^{2} \mathrm{d}y=$

（二）运用格林公式：直接运用

1. **【2013-1-4 分】**设 $\displaystyle L_{1}:x^{2}+y^{2}=1,\ L_{2}:x^{2}+y^{2}=2,\ L_{3}:x^{2}+2y^{2}=2,\ L_{4}:2x^{2}+y^{2}=2$ 为四条逆时针方向的平面曲线，记 $I_{i}=\oint_{L_{i}}\left(y+\dfrac{y^{3}}{6}\right)\mathrm{d}x+\left(2x-\dfrac{x^{3}}{3}\right)\mathrm{d}y\ (i=1,2,3,4)$ 则 $\displaystyle \max\{I_{1},I_{2},I_{3},I_{4}\}=$（） A. $\displaystyle I_1$    B. $\displaystyle I_2$    C. $\displaystyle I_3$    D. $\displaystyle I_4$

（三）运用格林公式：补线

1. **【1999-1-5 分】**求 $I=\int_{L}(e^{x}\sin y-b(x+y))\mathrm{d}x+(e^{x}\cos y-a x)\mathrm{d}y$ 其中，$\displaystyle b$ 为正的常数，$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(2a,0)$ 沿曲线 $\displaystyle y=\sqrt{2 a x-x^{2}}$ 到点 $\displaystyle O(0,0)$ 的弧。

2. **【2025-1-5 分】**已知有向曲线 $\displaystyle L$ 是沿抛物线 $\displaystyle y=1-x^{2}$ 从点$\displaystyle (-1,0)$到$\displaystyle (1,0)$的线段，则 $\int_{L}(y+\cos x)\mathrm{d}x+(2x+\cos y)\mathrm{d}y=$

大题

（一）化为定积分

1. **【1988-12-9 分】**设位于点$\displaystyle (0,1)$ 的质点 $\displaystyle A$ 对质点 $\displaystyle M$ 的引力大小为 $\displaystyle \dfrac{k}{r^{2}}(k>0$ 为常数，$\displaystyle r$ 为质点 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle M$ 之间的距离)，质点 $\displaystyle M$ 沿曲线 $\displaystyle y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 自 $\displaystyle B(2,0)$ 运动到 $\displaystyle O(0,0)$。求在此运动过程中质点 $\displaystyle A$ 对质点 $\displaystyle M$ 所做的功。

2. **【1991-12-6 分】**在过点 $\displaystyle O(0,0)$ 和 $\displaystyle A(\pi,0)$ 的所有曲线 $\displaystyle y=a \sin x(a>0)$ 中，求一条曲线 $\displaystyle L$，使沿该曲线从 $\displaystyle O$ 到 $\displaystyle A$ 的积分 $\displaystyle \int_{L}(1+y^{3}) \mathrm{d}x+(2 x+y) \mathrm{d}y$ 的值最小。

3. **【2008-1-9 分】**计算 $\displaystyle \int_{L} \sin2x \mathrm{d}x+2(x^{2}-1)y \mathrm{d}y$，其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle y=\sin x$ 上从$\displaystyle (0,0)$到$\displaystyle (\pi,0)$的一段。

（二）运用格林公式：直接运用

1. 【2021-1-12 分】$\displaystyle D \subset \mathbb{R}^{2}$ 为有界闭区域，$\displaystyle I(D)=\iint_{D}(4-x^{2}-y^{2}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ (Ⅰ)求使$\displaystyle I(D)$最大的区域$\displaystyle D_1$； (Ⅱ)计算 $\displaystyle \partial D_{1}$ 正向边界： $\int_{\partial D_{1}} \dfrac{(x e^{x^{2}+4 y^{2}}-y)\mathrm{d}x+(4 y e^{x^{2}+4 y^{2}}+x)\mathrm{d}y}{x^{2}+4 y^{2}}$

（三）运用格林公式：补线

1. **【2012-1-10 分】**已知 $\displaystyle L$ 是第一象限中从点$\displaystyle (0,0)$沿圆周$\displaystyle x^{2}+y^{2}=2x$到点$\displaystyle (2,0)$，再沿圆周$\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$到点$\displaystyle (0,2)$的曲线段，计算 $I=\int_{L} 3 x^{2} y \mathrm{d}x+(x^{3}+x-2 y)\mathrm{d}y$

（四）运用格林公式：挖洞

1. 【2000-1-6 分】$\displaystyle L$ 是以点$\displaystyle (1,0)$为中心，$\displaystyle R>1$ 为半径的圆周，逆时针方向，计算 $I=\oint_{L} \dfrac{x \mathrm{d}y-y \mathrm{d}x}{4 x^{2}+y^{2}}$

2. 【2020-1-10 分】$\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2$，逆时针方向，计算 $I=\int_{L} \dfrac{4 x-y}{4 x^{2}+y^{2}} \mathrm{d}x+\dfrac{x+y}{4 x^{2}+y^{2}} \mathrm{d}y$

（五）运用格林公式：综合应用

1. **【2003-1-10 分】**已知平面区域 $\displaystyle D=\{(x,y)\mid 0 \le x \le \pi,0 \le y \le \pi\}$，$\displaystyle L$ 为 $\displaystyle D$ 的正向边界。试证：

(1)&\oint_{L} x e^{\sin y} \mathrm{d}y-y e^{-\sin x} \mathrm{d}x=\oint_{L} x e^{-\sin y} \mathrm{d}y-y e^{\sin x} \mathrm{d}x;\\ (2)&\oint_{L} x e^{\sin y} \mathrm{d}y-y e^{-\sin x} \mathrm{d}x \ge 2 \pi^{2}. \end{aligned}$$