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二、第一类曲面积分的计算

小题​

（一）化为二重积分​

  1. **【2012-1-4 分】**设 Σ:{(x,y,z)∣x+y+z=1,x≥0,y≥0,z≥0}\displaystyle \Sigma: \{(x, y, z) \mid x+y+z=1,x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\}，则 ∬Σy2dS=\displaystyle \iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{d}S=

（二）运用对称性：奇偶性​

无例题

（三）运用对称性：轮换对称性​

  1. **【2000-1-3 分】**设 S:x2+y2+z2=a2(z≥0)\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(z \ge 0)，S1\displaystyle S_{1} 为 S\displaystyle S 在第一象限中的部分，则（） A. ∬SxdS=4∬S1xdS\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{d}S=4 \iint_{S_{1}} x \mathrm{d}S B. ∬SydS=4∬S1xdS\displaystyle \iint_{S} y \mathrm{d}S=4 \iint_{S_{1}} x \mathrm{d}S C. ∬SzdS=4∬S1xdS\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{d}S=4 \iint_{S_{1}} x \mathrm{d}S D. ∬SxyzdS=4∬S1xyzdS\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{d}S=4 \iint_{S_{1}} x y z \mathrm{d}S

  2. **【2007-1-4 分】**设曲面 Σ:∣x∣+∣y∣+∣z∣=1\displaystyle \Sigma:|x|+|y|+|z|=1，则 ∯Σ(x+∣y∣)dS=\displaystyle \mathop{∯}_{\Sigma}(x+|y|) \mathrm{d}S=

大题​

（一）化为二重积分​

  1. **【1989-12-9 分】**设半径为 R\displaystyle R 的球面 Σ\displaystyle \Sigma 的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a>0)\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0) 上，问当 R\displaystyle R 取何值时，球面 Σ\displaystyle \Sigma 在定球面内部的那部分的面积最大。

  2. **【1995-12-6 分】**计算曲面积分 ∬ΣzdS\displaystyle \iint_{\Sigma} z \mathrm{d}S，其中 Σ\displaystyle \Sigma 为锥面 z=x2+y2\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} 在柱体 x2+y2≤2x\displaystyle x^{2}+y^{2} \le 2 x 内的部分。

  3. **【1999-1-7 分】**设 S\displaystyle S 为椭球面 x22+y22+z2=1\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{2}+z^{2}=1 的上半部分，点 P(x,y,z)∈S\displaystyle P(x, y, z) \in S，π\displaystyle \pi 为 S\displaystyle S 在点 P\displaystyle P 处的切平面，ρ(x,y,z)\displaystyle \rho(x, y, z) 为点 O(0,0,0)\displaystyle O(0,0,0) 到平面 π\displaystyle \pi 的距离，求 ∬Szρ(x,y,z)dS\displaystyle \iint_{S} \dfrac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d}S。

  4. **【2001-1-8 分】**设有一高度为 h(t)\displaystyle h(t)（t\displaystyle t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 z=h(t)−2(x2+y2)h(t)\displaystyle z=h(t)-\dfrac{2(x^{2}+y^{2})}{h(t)}（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数0.9\displaystyle 0.9），问高度为130\displaystyle 130（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？

  5. **【2010-1-10 分】**设 P\displaystyle P 为椭球面 S:x2+y2+z2−yz=1\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-y z=1 上的动点，若 S\displaystyle S 在点 P\displaystyle P 处的切平面与 xOy\displaystyle xOy 面垂直，求点 P\displaystyle P 的轨迹 C\displaystyle C，并计算曲面积分 I=∬Σ(x+3)∣y−2z∣4+y2+z2−4yzdSI=\iint_{\Sigma} \dfrac{(x+\sqrt{3})|y-2 z|}{\sqrt{4+y^{2}+z^{2}-4 y z}} \mathrm{d}S 其中 Σ\displaystyle \Sigma 是椭球面 S\displaystyle S 位于曲线 C\displaystyle C 上方的部分。

  6. **【2017-1-10 分】**设薄片型物体 S\displaystyle S 是圆锥面 z=x2+y2\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} 被柱面 z2=2x\displaystyle z^{2}=2 x 割下的有限部分，其上任一点的密度为 μ(x,y,z)=9x2+y2+z2\displaystyle \mu(x, y, z)=9 \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}，记圆锥面与柱面的交线为 C\displaystyle C (Ⅰ)求 C\displaystyle C 在 xOy\displaystyle xOy 平面上的投影曲线的方程； (Ⅱ)求 S\displaystyle S 的质量 M\displaystyle M。

  7. **【2019-1-10 分】**设 a,b\displaystyle a,b 为实数，函数 z=2+ax2+by2\displaystyle z=2+a x^{2}+b y^{2} 在点(3,4)\displaystyle (3,4) 处的方向导数中，沿方向 l⃗=−3i⃗−4j⃗\displaystyle \vec{l}=-3 \vec{i}-4 \vec{j} 的方向导数最大，最大值为10\displaystyle 10。 (1)求 a,b\displaystyle a,b； (2)求曲面 z=2+ax2+by2 (z≥0)\displaystyle z=2+a x^{2}+b y^{2}\ (z \ge 0) 的面积。