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一、第一类曲线积分的计算

小题​

（一）化为定积分​

  1. **【1989-12-3 分】**设平面曲线 L\displaystyle L 为下半圆 y=−1−x2\displaystyle y=-\sqrt{1-x^{2}}，则曲线积分 ∫L(x2+y2)ds=\displaystyle \int_{L}(x^{2}+y^{2}) \mathrm{d}s=

  2. **【2009-1-4 分】**已知曲线 L:y=x2(0≤x≤2)\displaystyle L: y=x^{2}(0 \le x \le \sqrt{2})，则 ∫Lxds=\displaystyle \int_{L} x \mathrm{d}s=

（二）运用对称性：奇偶性​

  1. **【1998-1-3 分】**设 L\displaystyle L 为椭圆 x24+y23=1\displaystyle \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1，其周长记为 a\displaystyle a，则 ∮L(2xy+3x2+4y2)ds=\oint_{L}\left(2 x y+3 x^{2}+4 y^{2}\right) \mathrm{d}s=

（三）运用对称性：轮换对称性​

  1. **【2018-1-4 分】**设 L\displaystyle L 为球面 x2+y2+z2=1\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 与平面 x+y+z=0\displaystyle x+y+z=0 的交线，则 ∮Lxyds=\displaystyle \oint_{L} x y \mathrm{d}s=

大题​

（一）化为定积分​

  1. **【1989-2-6 分】**求八分之一球面 x2+y2+z2=R2\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}，x≥0,y≥0,z≥0\displaystyle x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0 的边界曲线的重心，设曲线的线密度 ρ=1\displaystyle \rho=1。

  2. **【1990-12-8 分】**质点 P\displaystyle P 沿着以 AB\displaystyle AB 为直径的半圆周，从点 A(1,2)\displaystyle A(1,2) 运动到点 B(3,4)\displaystyle B(3,4) 的过程中受变力 F⃗\displaystyle \vec{F} 作用（见图,2)、B(3,4)、动点P(x,y)、力F标注示意图），F⃗\displaystyle \vec{F} 的大小等于点 P\displaystyle P 与原点 O\displaystyle O 之间的距离，其方向垂直于线段 OP\displaystyle OP 且与 y\displaystyle y 轴正向的夹角小于 π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2}。求变力 F⃗\displaystyle \vec{F} 对质点 P\displaystyle P 所作的功。

题图：1990-12-8 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_1990_12_8.png）