三、三重积分的计算（数一专项）

小题

（一）直角坐标法

1. 【1991-12-5 分】$\displaystyle \begin{cases}y^2=2z\\x=0\end{cases}$绕$\displaystyle z$轴旋转，曲面与$\displaystyle z=4$围成$\displaystyle \Omega$，$\displaystyle \iiint_{\Omega}(x^{2}+y^{2}+z) d v$。

2. 【1997-1-5 分】$\displaystyle \begin{cases}y^2=2z\\x=0\end{cases}$绕$\displaystyle z$轴旋转，曲面与$\displaystyle z=8$围成$\displaystyle \Omega$，$\displaystyle I=\iiint_{\Omega}(x^{2}+y^{2}) d V$。

3. 【2010-1-4 分】$\displaystyle \Omega=\{(x,y,z)|x^2+y^2\le z\le1\}$，形心$\displaystyle \bar z=$

（二）球面坐标法

1. 【1989-12-5 分】$\displaystyle \Omega$由$\displaystyle z=\sqrt{x^2+y^2},z=\sqrt{1-x^2-y^2}$围成，$\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+z) d v$。

（三）对称性的应用：奇偶性

1. 【1988-12-3 分】$\displaystyle \Omega_1:x^2+y^2+z^2\le R^2,z\ge0$；$\displaystyle \Omega_2:x^2+y^2+z^2\le R^2,x\ge0,y\ge0,z\ge0$，则( ) A. $\displaystyle \iiint_{\Omega_{1}} x d V=4 \iiint_{\Omega_{2}} x d V$ B. $\displaystyle \iiint_{\Omega_{1}} y d V=4 \iiint_{\Omega_{2}} y d V$ C. $\displaystyle \iiint_{\Omega_{1}} z d V=4 \iiint_{\Omega_{2}} z d V$ D. $\displaystyle \iiint_{\Omega_{1}} x y z d V=4 \iiint_{\Omega_{2}} x y z d V$

（四）对称性的应用：轮换对称性

1. 【2008-3-4 分】$\displaystyle D=\{(x,y)|x^2+y^2\le1\}$，$\displaystyle \iint_{D}(x^{2}-y) d x d y=$

2. 【2009-1-4 分】$\displaystyle \Omega=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\le1\}$，$\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} d x d y d z=$

3. 【2015-1-4 分】$\displaystyle \Omega$由$\displaystyle x+y+z=1$与三坐标面围成，$\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+2 y+3 z) d x d y d z=$

大题

（一）直角坐标法

1. 【2013-1-10 分】$\displaystyle L$过$\displaystyle A(1,0,0),B(0,1,1)$，绕$\displaystyle z$轴得曲面$\displaystyle \Sigma$，$\displaystyle \Sigma,z=0,z=2$围成$\displaystyle \Omega$。 (1)求$\displaystyle \Sigma$方程；(2)求$\displaystyle \Omega$形心坐标。

2. 【2019-1-10 分】$\displaystyle \Omega$由$\displaystyle x^2+(y-z)^2=(1-z)^2(0\le z\le1),z=0$围成锥体，求形心坐标。

（二）球面坐标法

1. **【2000-1-7 分】**半径$\displaystyle R$球体，$\displaystyle P_0$在球面，密度与到$\displaystyle P_0$距离平方成正比$\displaystyle (k>0)$，求重心。