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一、幂级数的收敛半径与收敛域

  1. 【1988-12-3 分】 若级数 ∑n=1∞an(x−1)n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n} 在 x=−1x=-1 处收敛，则此级数在 x=2x=2 处（ ） A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 收敛性不能确定

  2. 【1988-12-5 分】 求幂级数 ∑n=1∞(x−3)nn⋅3n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{n \cdot 3^{n}} 的收敛域.

  3. 【1990-4-5 分】 求级数 ∑n=1∞(x−3)nn2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{n^{2}} 的收敛域.

  4. 【1992-4-3 分】 级数 ∑n=1∞(x−2)2nn4n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{2 n}}{n 4^{n}} 的收敛域为_____.

  5. 【1995-12-3 分】 幂级数 ∑n=1∞n2n+(−3)nx2n−1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}+(-3)^{n}} x^{2 n-1} 的收敛半径 R=\displaystyle R=_____.

  6. 【1997-1-3 分】 设幂级数 ∑n=0∞anxn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} 的收敛半径为 33，则幂级数 ∑n=1∞nan(x−1)n+1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}(x-1)^{n+1} 的收敛区间为_____.

  7. 【2000-1-6 分】 求幂级数 ∑n=1∞13n+(−2)nxnn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}+(-2)^{n}} \frac{x^{n}}{n} 的收敛区间，并讨论该区间端点处的敛散性.

  8. 【2002-3-3 分】 设幂级数 ∑n=1∞anxn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n} 与 ∑n=1∞bnxn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} x^{n} 的收敛半径分别为 53\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3} 与 13\displaystyle \frac{1}{3}，则幂级数 ∑n=1∞an2bn2xn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}^{2}}{b_{n}^{2}} x^{n} 的收敛半径为（ ） A. 5 B. 53\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3} C. 13\displaystyle \frac{1}{3} D. 15\displaystyle \frac{1}{5}

  9. 【2008-1-4 分】 已知幂级数 ∑n=0∞an(x+2)n\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x+2)^{n} 在 x=0x=0 处收敛，在 x=−4x=-4 处发散，则幂级数 ∑n=0∞an(x−3)n\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-3)^{n} 的收敛域为_____.

  10. 【2009-3-4 分】 幂级数 ∑n=1∞en−(−1)nn2xn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n}-(-1)^{n}}{n^{2}} x^{n} 的收敛半径为_____.

  11. 【2011-1-4 分】 设数列 {an}\{a_{n}\} 单调减少，lim⁡n→∞an=0\displaystyle \lim _{n \to \infty} a_{n}=0，Sn=∑k=1nak(n=1,2,⋯⋯ )\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}(n=1,2, \cdots \cdots) 无界，则幂级数 ∑n=1∞an(x−1)n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n} 的收敛域为（ ） A. (-1,1]    B. [-1,1)    C. [0,2)    D. (0,2]

  12. 【2015-1-4 分】 若级数 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 条件收敛，则 x=3x=\sqrt{3} 与 x=3x=3 依次为幂级数 ∑n=1∞nan(x−1)n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}(x-1)^{n} 的（ ） A. 收敛点，收敛点    B. 收敛点，发散点    C. 发散点，收敛点    D. 发散点，发散点

  13. 【2020-3-4 分】 设幂级数 ∑n=1∞nan(x−2)n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}(x-2)^{n} 的收敛区间为 (−2,6)(-2,6)，则 ∑n=1∞an(x+1)2n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x+1)^{2 n} 的收敛区间为（ ） A. (-2,6)    B. (-3,1)    C. (-5,3)    D. (-17,15)

  14. 【2020-1-4 分】 设 RR 为幂级数 ∑n=1∞anxn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n} 的收敛半径，rr 是实数，则（ ） A. 当 ∣r∣≥R|r| \geq R 时，∑n=1∞a2nr2n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n} 发散 B. 当 ∣r∣≤R|r| \leq R 时，∑n=1∞a2nr2n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n} 收敛 C. 当 ∣r∣≥R|r| \geq R 时，∑n=1∞a2nr2n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n} 收敛 D. 当 ∣r∣≤R|r| \leq R 时，∑n=1∞a2nr2n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n} 发散

  15. 【2022-1-5 分】 设级数 ∑n=1∞n!nne−nx\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}} e^{-n x} 的收敛域为 (a,+∞)(a,+\infty)，则 a=a=_____.